이 강의에서는 연산의 순서에 대해
설명하려고 합니다
주의할 게 있어요
수학에서 하는 모든 것은 확실하게
연산의 순서에 기초를 두어야하기 때문이에요
연산의 순서라는 것은 무슨 뜻일까요?
예제로 설명할게요
수학식을 해석하는 길은 하나여야 한다는 거에요
다음과 같은 수학식이 있다고 합시다
7 더하기 3 곱하기 5
연산의 순서에 합의하지 않으면
이 식을 두 가지로 해석할 수 있어요
단순히 왼쪽부터 오른쪽으로 계산하는 거에요
7 + 3을 하고
거기에 5를 곱하면
7 + 3은 10 이고
여기에 5를 곱하면
10 * 5가 되어 50 이에요
이것이 첫 번째 해석이에요
단순히 왼쪽에서 오른쪽 순서로 진행한 거에요
다른 해석은
덧셈을 하기 전에 곱셈을 먼저 하는 거에요
이렇게 해석할 수도 있어요
7에 3 *5 를 먼저 계산해 더하는 거에요
7에다 3 × 5를 계산한 15를 더해면 22에요
7 + 3 × 5를 두 가지로 해석할 수 있었어요
첫 번째는 단순히 왼쪽에서 오른쪽으로 계산해서
덧셈을 먼저하고 곱셈을 했어요
다른 방법은 곱셈을 먼저 하고 덧셈을 했어요
그래서 2개의 다른 답을 구했어요
만약 이 수식이 어떤 것을 달에 보내는 일이었다면
두 사람이 이 식을 서로 다르게 해석했기 때문에
한 컴퓨터는 왼쪽으로 해석하고 다른 컴퓨터는 오른쪽으로 해석했다면
인공위성은 화성으로 갔을 수도 있어요
이것은 용납될 수 없는 일이고
그래서 연산 순서를 합의해야 해요
이 수식을 해석하는 방법에 대한 합의에요
합의된 연산 순서는 괄호를 먼저 계산하고
괄호 먼저
다음은 지수에요 지수가 무엇인지를 모른다면
지금 당장은 걱정 안해도 되요
이 강의에서는 지수가 있는 예제는 다루지 않을 거에요
다음에 곱셈과 나눗셈을 해요
곱셈과 나눗셈은 순위가 같아요
마지막으로 덧셈과 뺄셈을 해요
연산의 순서는 무엇인가요?
여기 써 있는 것이 합의된 연산 순서에요
이 연산 순서를 따르면
항상 주어진 수식에 대해서 같은 답을 구할 수 있어요
7 + 3 × 5는 무엇을 말하는 걸까요?
가장 바른 해석은
이 식에는 괄호가 없어요
괄호는 숫자 주변에 이렇게 좀 구부러진 거에요
괄호가 있는
예제를 몇 개 해볼게요
이 식에는 지수도 없어요
이 식에 곱셈이 있어요
연산 순서에서 곱셈과 나눗셈이 우선 순위에요
이 식에서는 곱셈을 먼저해야 되요
여기 3 × 5를 먼저 계산해야 해요
곱셈은 덧셈이나 뺄셈 보다 우선 순위에요
3 곱하기 5 를 계산하면
15이고 여기에 7을 더해요
여기에는 덧셈이 있네요
곱셈을 먼저 계산해서 15이고 여기에 7을 더하면 22에요
합의된 연산 순서를 따라 계산한
22가 정답이에요
다른 문제를 풀어봅시다
연산의 순서를 확실하게 알 수 있을 거에요
7 + 3 에 괄호가 있고
× 4 ÷ 2 - 5 × 6 를 해보겠습니다
복잡한 연산이 모두 여기에 있는데요
연산의 순서를 따르면 수식이 간단해져서
모두 정답을 구할 수 있어요
연산 순서를 따라 해 볼게요
첫 번째로 괄호를 찾아봐야 해요
여기에 괄호가 있나요?
네, 7 +3 에 괄호가 있네요
괄호안에 있는 7 +3 을 계산하면 10 이에요
간단히 할 수 있어요
10 곱하기 나머지 식으로요
복사해서 붙이면 계속 쓸 필요가 없어요
이제 10 곱하기 나머지 식으로 간단히 됐고
괄호를 먼저 계산했고 그 다음 무엇을 해야 하나요?
이 수식에는 더 이상의 괄호가 없구요
다음으로 지수를 해야 하는데 이 식에는 지수가 없어요
지수가 어떻게 생겼는지 궁금하다면
지수는 이렇게 생겼어요 7의 제곱으로
오른쪽 위에 있는 작은 수에요
여기엔 지수가 없으니 걱정할 필요 없어요
다음으로 곱셈과 나눗셈을 해야되요
곱셈이 있는지 살펴보면
곱셈, 나눗셈, 다시 곱셈이 있네요
같은 순위의 연산이 여러 개 있을 때에는
곱셈과 나눗셈은 같은 순위니까
왼쪽부터 오른쪽으로 계산해요
이 식에서는 10에 4를 곱하고 나서 2를 나눠야 해요
뺄셈을 하기 전에 5 × 6 을 해요
계산해 봅시다
곱하기를 먼저 하면
10 × 4를 하고 동시에 5 × 6을 할 수도 있는데요
틀리지 않기 때문이에요
하지만 한 번에 한 단계씩만 해 볼게요
다음 단계는 10 × 4 에요
10 × 4는 40이에요
40을 2로 나눠요
나머지를 복사하고 붙이면
이렇게 단순해져요
곱셈과 나눗셈은 동급이라는 것을 기억하세요
왼쪽부터 오른쪽으로 계산해요
이것을 곱하기 2분의 1로 표현할 수도 있는데요
순서의 문제가 아니라 단순화의 문제에요
곱셈과 나눗셈이 같이 있으면 왼쪽에서 오른쪽으로 계산해요
40 ÷ 2 - 5 × 6 이 되요
여기 나눗셈이 있고
여기 곱셈이 있는데
곱셈과 나눗셈이 같이 있지 않지만
실제로는 동시에 할 수도 있어요
뺄셈 하기 전에 곱셈과 나눗셈을 먼저 계산한다는 것을 기억하세요
곱셈과 나눗셈은 덧셈과 뺄셈 보다 우선 순위가 높기 때문에
괄호를 넣을 수도 있어요
40 ÷ 2 와 5 × 6을 먼저 계산 해요
곱셈과 나눗셈이 뺄셈보다 우선 순위니까
40을 2로 나누면 20 이고 빼기 부호 쓰고
5 * 6 은 30이에요
20 - 30은 음수 10이에요
이것이 정답이에요
아주 확실히 정리해 봅시다
연산의 우선 순위가 같은 것끼리 있으면
1 + 2 - 3 + 4 - 1을 한다면
덧셈과 뺄셈은 연산 순서에서 같은 순위니까
왼쪽에서 오른쪽으로 계산해야 되요
1 더하기 2는 3이고
그러면 3 빼기 3 더하기 4 빼기 1 이 되요
3 - 3은 0이고 여기에 + 4 - 1 이에요
이것은 4 빼기 1과 같고
3 이에요
곱셈과 나눗셈도 마찬가지에요
같은 순위니까요
4 곱하기 2 나누기 3 곱하기 2를 계산하면
4 곱하기 2는 8이고 나누기 3 곱하기 2가 되서
8 나누기 3은 분수가 되어
3분의 8이 되고 3분의 8 곱하기 2가 되요
3분의 8 곱하기 2는 3분의 16이 되요
이 식을 해석해서 정답을 구한 거에요
순서를 마음대로 할 수 있을 때는
모두 덧셈이거나 모두 곱셈일 때에요
1 + 5 + 7 + 3 + 2를 한다면
어떤 순서로 하건 상관이 없어요
오른쪽에서 왼쪽으로 할 수도 있고
왼쪽에서 오른쪽으로 할 수도 있어요
중간부터 할 수도 있어요
하지만 덧셈만 있을 때에요
모두 곱셈만 있는 경우에도 마찬가지에요
1 × 5 × 7 × 3 × 2 를 한다면
순서를 어떻게 하건 상관 없어요
모두 덧셈이거나 모두 곱셈인 경우에만 적용되요
나눗셈이나 뺄셈이 여기에 섞여 있으면
왼쪽에서 오른쪽으로 진행하는 것이 가장 좋아요