Αυτός είναι ο Ζήνων ο Ελεάτης,
ένας αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος, διακεκριμένος επινοητής παραδόξων.
Επιχειρημάτων που ενώ φαίνονται λογικά, καταλήγουν παράλογα ή αμφισβητήσιμα.
Για περισσότερα από 2.000 χρόνια,
οι σπαζοκεφαλιές του Ζήνωνα ενέπνευσαν μαθηματικούς και φιλοσόφους
ώστε να κατανοήσουν καλύτερα τη φύση του απείρου.
Το γνωστότερο επινόημά του είναι το "Παράδοξο της Διχοτομίας",
το οποίο σημαίνει "το παράδοξο του να κόβω κάτι στα δύο".
Το οποίο είναι το εξής:
Περνώντας μια κουραστική μέρα με πολύ σκέψη, αποφάσισε να πάει στο πάρκο.
Ο καθαρός αέρας καθαρίζει το μυαλό του και τον βοηθάει να σκέφτεται καλύτερα.
Αλλά για να φτάσει στο πάρκο, πρέπει να κάνει τη μισή διαδρομή.
Για να φτάσει μέχρι τη μέση, χρειάζεται κάποιο χρόνο.
Από τη μέση και μετά, πρέπει να περπατήσει το μισό του μισού.
Γι' αυτό χρειάζεται συγκεκριμένο χρόνο.
Από τη στιγμή που θα φτάσει εκεί, πρέπει να διασχίσει το μισό του υπολοίπου.
Πάλι, χρειάζεται συγκεκριμένο χρόνο.
Όλο αυτό είναι κάτι που επαναλαμβάνεται διαρκώς.
Μπορούμε να το κάνουμε αυτό επ' άπειρον.
Να χωρίζουμε δηλαδή την απόσταση σε μικρότερες αποστάσεις.
Έτσι, η κάθε απόσταση χρειάζεται πεπερασμένο χρόνο για να διανυθεί.
Οπότε, πόσο χρόνο χρειάζεται ο Ζήνων για να φτάσει στο πάρκο;
Για να απαντηθεί το ερώτημα χρειάζεται να προστεθούν όλοι οι χρόνοι των τμημάτων.
Το πρόβλημα είναι πως η απόσταση χωρίστηκε σε άπειρα μικρότερα τμήματα.
Άρα, δεδομένου αυτού, μήπως η απάντηση είναι το άπειρο;
Αυτό το επιχείρημα όμως είναι πολύ γενικευμένο.
Είναι σαν να λέμε πως το ταξίδι από ένα μέρος σε άλλο διαρκεί άπειρο χρόνο.
Με άλλα λόγια, εννοεί πως είναι αδύνατο να υπάρχει κίνηση.
Το συμπέρασμα είναι σαφώς παράλογο, αλλά πού είναι το λάθος στη λογική αυτή;
Για να λυθεί το παράδοξο, μετατρέπουμε την ιστορία σε μαθηματικό πρόβλημα.
Ας υποθέσουμε πως το σπίτι του Ζήνωνα απέχει ένα μίλι από το πάρκο
και ο Ζήνων περπατά με ταχύτητα ενός μιλίου την ώρα.
Η κοινή λογική λέει πως η διαδρομή θα διαρκέσει μία ώρα.
Αλλά ας δούμε πώς σκέφτεται ο Ζήνων και ας χωρίσουμε τη διαδρομή σε μέρη.
Για το πρώτο μέρος της διαδρομής χρειάζεται μισή ώρα,
για το δεύτερο μέρος 1/4 της ώρας, για το τρίτο μέρος το 1/8 της ώρας, κ.τ.λ..
Αθροίζοντας όλους αυτούς τους χρόνους, παράγουμε μια σειρά σαν αυτή.
Έτσι, ο Ζήνων θα πει: «Εφόσον υπάρχουν άπειροι όροι στο δεξί μέλος της εξίσωσης
και κάθε όρος είναι πεπερασμένος, το άθροισμά της θα είναι το άπειρο».
Αυτό είναι το πρόβλημα με το Παράδοξο του Ζήνωνα.
Οι μαθηματικοί από τότε κατάλαβαν πως το άθροισμα μιας άπειρης σειράς
πεπερασμένων όρων, μπορεί να έχει πεπερασμένο αποτέλεσμα.
Αναρωτιέστε πώς συμβαίνει αυτό; Δείτε ένα παράδειγμα:
Πάρτε ένα τετράγωνο με εμβαδόν 1 και κόψτε το στη μέση.
Μετά πάρτε το υπόλοιπο μισό και κόψτε το στη μέση και συνεχίστε έτσι.
Ενώ κόβουμε, ας παρατηρήσουμε το εμβαδόν των κομματιών.
Το πρώτο χωρίζεται σε δύο μέρη, το καθένα με εμβαδόν 1/2.
Το επόμενο σχήμα χωρίζει το μισό του μισού στη μέση και πάει λέγοντας.
Όσες φορές και αν τα κόψουμε στη μέση, το συνολικό άθροισμα είναι πάντα ίδιο
με αυτό του αρχικού εξωτερικού εμβαδού.
Τώρα καταλαβαίνετε γιατί διαλέξαμε το παράδειγμα με τη διαίρεση του κύβου.
Πήραμε την ίδια άπειρη σειρά με αυτή της διαδρομής του Ζήνωνα.
Ενώ διαιρούμε το εσωτερικό σε όλο και περισσότερα τετράγωνα,
δηλαδή, με μαθηματικούς όρους, ενώ παίρνουμε το όριο
καθώς το n τείνει στο άπειρο, όλο το τετράγωνο γίνεται μπλε.
Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 1, άρα το άπειρο άθροισμα θα είναι 1.
Σκεφτόμενοι ξανά τη διαδρομή του Ζήνωνα βλέπουμε πώς λύνεται το παράδοξο.
Η άπειρη σειρά δεν έχει μόνο πεπερασμένο άθροισμα,
αλλά το άθροισμα αυτό είναι το ίδιο που προκύπτει και με την κοινή λογική.
Η διαδρομή του Ζήνωνα θα διαρκέσει μία ώρα.