1
00:00:15,096 --> 00:00:16,867
Αυτός είναι ο Ζήνων ο Ελεάτης,

2
00:00:16,867 --> 00:00:21,042
ένας αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος,
διακεκριμένος επινοητής παραδόξων.

3
00:00:21,042 --> 00:00:25,210
Επιχειρημάτων που ενώ φαίνονται λογικά,
καταλήγουν παράλογα ή αμφισβητήσιμα.

4
00:00:25,389 --> 00:00:27,153
Για περισσότερα από 2.000 χρόνια,

5
00:00:27,153 --> 00:00:30,914
οι σπαζοκεφαλιές του Ζήνωνα
ενέπνευσαν μαθηματικούς και φιλοσόφους

6
00:00:31,004 --> 00:00:33,310
ώστε να κατανοήσουν καλύτερα
τη φύση του απείρου.

7
00:00:33,747 --> 00:00:37,585
Το γνωστότερο επινόημά του
είναι το "Παράδοξο της Διχοτομίας",

8
00:00:37,855 --> 00:00:40,804
το οποίο σημαίνει "το παράδοξο
του να κόβω κάτι στα δύο".

9
00:00:41,529 --> 00:00:42,819
Το οποίο είναι το εξής:

10
00:00:43,389 --> 00:00:48,259
Περνώντας μια κουραστική μέρα με πολύ
σκέψη, αποφάσισε να πάει στο πάρκο.

11
00:00:49,029 --> 00:00:52,659
Ο καθαρός αέρας καθαρίζει το μυαλό του
και τον βοηθάει να σκέφτεται καλύτερα.

12
00:00:52,659 --> 00:00:55,605
Αλλά για να φτάσει στο πάρκο,
πρέπει να κάνει τη μισή διαδρομή.

13
00:00:55,605 --> 00:00:58,444
Για να φτάσει μέχρι τη μέση,
χρειάζεται κάποιο χρόνο.

14
00:00:58,444 --> 00:01:03,184
Από τη μέση και μετά,
πρέπει να περπατήσει το μισό του μισού.

15
00:01:03,672 --> 00:01:05,992
Γι' αυτό χρειάζεται συγκεκριμένο χρόνο.

16
00:01:05,992 --> 00:01:10,734
Από τη στιγμή που θα φτάσει εκεί, πρέπει
να διασχίσει το μισό του υπολοίπου.

17
00:01:10,734 --> 00:01:12,583
Πάλι, χρειάζεται συγκεκριμένο χρόνο.

18
00:01:12,583 --> 00:01:15,522
Όλο αυτό είναι κάτι
που επαναλαμβάνεται διαρκώς.

19
00:01:15,522 --> 00:01:18,263
Μπορούμε να το κάνουμε αυτό
επ' άπειρον.

20
00:01:18,263 --> 00:01:22,128
Να χωρίζουμε δηλαδή την απόσταση
σε μικρότερες αποστάσεις.

21
00:01:22,128 --> 00:01:25,275
Έτσι, η κάθε απόσταση χρειάζεται
πεπερασμένο χρόνο για να διανυθεί.

22
00:01:25,275 --> 00:01:28,205
Οπότε, πόσο χρόνο χρειάζεται ο Ζήνων
για να φτάσει στο πάρκο;

23
00:01:28,205 --> 00:01:32,283
Για να απαντηθεί το ερώτημα χρειάζεται να
προστεθούν όλοι οι χρόνοι των τμημάτων.

24
00:01:32,283 --> 00:01:36,623
Το πρόβλημα είναι πως η απόσταση
χωρίστηκε σε άπειρα μικρότερα τμήματα.

25
00:01:36,623 --> 00:01:39,748
Άρα, δεδομένου αυτού,
μήπως η απάντηση είναι το άπειρο;

26
00:01:39,748 --> 00:01:42,553
Αυτό το επιχείρημα όμως
είναι πολύ γενικευμένο.

27
00:01:42,553 --> 00:01:47,247
Είναι σαν να λέμε πως το ταξίδι από
ένα μέρος σε άλλο διαρκεί άπειρο χρόνο.

28
00:01:47,247 --> 00:01:51,010
Με άλλα λόγια, εννοεί πως
είναι αδύνατο να υπάρχει κίνηση.

29
00:01:51,010 --> 00:01:54,775
Το συμπέρασμα είναι σαφώς παράλογο,
αλλά πού είναι το λάθος στη λογική αυτή;

30
00:01:54,775 --> 00:01:58,728
Για να λυθεί το παράδοξο, μετατρέπουμε
την ιστορία σε μαθηματικό πρόβλημα.

31
00:01:58,728 --> 00:02:01,819
Ας υποθέσουμε πως το σπίτι του Ζήνωνα
απέχει ένα μίλι από το πάρκο

32
00:02:01,819 --> 00:02:04,342
και ο Ζήνων περπατά
με ταχύτητα ενός μιλίου την ώρα.

33
00:02:04,342 --> 00:02:08,212
Η κοινή λογική λέει
πως η διαδρομή θα διαρκέσει μία ώρα.

34
00:02:08,212 --> 00:02:13,198
Αλλά ας δούμε πώς σκέφτεται ο Ζήνων
και ας χωρίσουμε τη διαδρομή σε μέρη.

35
00:02:13,198 --> 00:02:15,710
Για το πρώτο μέρος της διαδρομής
χρειάζεται μισή ώρα,

36
00:02:15,710 --> 00:02:20,968
για το δεύτερο μέρος 1/4 της ώρας, για
το τρίτο μέρος το 1/8 της ώρας, κ.τ.λ..

37
00:02:20,968 --> 00:02:24,368
Αθροίζοντας όλους αυτούς τους χρόνους,
παράγουμε μια σειρά σαν αυτή.

38
00:02:24,368 --> 00:02:29,615
Έτσι, ο Ζήνων θα πει: «Εφόσον υπάρχουν
άπειροι όροι στο δεξί μέλος της εξίσωσης

39
00:02:29,615 --> 00:02:34,516
και κάθε όρος είναι πεπερασμένος,
το άθροισμά της θα είναι το άπειρο».

40
00:02:34,516 --> 00:02:36,806
Αυτό είναι το πρόβλημα
με το Παράδοξο του Ζήνωνα.

41
00:02:36,806 --> 00:02:41,446
Οι μαθηματικοί από τότε κατάλαβαν πως
το άθροισμα μιας άπειρης σειράς

42
00:02:41,446 --> 00:02:44,807
πεπερασμένων όρων,
μπορεί να έχει πεπερασμένο αποτέλεσμα.

43
00:02:44,807 --> 00:02:47,489
Αναρωτιέστε πώς συμβαίνει αυτό;
Δείτε ένα παράδειγμα:

44
00:02:47,489 --> 00:02:52,259
Πάρτε ένα τετράγωνο με εμβαδόν 1
και κόψτε το στη μέση.

45
00:02:52,534 --> 00:02:56,570
Μετά πάρτε το υπόλοιπο μισό
και κόψτε το στη μέση και συνεχίστε έτσι.

46
00:02:56,570 --> 00:03:00,160
Ενώ κόβουμε, ας παρατηρήσουμε
το εμβαδόν των κομματιών.

47
00:03:00,380 --> 00:03:04,034
Το πρώτο χωρίζεται σε δύο μέρη,
το καθένα με εμβαδόν 1/2.

48
00:03:04,034 --> 00:03:07,804
Το επόμενο σχήμα χωρίζει το μισό
του μισού στη μέση και πάει λέγοντας.

49
00:03:07,804 --> 00:03:12,664
Όσες φορές και αν τα κόψουμε στη μέση,
το συνολικό άθροισμα είναι πάντα ίδιο

50
00:03:12,839 --> 00:03:14,814
με αυτό του αρχικού εξωτερικού εμβαδού.

51
00:03:14,814 --> 00:03:18,969
Τώρα καταλαβαίνετε γιατί διαλέξαμε
το παράδειγμα με τη διαίρεση του κύβου.

52
00:03:18,969 --> 00:03:23,358
Πήραμε την ίδια άπειρη σειρά
με αυτή της διαδρομής του Ζήνωνα.

53
00:03:23,358 --> 00:03:26,187
Ενώ διαιρούμε το εσωτερικό
σε όλο και περισσότερα τετράγωνα,

54
00:03:26,187 --> 00:03:29,267
δηλαδή, με μαθηματικούς όρους,
ενώ παίρνουμε το όριο

55
00:03:29,267 --> 00:03:33,658
καθώς το n τείνει στο άπειρο,
όλο το τετράγωνο γίνεται μπλε.

56
00:03:33,658 --> 00:03:38,701
Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 1,
άρα το άπειρο άθροισμα θα είναι 1.

57
00:03:38,701 --> 00:03:42,369
Σκεφτόμενοι ξανά τη διαδρομή του Ζήνωνα
βλέπουμε πώς λύνεται το παράδοξο.

58
00:03:42,369 --> 00:03:45,706
Η άπειρη σειρά δεν έχει μόνο
πεπερασμένο άθροισμα,

59
00:03:45,706 --> 00:03:50,173
αλλά το άθροισμα αυτό είναι το ίδιο
που προκύπτει και με την κοινή λογική.

60
00:03:50,173 --> 00:03:54,152
Η διαδρομή του Ζήνωνα
θα διαρκέσει μία ώρα.