WEBVTT 00:00:15.096 --> 00:00:16.867 Αυτός είναι ο Ζήνων ο Ελεάτης, 00:00:16.867 --> 00:00:21.042 ένας αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος, διακεκριμένος επινοητής παραδόξων. 00:00:21.042 --> 00:00:25.210 Επιχειρημάτων που ενώ φαίνονται λογικά, καταλήγουν παράλογα ή αμφισβητήσιμα. 00:00:25.389 --> 00:00:27.153 Για περισσότερα από 2.000 χρόνια, 00:00:27.153 --> 00:00:30.914 οι σπαζοκεφαλιές του Ζήνωνα ενέπνευσαν μαθηματικούς και φιλοσόφους 00:00:31.004 --> 00:00:33.310 ώστε να κατανοήσουν καλύτερα τη φύση του απείρου. 00:00:33.747 --> 00:00:37.585 Το γνωστότερο επινόημά του είναι το "Παράδοξο της Διχοτομίας", 00:00:37.855 --> 00:00:40.804 το οποίο σημαίνει "το παράδοξο του να κόβω κάτι στα δύο". 00:00:41.529 --> 00:00:42.819 Το οποίο είναι το εξής: 00:00:43.389 --> 00:00:48.259 Περνώντας μια κουραστική μέρα με πολύ σκέψη, αποφάσισε να πάει στο πάρκο. 00:00:49.029 --> 00:00:52.659 Ο καθαρός αέρας καθαρίζει το μυαλό του και τον βοηθάει να σκέφτεται καλύτερα. 00:00:52.659 --> 00:00:55.605 Αλλά για να φτάσει στο πάρκο, πρέπει να κάνει τη μισή διαδρομή. 00:00:55.605 --> 00:00:58.444 Για να φτάσει μέχρι τη μέση, χρειάζεται κάποιο χρόνο. 00:00:58.444 --> 00:01:03.184 Από τη μέση και μετά, πρέπει να περπατήσει το μισό του μισού. 00:01:03.672 --> 00:01:05.992 Γι' αυτό χρειάζεται συγκεκριμένο χρόνο. 00:01:05.992 --> 00:01:10.734 Από τη στιγμή που θα φτάσει εκεί, πρέπει να διασχίσει το μισό του υπολοίπου. 00:01:10.734 --> 00:01:12.583 Πάλι, χρειάζεται συγκεκριμένο χρόνο. 00:01:12.583 --> 00:01:15.522 Όλο αυτό είναι κάτι που επαναλαμβάνεται διαρκώς. 00:01:15.522 --> 00:01:18.263 Μπορούμε να το κάνουμε αυτό επ' άπειρον. 00:01:18.263 --> 00:01:22.128 Να χωρίζουμε δηλαδή την απόσταση σε μικρότερες αποστάσεις. 00:01:22.128 --> 00:01:25.275 Έτσι, η κάθε απόσταση χρειάζεται πεπερασμένο χρόνο για να διανυθεί. 00:01:25.275 --> 00:01:28.205 Οπότε, πόσο χρόνο χρειάζεται ο Ζήνων για να φτάσει στο πάρκο; 00:01:28.205 --> 00:01:32.283 Για να απαντηθεί το ερώτημα χρειάζεται να προστεθούν όλοι οι χρόνοι των τμημάτων. 00:01:32.283 --> 00:01:36.623 Το πρόβλημα είναι πως η απόσταση χωρίστηκε σε άπειρα μικρότερα τμήματα. 00:01:36.623 --> 00:01:39.748 Άρα, δεδομένου αυτού, μήπως η απάντηση είναι το άπειρο; 00:01:39.748 --> 00:01:42.553 Αυτό το επιχείρημα όμως είναι πολύ γενικευμένο. 00:01:42.553 --> 00:01:47.247 Είναι σαν να λέμε πως το ταξίδι από ένα μέρος σε άλλο διαρκεί άπειρο χρόνο. 00:01:47.247 --> 00:01:51.010 Με άλλα λόγια, εννοεί πως είναι αδύνατο να υπάρχει κίνηση. 00:01:51.010 --> 00:01:54.775 Το συμπέρασμα είναι σαφώς παράλογο, αλλά πού είναι το λάθος στη λογική αυτή; 00:01:54.775 --> 00:01:58.728 Για να λυθεί το παράδοξο, μετατρέπουμε την ιστορία σε μαθηματικό πρόβλημα. 00:01:58.728 --> 00:02:01.819 Ας υποθέσουμε πως το σπίτι του Ζήνωνα απέχει ένα μίλι από το πάρκο 00:02:01.819 --> 00:02:04.342 και ο Ζήνων περπατά με ταχύτητα ενός μιλίου την ώρα. 00:02:04.342 --> 00:02:08.212 Η κοινή λογική λέει πως η διαδρομή θα διαρκέσει μία ώρα. 00:02:08.212 --> 00:02:13.198 Αλλά ας δούμε πώς σκέφτεται ο Ζήνων και ας χωρίσουμε τη διαδρομή σε μέρη. 00:02:13.198 --> 00:02:15.710 Για το πρώτο μέρος της διαδρομής χρειάζεται μισή ώρα, 00:02:15.710 --> 00:02:20.968 για το δεύτερο μέρος 1/4 της ώρας, για το τρίτο μέρος το 1/8 της ώρας, κ.τ.λ.. 00:02:20.968 --> 00:02:24.368 Αθροίζοντας όλους αυτούς τους χρόνους, παράγουμε μια σειρά σαν αυτή. 00:02:24.368 --> 00:02:29.615 Έτσι, ο Ζήνων θα πει: «Εφόσον υπάρχουν άπειροι όροι στο δεξί μέλος της εξίσωσης 00:02:29.615 --> 00:02:34.516 και κάθε όρος είναι πεπερασμένος, το άθροισμά της θα είναι το άπειρο». 00:02:34.516 --> 00:02:36.806 Αυτό είναι το πρόβλημα με το Παράδοξο του Ζήνωνα. 00:02:36.806 --> 00:02:41.446 Οι μαθηματικοί από τότε κατάλαβαν πως το άθροισμα μιας άπειρης σειράς 00:02:41.446 --> 00:02:44.807 πεπερασμένων όρων, μπορεί να έχει πεπερασμένο αποτέλεσμα. 00:02:44.807 --> 00:02:47.489 Αναρωτιέστε πώς συμβαίνει αυτό; Δείτε ένα παράδειγμα: 00:02:47.489 --> 00:02:52.259 Πάρτε ένα τετράγωνο με εμβαδόν 1 και κόψτε το στη μέση. 00:02:52.534 --> 00:02:56.570 Μετά πάρτε το υπόλοιπο μισό και κόψτε το στη μέση και συνεχίστε έτσι. 00:02:56.570 --> 00:03:00.160 Ενώ κόβουμε, ας παρατηρήσουμε το εμβαδόν των κομματιών. 00:03:00.380 --> 00:03:04.034 Το πρώτο χωρίζεται σε δύο μέρη, το καθένα με εμβαδόν 1/2. 00:03:04.034 --> 00:03:07.804 Το επόμενο σχήμα χωρίζει το μισό του μισού στη μέση και πάει λέγοντας. 00:03:07.804 --> 00:03:12.664 Όσες φορές και αν τα κόψουμε στη μέση, το συνολικό άθροισμα είναι πάντα ίδιο 00:03:12.839 --> 00:03:14.814 με αυτό του αρχικού εξωτερικού εμβαδού. 00:03:14.814 --> 00:03:18.969 Τώρα καταλαβαίνετε γιατί διαλέξαμε το παράδειγμα με τη διαίρεση του κύβου. 00:03:18.969 --> 00:03:23.358 Πήραμε την ίδια άπειρη σειρά με αυτή της διαδρομής του Ζήνωνα. 00:03:23.358 --> 00:03:26.187 Ενώ διαιρούμε το εσωτερικό σε όλο και περισσότερα τετράγωνα, 00:03:26.187 --> 00:03:29.267 δηλαδή, με μαθηματικούς όρους, ενώ παίρνουμε το όριο 00:03:29.267 --> 00:03:33.658 καθώς το n τείνει στο άπειρο, όλο το τετράγωνο γίνεται μπλε. 00:03:33.658 --> 00:03:38.701 Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 1, άρα το άπειρο άθροισμα θα είναι 1. 00:03:38.701 --> 00:03:42.369 Σκεφτόμενοι ξανά τη διαδρομή του Ζήνωνα βλέπουμε πώς λύνεται το παράδοξο. 00:03:42.369 --> 00:03:45.706 Η άπειρη σειρά δεν έχει μόνο πεπερασμένο άθροισμα, 00:03:45.706 --> 00:03:50.173 αλλά το άθροισμα αυτό είναι το ίδιο που προκύπτει και με την κοινή λογική. 00:03:50.173 --> 00:03:54.152 Η διαδρομή του Ζήνωνα θα διαρκέσει μία ώρα.