1
00:00:15,096 --> 00:00:16,871
Este es Zenón de Elea,

2
00:00:16,871 --> 00:00:18,377
un antiguo filósofo griego

3
00:00:18,377 --> 00:00:21,042
famoso por inventar
una serie de paradojas,

4
00:00:21,042 --> 00:00:22,560
argumentos que parecen lógicos,

5
00:00:22,560 --> 00:00:25,779
pero cuya conclusión
es absurda o contradictoria.

6
00:00:25,779 --> 00:00:27,183
Durante más de 2000 años,

7
00:00:27,183 --> 00:00:29,694
los enigmas alucinantes
de Zenón inspiraron

8
00:00:29,694 --> 00:00:31,310
a matemáticos y filósofos

9
00:00:31,310 --> 00:00:33,746
a comprender mejor
la naturaleza del infinito.

10
00:00:33,746 --> 00:00:35,525
Uno de los problemas
más conocidos de Zenón

11
00:00:35,525 --> 00:00:37,741
es la paradoja dicotómica,

12
00:00:37,741 --> 00:00:41,527
que en griego antiguo significa
"la paradoja de cortar en dos".

13
00:00:41,527 --> 00:00:43,315
Dice así:

14
00:00:43,315 --> 00:00:46,154
Después de pasar
un largo día pensando,

15
00:00:46,154 --> 00:00:48,950
Zenón decide caminar desde
su casa hacia el parque.

16
00:00:48,950 --> 00:00:50,397
El aire fresco despeja su mente

17
00:00:50,397 --> 00:00:51,920
y le ayuda a pensar mejor.

18
00:00:51,920 --> 00:00:53,075
Para llegar al parque

19
00:00:53,075 --> 00:00:55,428
primero tiene que llegar
a la mitad del camino al parque.

20
00:00:55,428 --> 00:00:56,601
Esta porción de su viaje

21
00:00:56,601 --> 00:00:58,443
lleva un tiempo finito.

22
00:00:58,443 --> 00:01:00,452
Una vez que llega
a la mitad del camino

23
00:01:00,452 --> 00:01:02,841
tiene que caminar
la mitad de la distancia.

24
00:01:02,841 --> 00:01:05,868
De nuevo, esto lleva
un tiempo finito.

25
00:01:05,868 --> 00:01:08,140
Una vez que llega allí,
tiene que caminar

26
00:01:08,140 --> 00:01:09,882
la mitad de la distancia
que le queda,

27
00:01:09,882 --> 00:01:12,371
lo cual lleva
un tiempo finito.

28
00:01:12,371 --> 00:01:15,522
Esto ocurre
una y otra vez.

29
00:01:15,522 --> 00:01:18,195
Puede verse que podemos
seguir así indefinidamente

30
00:01:18,195 --> 00:01:19,857
dividiendo la distancia que queda

31
00:01:19,857 --> 00:01:21,772
en distancias cada vez más pequeñas

32
00:01:21,772 --> 00:01:25,278
cada uno requiere
un tiempo de recorrido.

33
00:01:25,278 --> 00:01:27,958
Entonces, ¿cuánto tiempo tarda
Zenón para llegar al parque?

34
00:01:27,958 --> 00:01:30,317
Bueno, para averiguarlo,
hay que sumar los tiempos

35
00:01:30,317 --> 00:01:32,284
de cada una de las etapas del viaje.

36
00:01:32,284 --> 00:01:36,616
El problema es que hay infinitas
etapas en el viaje.

37
00:01:36,616 --> 00:01:39,750
Entonces, ¿no debería ser
infinito el tiempo total?

38
00:01:39,750 --> 00:01:42,548
Este argumento, por cierto,
es completamente general.

39
00:01:42,548 --> 00:01:45,092
Dice que viajar
de un lugar a otro lugar

40
00:01:45,092 --> 00:01:47,254
debería llevar un tiempo infinito.

41
00:01:47,254 --> 00:01:51,006
En otras palabras, dice que
el movimiento es imposible.

42
00:01:51,006 --> 00:01:52,785
Esta conclusión
es claramente absurda

43
00:01:52,785 --> 00:01:54,784
pero, ¿dónde está
el error de lógica?

44
00:01:54,784 --> 00:01:55,966
Para resolver la paradoja

45
00:01:55,966 --> 00:01:58,731
ayuda transformar la historia
en problema matemático.

46
00:01:58,731 --> 00:02:01,618
Supongamos que la casa de Zenón
está a 1,6 km del parque

47
00:02:01,618 --> 00:02:04,341
y que Zenón camina
a 1,6 km por hora.

48
00:02:04,341 --> 00:02:06,692
El sentido común nos dice
que el tiempo de viaje

49
00:02:06,692 --> 00:02:08,205
debería ser de una hora.

50
00:02:08,205 --> 00:02:10,867
Pero veamos las cosas desde
el punto de vista de Zenón

51
00:02:10,867 --> 00:02:13,196
y dividamos el viaje en etapas.

52
00:02:13,196 --> 00:02:15,656
La primera parte del viaje
lleva media hora,

53
00:02:15,656 --> 00:02:17,782
la siguiente lleva
un cuarto de hora,

54
00:02:17,782 --> 00:02:20,064
la tercera lleva
un octavo de hora,

55
00:02:20,064 --> 00:02:20,969
etc.

56
00:02:20,969 --> 00:02:22,266
Sumando todos estos tiempos,

57
00:02:22,266 --> 00:02:24,372
obtenemos una serie como esta.

58
00:02:24,372 --> 00:02:25,624
"Ahora", podría decir Zenón,

59
00:02:25,624 --> 00:02:27,964
"dado que hay infinitos términos

60
00:02:27,964 --> 00:02:29,621
a la derecha de la ecuación,

61
00:02:29,621 --> 00:02:31,883
y que cada término es finito,

62
00:02:31,883 --> 00:02:34,518
la suma debería ser infinita, ¿no?"

63
00:02:34,518 --> 00:02:36,670
Este es el problema
del argumento de Zenón.

64
00:02:36,670 --> 00:02:38,855
Como ya se han dado cuenta
los matemáticos,

65
00:02:38,855 --> 00:02:42,618
es posible sumar infinitos
términos de tamaño finito

66
00:02:42,618 --> 00:02:44,814
y obtener una respuesta finita.

67
00:02:44,814 --> 00:02:45,989
"¿Cómo?", se preguntarán.

68
00:02:45,989 --> 00:02:47,486
Bien, pensémoslo así.

69
00:02:47,486 --> 00:02:50,390
Empecemos con un cuadrado
cuya área es de un metro.

70
00:02:50,390 --> 00:02:52,528
Ahora partamos
el cuadro por la mitad,

71
00:02:52,528 --> 00:02:54,909
luego partamos la mitad
restante por la mitad,

72
00:02:54,909 --> 00:02:56,172
y así siguiendo.

73
00:02:56,172 --> 00:02:57,239
Conforme lo hacemos

74
00:02:57,239 --> 00:03:00,380
sigamos la pista
de las áreas de las etapas.

75
00:03:00,380 --> 00:03:02,169
La primera porción tiene dos partes,

76
00:03:02,169 --> 00:03:04,028
cada una con un área de 1/2.

77
00:03:04,028 --> 00:03:06,545
La siguiente porción divide
una de ellas por la mitad,

78
00:03:06,545 --> 00:03:07,796
y así siguiendo.

79
00:03:07,796 --> 00:03:10,227
Pero, no importa cuántas veces
cortemos las cajas,

80
00:03:10,227 --> 00:03:14,814
la superficie total todavía es la suma
de las áreas de todas las etapas.

81
00:03:14,814 --> 00:03:17,442
Ahora podemos ver por qué
elegimos esta forma particular

82
00:03:17,442 --> 00:03:18,971
de cortar el cuadrado.

83
00:03:18,971 --> 00:03:20,888
Obtuvimos la misma serie infinita

84
00:03:20,888 --> 00:03:23,356
que tuvimos en el tiempo
del viaje de Zenón.

85
00:03:23,356 --> 00:03:25,791
Conforme construimos
más y más piezas azules,

86
00:03:25,791 --> 00:03:27,314
para usar jerga matemática,

87
00:03:27,314 --> 00:03:30,742
conforme tomamos el límite
cuando n tiende a infinito,

88
00:03:30,742 --> 00:03:33,356
todo el cuadrado
se cubre de azul.

89
00:03:33,356 --> 00:03:35,427
Pero el área del cuadrado
es una unidad,

90
00:03:35,427 --> 00:03:38,700
por eso la suma infinita
debe dar 1.

91
00:03:38,700 --> 00:03:39,754
Volviendo al viaje de Zenón,

92
00:03:39,754 --> 00:03:42,370
ahora podemos ver cómo
se resuelve la paradoja.

93
00:03:42,370 --> 00:03:45,713
No sólo la serie infinita da
un número finito como respuesta

94
00:03:45,713 --> 00:03:47,745
sino que el resultado es el mismo

95
00:03:47,745 --> 00:03:50,172
que indica el sentido común.

96
00:03:50,172 --> 00:03:52,877
El viaje de Zenón lleva una hora.