0:00:15.096,0:00:16.871
Este es Zenón de Elea,

0:00:16.871,0:00:18.377
un antiguo filósofo griego

0:00:18.377,0:00:21.042
famoso por inventar[br]una serie de paradojas,

0:00:21.042,0:00:22.560
argumentos que parecen lógicos,

0:00:22.560,0:00:25.779
pero cuya conclusión[br]es absurda o contradictoria.

0:00:25.779,0:00:27.183
Durante más de 2000 años,

0:00:27.183,0:00:29.694
los enigmas alucinantes[br]de Zenón inspiraron

0:00:29.694,0:00:31.310
a matemáticos y filósofos

0:00:31.310,0:00:33.746
a comprender mejor[br]la naturaleza del infinito.

0:00:33.746,0:00:35.525
Uno de los problemas[br]más conocidos de Zenón

0:00:35.525,0:00:37.741
es la paradoja dicotómica,

0:00:37.741,0:00:41.527
que en griego antiguo significa[br]"la paradoja de cortar en dos".

0:00:41.527,0:00:43.315
Dice así:

0:00:43.315,0:00:46.154
Después de pasar[br]un largo día pensando,

0:00:46.154,0:00:48.950
Zenón decide caminar desde[br]su casa hacia el parque.

0:00:48.950,0:00:50.397
El aire fresco despeja su mente

0:00:50.397,0:00:51.920
y le ayuda a pensar mejor.

0:00:51.920,0:00:53.075
Para llegar al parque

0:00:53.075,0:00:55.428
primero tiene que llegar[br]a la mitad del camino al parque.

0:00:55.428,0:00:56.601
Esta porción de su viaje

0:00:56.601,0:00:58.443
lleva un tiempo finito.

0:00:58.443,0:01:00.452
Una vez que llega[br]a la mitad del camino

0:01:00.452,0:01:02.841
tiene que caminar[br]la mitad de la distancia.

0:01:02.841,0:01:05.868
De nuevo, esto lleva[br]un tiempo finito.

0:01:05.868,0:01:08.140
Una vez que llega allí,[br]tiene que caminar

0:01:08.140,0:01:09.882
la mitad de la distancia[br]que le queda,

0:01:09.882,0:01:12.371
lo cual lleva[br]un tiempo finito.

0:01:12.371,0:01:15.522
Esto ocurre[br]una y otra vez.

0:01:15.522,0:01:18.195
Puede verse que podemos[br]seguir así indefinidamente

0:01:18.195,0:01:19.857
dividiendo la distancia que queda

0:01:19.857,0:01:21.772
en distancias cada vez más pequeñas

0:01:21.772,0:01:25.278
cada uno requiere[br]un tiempo de recorrido.

0:01:25.278,0:01:27.958
Entonces, ¿cuánto tiempo tarda[br]Zenón para llegar al parque?

0:01:27.958,0:01:30.317
Bueno, para averiguarlo,[br]hay que sumar los tiempos

0:01:30.317,0:01:32.284
de cada una de las etapas del viaje.

0:01:32.284,0:01:36.616
El problema es que hay infinitas[br]etapas en el viaje.

0:01:36.616,0:01:39.750
Entonces, ¿no debería ser[br]infinito el tiempo total?

0:01:39.750,0:01:42.548
Este argumento, por cierto,[br]es completamente general.

0:01:42.548,0:01:45.092
Dice que viajar[br]de un lugar a otro lugar

0:01:45.092,0:01:47.254
debería llevar un tiempo infinito.

0:01:47.254,0:01:51.006
En otras palabras, dice que[br]el movimiento es imposible.

0:01:51.006,0:01:52.785
Esta conclusión[br]es claramente absurda

0:01:52.785,0:01:54.784
pero, ¿dónde está[br]el error de lógica?

0:01:54.784,0:01:55.966
Para resolver la paradoja

0:01:55.966,0:01:58.731
ayuda transformar la historia[br]en problema matemático.

0:01:58.731,0:02:01.618
Supongamos que la casa de Zenón[br]está a 1,6 km del parque

0:02:01.618,0:02:04.341
y que Zenón camina[br]a 1,6 km por hora.

0:02:04.341,0:02:06.692
El sentido común nos dice[br]que el tiempo de viaje

0:02:06.692,0:02:08.205
debería ser de una hora.

0:02:08.205,0:02:10.866
Pero veamos las cosas desde[br]el punto de vista de Zenón

0:02:10.866,0:02:13.196
y dividamos el viaje en etapas.

0:02:13.196,0:02:15.656
La primera parte del viaje[br]lleva media hora,

0:02:15.656,0:02:17.782
la siguiente lleva[br]un cuarto de hora,

0:02:17.782,0:02:20.064
la tercera lleva[br]un octavo de hora,

0:02:20.064,0:02:20.969
etc.

0:02:20.969,0:02:22.266
Sumando todos estos tiempos,

0:02:22.266,0:02:24.372
obtenemos una serie como esta.

0:02:24.372,0:02:25.624
"Ahora", podría decir Zenón,

0:02:25.624,0:02:27.964
"dado que hay infinitos términos

0:02:27.964,0:02:29.621
a la derecha de la ecuación,

0:02:29.621,0:02:31.883
y que cada término es finito,

0:02:31.883,0:02:34.518
la suma debería ser infinita, ¿no?"

0:02:34.518,0:02:36.670
Este es el problema[br]del argumento de Zenón.

0:02:36.670,0:02:38.855
Como ya se han dado cuenta[br]los matemáticos,

0:02:38.855,0:02:42.618
es posible sumar infinitos[br]términos de tamaño finito

0:02:42.618,0:02:44.814
y obtener una respuesta finita.

0:02:44.814,0:02:45.989
"¿Cómo?", se preguntarán.

0:02:45.989,0:02:47.486
Bien, pensémoslo así.

0:02:47.486,0:02:50.390
Empecemos con un cuadrado[br]cuya área es de un metro.

0:02:50.390,0:02:52.528
Ahora partamos[br]el cuadro por la mitad,

0:02:52.528,0:02:54.909
luego partamos la mitad[br]restante por la mitad,

0:02:54.909,0:02:56.172
y así siguiendo.

0:02:56.172,0:02:57.239
Conforme lo hacemos

0:02:57.239,0:03:00.380
sigamos la pista[br]de las áreas de las etapas.

0:03:00.380,0:03:02.169
La primera porción tiene dos partes,

0:03:02.169,0:03:04.028
cada una con un área de 1/2.

0:03:04.028,0:03:06.545
La siguiente porción divide[br]una de ellas por la mitad,

0:03:06.545,0:03:07.796
y así siguiendo.

0:03:07.796,0:03:10.227
Pero, no importa cuántas veces[br]cortemos las cajas,

0:03:10.227,0:03:14.814
la superficie total todavía es la suma[br]de las áreas de todas las etapas.

0:03:14.814,0:03:17.442
Ahora podemos ver por qué[br]elegimos esta forma particular

0:03:17.442,0:03:18.971
de cortar el cuadrado.

0:03:18.971,0:03:20.888
Obtuvimos la misma serie infinita

0:03:20.888,0:03:23.356
que tuvimos en el tiempo[br]del viaje de Zenón.

0:03:23.356,0:03:25.791
Conforme construimos[br]más y más piezas azules,

0:03:25.791,0:03:27.314
para usar jerga matemática,

0:03:27.314,0:03:30.742
conforme tomamos el límite[br]cuando n tiende a infinito,

0:03:30.742,0:03:33.356
todo el cuadrado[br]se cubre de azul.

0:03:33.356,0:03:35.427
Pero el área del cuadrado[br]es una unidad,

0:03:35.427,0:03:38.700
por eso la suma infinita[br]debe dar 1.

0:03:38.700,0:03:39.754
Volviendo al viaje de Zenón,

0:03:39.754,0:03:42.370
ahora podemos ver cómo[br]se resuelve la paradoja.

0:03:42.370,0:03:45.713
No sólo la serie infinita da[br]un número finito como respuesta

0:03:45.713,0:03:47.745
sino que el resultado es el mismo

0:03:47.745,0:03:50.172
que indica el sentido común.

0:03:50.172,0:03:52.877
El viaje de Zenón lleva una hora.