[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:15.10,0:00:16.87,Default,,0000,0000,0000,,Αυτός είναι ο Ζήνων ο Ελεάτης,
Dialogue: 0,0:00:16.87,0:00:21.04,Default,,0000,0000,0000,,ένας αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος,\Nδιακεκριμένος επινοητής παραδόξων.
Dialogue: 0,0:00:21.04,0:00:25.21,Default,,0000,0000,0000,,Επιχειρημάτων που ενώ φαίνονται λογικά,\Nκαταλήγουν παράλογα ή αμφισβητήσιμα.
Dialogue: 0,0:00:25.39,0:00:27.15,Default,,0000,0000,0000,,Για περισσότερα από 2.000 χρόνια,
Dialogue: 0,0:00:27.15,0:00:30.91,Default,,0000,0000,0000,,οι σπαζοκεφαλιές του Ζήνωνα\Nενέπνευσαν μαθηματικούς και φιλοσόφους
Dialogue: 0,0:00:31.00,0:00:33.31,Default,,0000,0000,0000,,ώστε να κατανοήσουν καλύτερα\Nτη φύση του απείρου.
Dialogue: 0,0:00:33.75,0:00:37.58,Default,,0000,0000,0000,,Το γνωστότερο επινόημά του\Nείναι το "Παράδοξο της Διχοτομίας",
Dialogue: 0,0:00:37.86,0:00:40.80,Default,,0000,0000,0000,,το οποίο σημαίνει "το παράδοξο\Nτου να κόβω κάτι στα δύο".
Dialogue: 0,0:00:41.53,0:00:42.82,Default,,0000,0000,0000,,Το οποίο είναι το εξής:
Dialogue: 0,0:00:43.39,0:00:48.26,Default,,0000,0000,0000,,Περνώντας μια κουραστική μέρα με πολύ\Nσκέψη, αποφάσισε να πάει στο πάρκο.
Dialogue: 0,0:00:49.03,0:00:52.66,Default,,0000,0000,0000,,Ο καθαρός αέρας καθαρίζει το μυαλό του\Nκαι τον βοηθάει να σκέφτεται καλύτερα.
Dialogue: 0,0:00:52.66,0:00:55.60,Default,,0000,0000,0000,,Αλλά για να φτάσει στο πάρκο,\Nπρέπει να κάνει τη μισή διαδρομή.
Dialogue: 0,0:00:55.60,0:00:58.44,Default,,0000,0000,0000,,Για να φτάσει μέχρι τη μέση,\Nχρειάζεται κάποιο χρόνο.
Dialogue: 0,0:00:58.44,0:01:03.18,Default,,0000,0000,0000,,Από τη μέση και μετά,\Nπρέπει να περπατήσει το μισό του μισού.
Dialogue: 0,0:01:03.67,0:01:05.99,Default,,0000,0000,0000,,Γι' αυτό χρειάζεται συγκεκριμένο χρόνο.
Dialogue: 0,0:01:05.99,0:01:10.73,Default,,0000,0000,0000,,Από τη στιγμή που θα φτάσει εκεί, πρέπει\Nνα διασχίσει το μισό του υπολοίπου.
Dialogue: 0,0:01:10.73,0:01:12.58,Default,,0000,0000,0000,,Πάλι, χρειάζεται συγκεκριμένο χρόνο.
Dialogue: 0,0:01:12.58,0:01:15.52,Default,,0000,0000,0000,,Όλο αυτό είναι κάτι\Nπου επαναλαμβάνεται διαρκώς.
Dialogue: 0,0:01:15.52,0:01:18.26,Default,,0000,0000,0000,,Μπορούμε να το κάνουμε αυτό\Nεπ' άπειρον.
Dialogue: 0,0:01:18.26,0:01:22.13,Default,,0000,0000,0000,,Να χωρίζουμε δηλαδή την απόσταση\Nσε μικρότερες αποστάσεις.
Dialogue: 0,0:01:22.13,0:01:25.28,Default,,0000,0000,0000,,Έτσι, η κάθε απόσταση χρειάζεται\Nπεπερασμένο χρόνο για να διανυθεί.
Dialogue: 0,0:01:25.28,0:01:28.20,Default,,0000,0000,0000,,Οπότε, πόσο χρόνο χρειάζεται ο Ζήνων\Nγια να φτάσει στο πάρκο;
Dialogue: 0,0:01:28.20,0:01:32.28,Default,,0000,0000,0000,,Για να απαντηθεί το ερώτημα χρειάζεται να\Nπροστεθούν όλοι οι χρόνοι των τμημάτων.
Dialogue: 0,0:01:32.28,0:01:36.62,Default,,0000,0000,0000,,Το πρόβλημα είναι πως η απόσταση\Nχωρίστηκε σε άπειρα μικρότερα τμήματα.
Dialogue: 0,0:01:36.62,0:01:39.75,Default,,0000,0000,0000,,Άρα, δεδομένου αυτού,\Nμήπως η απάντηση είναι το άπειρο;
Dialogue: 0,0:01:39.75,0:01:42.55,Default,,0000,0000,0000,,Αυτό το επιχείρημα όμως\Nείναι πολύ γενικευμένο.
Dialogue: 0,0:01:42.55,0:01:47.25,Default,,0000,0000,0000,,Είναι σαν να λέμε πως το ταξίδι από\Nένα μέρος σε άλλο διαρκεί άπειρο χρόνο.
Dialogue: 0,0:01:47.25,0:01:51.01,Default,,0000,0000,0000,,Με άλλα λόγια, εννοεί πως\Nείναι αδύνατο να υπάρχει κίνηση.
Dialogue: 0,0:01:51.01,0:01:54.78,Default,,0000,0000,0000,,Το συμπέρασμα είναι σαφώς παράλογο,\Nαλλά πού είναι το λάθος στη λογική αυτή;
Dialogue: 0,0:01:54.78,0:01:58.73,Default,,0000,0000,0000,,Για να λυθεί το παράδοξο, μετατρέπουμε\Nτην ιστορία σε μαθηματικό πρόβλημα.
Dialogue: 0,0:01:58.73,0:02:01.82,Default,,0000,0000,0000,,Ας υποθέσουμε πως το σπίτι του Ζήνωνα\Nαπέχει ένα μίλι από το πάρκο
Dialogue: 0,0:02:01.82,0:02:04.34,Default,,0000,0000,0000,,και ο Ζήνων περπατά\Nμε ταχύτητα ενός μιλίου την ώρα.
Dialogue: 0,0:02:04.34,0:02:08.21,Default,,0000,0000,0000,,Η κοινή λογική λέει\Nπως η διαδρομή θα διαρκέσει μία ώρα.
Dialogue: 0,0:02:08.21,0:02:13.20,Default,,0000,0000,0000,,Αλλά ας δούμε πώς σκέφτεται ο Ζήνων\Nκαι ας χωρίσουμε τη διαδρομή σε μέρη.
Dialogue: 0,0:02:13.20,0:02:15.71,Default,,0000,0000,0000,,Για το πρώτο μέρος της διαδρομής\Nχρειάζεται μισή ώρα,
Dialogue: 0,0:02:15.71,0:02:20.97,Default,,0000,0000,0000,,για το δεύτερο μέρος 1/4 της ώρας, για\Nτο τρίτο μέρος το 1/8 της ώρας, κ.τ.λ..
Dialogue: 0,0:02:20.97,0:02:24.37,Default,,0000,0000,0000,,Αθροίζοντας όλους αυτούς τους χρόνους,\Nπαράγουμε μια σειρά σαν αυτή.
Dialogue: 0,0:02:24.37,0:02:29.62,Default,,0000,0000,0000,,Έτσι, ο Ζήνων θα πει: «Εφόσον υπάρχουν\Nάπειροι όροι στο δεξί μέλος της εξίσωσης
Dialogue: 0,0:02:29.62,0:02:34.52,Default,,0000,0000,0000,,και κάθε όρος είναι πεπερασμένος,\Nτο άθροισμά της θα είναι το άπειρο».
Dialogue: 0,0:02:34.52,0:02:36.81,Default,,0000,0000,0000,,Αυτό είναι το πρόβλημα\Nμε το Παράδοξο του Ζήνωνα.
Dialogue: 0,0:02:36.81,0:02:41.45,Default,,0000,0000,0000,,Οι μαθηματικοί από τότε κατάλαβαν πως\Nτο άθροισμα μιας άπειρης σειράς
Dialogue: 0,0:02:41.45,0:02:44.81,Default,,0000,0000,0000,,πεπερασμένων όρων,\Nμπορεί να έχει πεπερασμένο αποτέλεσμα.
Dialogue: 0,0:02:44.81,0:02:47.49,Default,,0000,0000,0000,,Αναρωτιέστε πώς συμβαίνει αυτό;\NΔείτε ένα παράδειγμα:
Dialogue: 0,0:02:47.49,0:02:52.26,Default,,0000,0000,0000,,Πάρτε ένα τετράγωνο με εμβαδόν 1\Nκαι κόψτε το στη μέση.
Dialogue: 0,0:02:52.53,0:02:56.57,Default,,0000,0000,0000,,Μετά πάρτε το υπόλοιπο μισό\Nκαι κόψτε το στη μέση και συνεχίστε έτσι.
Dialogue: 0,0:02:56.57,0:03:00.16,Default,,0000,0000,0000,,Ενώ κόβουμε, ας παρατηρήσουμε\Nτο εμβαδόν των κομματιών.
Dialogue: 0,0:03:00.38,0:03:04.03,Default,,0000,0000,0000,,Το πρώτο χωρίζεται σε δύο μέρη,\Nτο καθένα με εμβαδόν 1/2.
Dialogue: 0,0:03:04.03,0:03:07.80,Default,,0000,0000,0000,,Το επόμενο σχήμα χωρίζει το μισό\Nτου μισού στη μέση και πάει λέγοντας.
Dialogue: 0,0:03:07.80,0:03:12.66,Default,,0000,0000,0000,,Όσες φορές και αν τα κόψουμε στη μέση,\Nτο συνολικό άθροισμα είναι πάντα ίδιο
Dialogue: 0,0:03:12.84,0:03:14.81,Default,,0000,0000,0000,,με αυτό του αρχικού εξωτερικού εμβαδού.
Dialogue: 0,0:03:14.81,0:03:18.97,Default,,0000,0000,0000,,Τώρα καταλαβαίνετε γιατί διαλέξαμε\Nτο παράδειγμα με τη διαίρεση του κύβου.
Dialogue: 0,0:03:18.97,0:03:23.36,Default,,0000,0000,0000,,Πήραμε την ίδια άπειρη σειρά\Nμε αυτή της διαδρομής του Ζήνωνα.
Dialogue: 0,0:03:23.36,0:03:26.19,Default,,0000,0000,0000,,Ενώ διαιρούμε το εσωτερικό\Nσε όλο και περισσότερα τετράγωνα,
Dialogue: 0,0:03:26.19,0:03:29.27,Default,,0000,0000,0000,,δηλαδή, με μαθηματικούς όρους,\Nενώ παίρνουμε το όριο
Dialogue: 0,0:03:29.27,0:03:33.66,Default,,0000,0000,0000,,καθώς το n τείνει στο άπειρο,\Nόλο το τετράγωνο γίνεται μπλε.
Dialogue: 0,0:03:33.66,0:03:38.70,Default,,0000,0000,0000,,Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 1,\Nάρα το άπειρο άθροισμα θα είναι 1.
Dialogue: 0,0:03:38.70,0:03:42.37,Default,,0000,0000,0000,,Σκεφτόμενοι ξανά τη διαδρομή του Ζήνωνα\Nβλέπουμε πώς λύνεται το παράδοξο.
Dialogue: 0,0:03:42.37,0:03:45.71,Default,,0000,0000,0000,,Η άπειρη σειρά δεν έχει μόνο\Nπεπερασμένο άθροισμα,
Dialogue: 0,0:03:45.71,0:03:50.17,Default,,0000,0000,0000,,αλλά το άθροισμα αυτό είναι το ίδιο\Nπου προκύπτει και με την κοινή λογική.
Dialogue: 0,0:03:50.17,0:03:54.15,Default,,0000,0000,0000,,Η διαδρομή του Ζήνωνα\Nθα διαρκέσει μία ώρα.