Este es Zenón de Elea,
un antiguo filósofo griego
famoso por inventar una serie de paradojas,
argumentos que parecen lógicos,
pero cuya conclusión es absurda o contradictoria.
Durante más de 2000 años,
los enigmas alucinantes de Zenón inspiraron
a matemáticos y filósofos
a comprender mejor la naturaleza del infinito.
Uno de los problemas más conocidos de Zenón
es la paradoja dicotómica,
que en griego antiguo significa "la paradoja de cortar en dos".
Dice así:
Después de pasar un largo día pensando,
Zenón decide caminar desde su casa hacia el parque.
El aire fresco despeja su mente
y le ayuda a pensar mejor.
Para llegar al parque
primero tiene que llegar a la mitad del camino al parque.
Esta porción de su viaje
lleva un tiempo finito.
Una vez que llega a la mitad del camino
tiene que caminar la mitad de la distancia.
De nuevo, esto lleva un tiempo finito.
Una vez que llega allí, tiene que caminar
la mitad de la distancia que le queda,
lo cual lleva un tiempo finito.
Esto ocurre una y otra vez.
Puede verse que podemos seguir así indefinidamente
dividiendo la distancia que queda
en distancias cada vez más pequeñas
cada uno requiere un tiempo de recorrido.
Entonces, ¿cuánto tiempo tarda Zenón para llegar al parque?
Bueno, para averiguarlo, hay que sumar los tiempos
de cada una de las etapas del viaje.
El problema es que hay infinitas etapas en el viaje.
Entonces, ¿no debería ser infinito el tiempo total?
Este argumento, por cierto, es completamente general.
Dice que viajar de un lugar a otro lugar
debería llevar un tiempo infinito.
En otras palabras, dice que el movimiento es imposible.
Esta conclusión es claramente absurda
pero, ¿dónde está el error de lógica?
Para resolver la paradoja
ayuda transformar la historia en problema matemático.
Supongamos que la casa de Zenón está a 1,6 km del parque
y que Zenón camina a 1,6 km por hora.
El sentido común nos dice que el tiempo de viaje
debería ser de una hora.
Pero veamos las cosas desde el punto de vista de Zenón
y dividamos el viaje en etapas.
La primera parte del viaje lleva media hora,
la siguiente lleva un cuarto de hora,
la tercera lleva un octavo de hora,
etc.
Sumando todos estos tiempos,
obtenemos una serie como esta.
"Ahora", podría decir Zenón,
"dado que hay infinitos términos
a la derecha de la ecuación,
y que cada término es finito,
la suma debería ser infinita, ¿no?"
Este es el problema del argumento de Zenón.
Como ya se han dado cuenta los matemáticos,
es posible sumar infinitos términos de tamaño finito
y obtener una respuesta finita.
"¿Cómo?", se preguntarán.
Bien, pensémoslo así.
Empecemos con un cuadrado cuya área es de un metro.
Ahora partamos el cuadro por la mitad,
luego partamos la mitad restante por la mitad,
y así siguiendo.
Conforme lo hacemos
sigamos la pista de las áreas de las etapas.
La primera porción tiene dos partes,
cada una con un área de 1/2.
La siguiente porción divide una de ellas por la mitad,
y así siguiendo.
Pero, no importa cuántas veces cortemos las cajas,
la superficie total todavía es la suma de las áreas de todas las etapas.
Ahora podemos ver por qué elegimos esta forma particular
de cortar el cuadrado.
Obtuvimos la misma serie infinita
que tuvimos en el tiempo del viaje de Zenón.
Conforme construimos más y más piezas azules,
para usar jerga matemática,
conforme tomamos el límite cuando n tiende a infinito,
todo el cuadrado se cubre de azul.
Pero el área del cuadrado es una unidad,
por eso la suma infinita debe dar 1.
Volviendo al viaje de Zenón,
ahora podemos ver cómo se resuelve la paradoja.
No sólo la serie infinita da un número finito como respuesta
sino que el resultado es el mismo
que indica el sentido común.
El viaje de Zenón lleva una hora.