0:00:15.096,0:00:16.867
Αυτός είναι ο Ζήνων ο Ελεάτης,

0:00:16.867,0:00:21.042
ένας αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος,[br]διακεκριμένος επινοητής παραδόξων.

0:00:21.042,0:00:25.210
Επιχειρημάτων που ενώ φαίνονται λογικά,[br]καταλήγουν παράλογα ή αμφισβητήσιμα.

0:00:25.389,0:00:27.153
Για περισσότερα από 2.000 χρόνια,

0:00:27.153,0:00:30.914
οι σπαζοκεφαλιές του Ζήνωνα[br]ενέπνευσαν μαθηματικούς και φιλοσόφους

0:00:31.004,0:00:33.310
ώστε να κατανοήσουν καλύτερα[br]τη φύση του απείρου.

0:00:33.747,0:00:37.585
Το γνωστότερο επινόημά του[br]είναι το "Παράδοξο της Διχοτομίας",

0:00:37.855,0:00:40.804
το οποίο σημαίνει "το παράδοξο[br]του να κόβω κάτι στα δύο".

0:00:41.529,0:00:42.819
Το οποίο είναι το εξής:

0:00:43.389,0:00:48.259
Περνώντας μια κουραστική μέρα με πολύ[br]σκέψη, αποφάσισε να πάει στο πάρκο.

0:00:49.029,0:00:52.659
Ο καθαρός αέρας καθαρίζει το μυαλό του[br]και τον βοηθάει να σκέφτεται καλύτερα.

0:00:52.659,0:00:55.605
Αλλά για να φτάσει στο πάρκο,[br]πρέπει να κάνει τη μισή διαδρομή.

0:00:55.605,0:00:58.444
Για να φτάσει μέχρι τη μέση,[br]χρειάζεται κάποιο χρόνο.

0:00:58.444,0:01:03.184
Από τη μέση και μετά,[br]πρέπει να περπατήσει το μισό του μισού.

0:01:03.672,0:01:05.992
Γι' αυτό χρειάζεται συγκεκριμένο χρόνο.

0:01:05.992,0:01:10.734
Από τη στιγμή που θα φτάσει εκεί, πρέπει[br]να διασχίσει το μισό του υπολοίπου.

0:01:10.734,0:01:12.583
Πάλι, χρειάζεται συγκεκριμένο χρόνο.

0:01:12.583,0:01:15.522
Όλο αυτό είναι κάτι[br]που επαναλαμβάνεται διαρκώς.

0:01:15.522,0:01:18.263
Μπορούμε να το κάνουμε αυτό[br]επ' άπειρον.

0:01:18.263,0:01:22.128
Να χωρίζουμε δηλαδή την απόσταση[br]σε μικρότερες αποστάσεις.

0:01:22.128,0:01:25.275
Έτσι, η κάθε απόσταση χρειάζεται[br]πεπερασμένο χρόνο για να διανυθεί.

0:01:25.275,0:01:28.205
Οπότε, πόσο χρόνο χρειάζεται ο Ζήνων[br]για να φτάσει στο πάρκο;

0:01:28.205,0:01:32.283
Για να απαντηθεί το ερώτημα χρειάζεται να[br]προστεθούν όλοι οι χρόνοι των τμημάτων.

0:01:32.283,0:01:36.623
Το πρόβλημα είναι πως η απόσταση[br]χωρίστηκε σε άπειρα μικρότερα τμήματα.

0:01:36.623,0:01:39.748
Άρα, δεδομένου αυτού,[br]μήπως η απάντηση είναι το άπειρο;

0:01:39.748,0:01:42.553
Αυτό το επιχείρημα όμως[br]είναι πολύ γενικευμένο.

0:01:42.553,0:01:47.247
Είναι σαν να λέμε πως το ταξίδι από[br]ένα μέρος σε άλλο διαρκεί άπειρο χρόνο.

0:01:47.247,0:01:51.010
Με άλλα λόγια, εννοεί πως[br]είναι αδύνατο να υπάρχει κίνηση.

0:01:51.010,0:01:54.775
Το συμπέρασμα είναι σαφώς παράλογο,[br]αλλά πού είναι το λάθος στη λογική αυτή;

0:01:54.775,0:01:58.728
Για να λυθεί το παράδοξο, μετατρέπουμε[br]την ιστορία σε μαθηματικό πρόβλημα.

0:01:58.728,0:02:01.819
Ας υποθέσουμε πως το σπίτι του Ζήνωνα[br]απέχει ένα μίλι από το πάρκο

0:02:01.819,0:02:04.342
και ο Ζήνων περπατά[br]με ταχύτητα ενός μιλίου την ώρα.

0:02:04.342,0:02:08.212
Η κοινή λογική λέει[br]πως η διαδρομή θα διαρκέσει μία ώρα.

0:02:08.212,0:02:13.198
Αλλά ας δούμε πώς σκέφτεται ο Ζήνων[br]και ας χωρίσουμε τη διαδρομή σε μέρη.

0:02:13.198,0:02:15.710
Για το πρώτο μέρος της διαδρομής[br]χρειάζεται μισή ώρα,

0:02:15.710,0:02:20.968
για το δεύτερο μέρος 1/4 της ώρας, για[br]το τρίτο μέρος το 1/8 της ώρας, κ.τ.λ..

0:02:20.968,0:02:24.368
Αθροίζοντας όλους αυτούς τους χρόνους,[br]παράγουμε μια σειρά σαν αυτή.

0:02:24.368,0:02:29.615
Έτσι, ο Ζήνων θα πει: «Εφόσον υπάρχουν[br]άπειροι όροι στο δεξί μέλος της εξίσωσης

0:02:29.615,0:02:34.516
και κάθε όρος είναι πεπερασμένος,[br]το άθροισμά της θα είναι το άπειρο».

0:02:34.516,0:02:36.806
Αυτό είναι το πρόβλημα[br]με το Παράδοξο του Ζήνωνα.

0:02:36.806,0:02:41.446
Οι μαθηματικοί από τότε κατάλαβαν πως[br]το άθροισμα μιας άπειρης σειράς

0:02:41.446,0:02:44.807
πεπερασμένων όρων,[br]μπορεί να έχει πεπερασμένο αποτέλεσμα.

0:02:44.807,0:02:47.489
Αναρωτιέστε πώς συμβαίνει αυτό;[br]Δείτε ένα παράδειγμα:

0:02:47.489,0:02:52.259
Πάρτε ένα τετράγωνο με εμβαδόν 1[br]και κόψτε το στη μέση.

0:02:52.534,0:02:56.570
Μετά πάρτε το υπόλοιπο μισό[br]και κόψτε το στη μέση και συνεχίστε έτσι.

0:02:56.570,0:03:00.160
Ενώ κόβουμε, ας παρατηρήσουμε[br]το εμβαδόν των κομματιών.

0:03:00.380,0:03:04.034
Το πρώτο χωρίζεται σε δύο μέρη,[br]το καθένα με εμβαδόν 1/2.

0:03:04.034,0:03:07.804
Το επόμενο σχήμα χωρίζει το μισό[br]του μισού στη μέση και πάει λέγοντας.

0:03:07.804,0:03:12.664
Όσες φορές και αν τα κόψουμε στη μέση,[br]το συνολικό άθροισμα είναι πάντα ίδιο

0:03:12.839,0:03:14.814
με αυτό του αρχικού εξωτερικού εμβαδού.

0:03:14.814,0:03:18.969
Τώρα καταλαβαίνετε γιατί διαλέξαμε[br]το παράδειγμα με τη διαίρεση του κύβου.

0:03:18.969,0:03:23.358
Πήραμε την ίδια άπειρη σειρά[br]με αυτή της διαδρομής του Ζήνωνα.

0:03:23.358,0:03:26.187
Ενώ διαιρούμε το εσωτερικό[br]σε όλο και περισσότερα τετράγωνα,

0:03:26.187,0:03:29.267
δηλαδή, με μαθηματικούς όρους,[br]ενώ παίρνουμε το όριο

0:03:29.267,0:03:33.658
καθώς το n τείνει στο άπειρο,[br]όλο το τετράγωνο γίνεται μπλε.

0:03:33.658,0:03:38.701
Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 1,[br]άρα το άπειρο άθροισμα θα είναι 1.

0:03:38.701,0:03:42.369
Σκεφτόμενοι ξανά τη διαδρομή του Ζήνωνα[br]βλέπουμε πώς λύνεται το παράδοξο.

0:03:42.369,0:03:45.706
Η άπειρη σειρά δεν έχει μόνο[br]πεπερασμένο άθροισμα,

0:03:45.706,0:03:50.173
αλλά το άθροισμα αυτό είναι το ίδιο[br]που προκύπτει και με την κοινή λογική.

0:03:50.173,0:03:54.152
Η διαδρομή του Ζήνωνα[br]θα διαρκέσει μία ώρα.