WEBVTT

00:00:15.096 --> 00:00:16.871
Este es Zenón de Elea,

00:00:16.871 --> 00:00:18.377
un antiguo filósofo griego

00:00:18.377 --> 00:00:21.042
famoso por inventar
una serie de paradojas,

00:00:21.042 --> 00:00:22.560
argumentos que parecen lógicos,

00:00:22.560 --> 00:00:25.779
pero cuya conclusión
es absurda o contradictoria.

00:00:25.779 --> 00:00:27.183
Durante más de 2000 años,

00:00:27.183 --> 00:00:29.694
los enigmas alucinantes
de Zenón inspiraron

00:00:29.694 --> 00:00:31.310
a matemáticos y filósofos

00:00:31.310 --> 00:00:33.746
a comprender mejor
la naturaleza del infinito.

00:00:33.746 --> 00:00:35.525
Uno de los problemas
más conocidos de Zenón

00:00:35.525 --> 00:00:37.741
es la paradoja dicotómica,

00:00:37.741 --> 00:00:41.527
que en griego antiguo significa
"la paradoja de cortar en dos".

00:00:41.527 --> 00:00:43.315
Dice así:

00:00:43.315 --> 00:00:46.154
Después de pasar
un largo día pensando,

00:00:46.154 --> 00:00:48.950
Zenón decide caminar desde
su casa hacia el parque.

00:00:48.950 --> 00:00:50.397
El aire fresco despeja su mente

00:00:50.397 --> 00:00:51.920
y le ayuda a pensar mejor.

00:00:51.920 --> 00:00:53.075
Para llegar al parque

00:00:53.075 --> 00:00:55.428
primero tiene que llegar
a la mitad del camino al parque.

00:00:55.428 --> 00:00:56.601
Esta porción de su viaje

00:00:56.601 --> 00:00:58.443
lleva un tiempo finito.

00:00:58.443 --> 00:01:00.452
Una vez que llega
a la mitad del camino

00:01:00.452 --> 00:01:02.841
tiene que caminar
la mitad de la distancia.

00:01:02.841 --> 00:01:05.868
De nuevo, esto lleva
un tiempo finito.

00:01:05.868 --> 00:01:08.140
Una vez que llega allí,
tiene que caminar

00:01:08.140 --> 00:01:09.882
la mitad de la distancia
que le queda,

00:01:09.882 --> 00:01:12.371
lo cual lleva
un tiempo finito.

00:01:12.371 --> 00:01:15.522
Esto ocurre
una y otra vez.

00:01:15.522 --> 00:01:18.195
Puede verse que podemos
seguir así indefinidamente

00:01:18.195 --> 00:01:19.857
dividiendo la distancia que queda

00:01:19.857 --> 00:01:21.772
en distancias cada vez más pequeñas

00:01:21.772 --> 00:01:25.278
cada uno requiere
un tiempo de recorrido.

00:01:25.278 --> 00:01:27.958
Entonces, ¿cuánto tiempo tarda
Zenón para llegar al parque?

00:01:27.958 --> 00:01:30.317
Bueno, para averiguarlo,
hay que sumar los tiempos

00:01:30.317 --> 00:01:32.284
de cada una de las etapas del viaje.

00:01:32.284 --> 00:01:36.616
El problema es que hay infinitas
etapas en el viaje.

00:01:36.616 --> 00:01:39.750
Entonces, ¿no debería ser
infinito el tiempo total?

00:01:39.750 --> 00:01:42.548
Este argumento, por cierto,
es completamente general.

00:01:42.548 --> 00:01:45.092
Dice que viajar
de un lugar a otro lugar

00:01:45.092 --> 00:01:47.254
debería llevar un tiempo infinito.

00:01:47.254 --> 00:01:51.006
En otras palabras, dice que
el movimiento es imposible.

00:01:51.006 --> 00:01:52.785
Esta conclusión
es claramente absurda

00:01:52.785 --> 00:01:54.784
pero, ¿dónde está
el error de lógica?

00:01:54.784 --> 00:01:55.966
Para resolver la paradoja

00:01:55.966 --> 00:01:58.731
ayuda transformar la historia
en problema matemático.

00:01:58.731 --> 00:02:01.618
Supongamos que la casa de Zenón
está a 1,6 km del parque

00:02:01.618 --> 00:02:04.341
y que Zenón camina
a 1,6 km por hora.

00:02:04.341 --> 00:02:06.692
El sentido común nos dice
que el tiempo de viaje

00:02:06.692 --> 00:02:08.205
debería ser de una hora.

00:02:08.205 --> 00:02:10.866
Pero veamos las cosas desde
el punto de vista de Zenón

00:02:10.866 --> 00:02:13.196
y dividamos el viaje en etapas.

00:02:13.196 --> 00:02:15.656
La primera parte del viaje
lleva media hora,

00:02:15.656 --> 00:02:17.782
la siguiente lleva
un cuarto de hora,

00:02:17.782 --> 00:02:20.064
la tercera lleva
un octavo de hora,

00:02:20.064 --> 00:02:20.969
etc.

00:02:20.969 --> 00:02:22.266
Sumando todos estos tiempos,

00:02:22.266 --> 00:02:24.372
obtenemos una serie como esta.

00:02:24.372 --> 00:02:25.624
"Ahora", podría decir Zenón,

00:02:25.624 --> 00:02:27.964
"dado que hay infinitos términos

00:02:27.964 --> 00:02:29.621
a la derecha de la ecuación,

00:02:29.621 --> 00:02:31.883
y que cada término es finito,

00:02:31.883 --> 00:02:34.518
la suma debería ser infinita, ¿no?"

00:02:34.518 --> 00:02:36.670
Este es el problema
del argumento de Zenón.

00:02:36.670 --> 00:02:38.855
Como ya se han dado cuenta
los matemáticos,

00:02:38.855 --> 00:02:42.618
es posible sumar infinitos
términos de tamaño finito

00:02:42.618 --> 00:02:44.814
y obtener una respuesta finita.

00:02:44.814 --> 00:02:45.989
"¿Cómo?", se preguntarán.

00:02:45.989 --> 00:02:47.486
Bien, pensémoslo así.

00:02:47.486 --> 00:02:50.390
Empecemos con un cuadrado
cuya área es de un metro.

00:02:50.390 --> 00:02:52.528
Ahora partamos
el cuadro por la mitad,

00:02:52.528 --> 00:02:54.909
luego partamos la mitad
restante por la mitad,

00:02:54.909 --> 00:02:56.172
y así siguiendo.

00:02:56.172 --> 00:02:57.239
Conforme lo hacemos

00:02:57.239 --> 00:03:00.380
sigamos la pista
de las áreas de las etapas.

00:03:00.380 --> 00:03:02.169
La primera porción tiene dos partes,

00:03:02.169 --> 00:03:04.028
cada una con un área de 1/2.

00:03:04.028 --> 00:03:06.545
La siguiente porción divide
una de ellas por la mitad,

00:03:06.545 --> 00:03:07.796
y así siguiendo.

00:03:07.796 --> 00:03:10.227
Pero, no importa cuántas veces
cortemos las cajas,

00:03:10.227 --> 00:03:14.814
la superficie total todavía es la suma
de las áreas de todas las etapas.

00:03:14.814 --> 00:03:17.442
Ahora podemos ver por qué
elegimos esta forma particular

00:03:17.442 --> 00:03:18.971
de cortar el cuadrado.

00:03:18.971 --> 00:03:20.888
Obtuvimos la misma serie infinita

00:03:20.888 --> 00:03:23.356
que tuvimos en el tiempo
del viaje de Zenón.

00:03:23.356 --> 00:03:25.791
Conforme construimos
más y más piezas azules,

00:03:25.791 --> 00:03:27.314
para usar jerga matemática,

00:03:27.314 --> 00:03:30.742
conforme tomamos el límite
cuando n tiende a infinito,

00:03:30.742 --> 00:03:33.356
todo el cuadrado
se cubre de azul.

00:03:33.356 --> 00:03:35.427
Pero el área del cuadrado
es una unidad,

00:03:35.427 --> 00:03:38.700
por eso la suma infinita
debe dar 1.

00:03:38.700 --> 00:03:39.754
Volviendo al viaje de Zenón,

00:03:39.754 --> 00:03:42.370
ahora podemos ver cómo
se resuelve la paradoja.

00:03:42.370 --> 00:03:45.713
No sólo la serie infinita da
un número finito como respuesta

00:03:45.713 --> 00:03:47.745
sino que el resultado es el mismo

00:03:47.745 --> 00:03:50.172
que indica el sentido común.

00:03:50.172 --> 00:03:52.877
El viaje de Zenón lleva una hora.