WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.181
你作為一名古代研究數學的哲學家,

00:00:03.181 --> 00:00:07.185
斷定出如果正數和負數的乘法要 ...


00:00:07.185 --> 00:00:10.177
... 和你到目前為止所建立的、

00:00:10.177 --> 00:00:13.502
所懂得的乘法的特性一致，


00:00:13.502 --> 00:00:17.178
若要得出負數答案， 就須要一個負數乘一個正數，

00:00:17.178 --> 00:00:20.770
或一個正數乘一個負數。

00:00:20.770 --> 00:00:24.181
而要得出正數答案，就須要 ...

00:00:24.181 --> 00:00:27.846
... 負數乘負數。雖然你接受這些是貫徹一致的原則，

00:00:27.846 --> 00:00:30.845
但是你還未能完全掌握個中道理。


00:00:30.845 --> 00:00:35.770
你想有更深入的理解，並不僅僅接受分配性質的解釋，

00:00:35.770 --> 00:00:40.369
所以你再作一個思考實驗。

00:00:40.369 --> 00:00:45.377
你問 : 「若用一個基本乘法計算會是怎樣呢?」

00:00:45.377 --> 00:00:47.369
當我說, 2 x 3

00:00:47.369 --> 00:00:51.183
另一個理解乘法的方法 ...

00:00:51.183 --> 00:00:55.103
... 就是重複的加法，

00:00:55.103 --> 00:00:58.036
所以你可以視之為兩個 3。

00:00:58.036 --> 00:01:02.351
就讓我寫下 3 + 3 ，

00:01:02.351 --> 00:01:05.703
留意這裡有兩個 3 ，

00:01:05.703 --> 00:01:09.770
或者你可以視為三個 2 ，則等同 ...

00:01:09.770 --> 00:01:13.434
... 2 + 2 + 2。

00:01:13.434 --> 00:01:17.100
兩種方法來構思都 ...

00:01:17.100 --> 00:01:20.602
... 能達到同一個答案,

00:01:20.602 --> 00:01:24.597
就是 6。 合理呀!

00:01:24.597 --> 00:01:27.569
你嘗試解答負數問題前你已經懂的這一點。

00:01:27.569 --> 00:01:30.518
現在, 我們把其中一個數變成負數，


00:01:30.518 --> 00:01:33.369
再看一看結果。我們試做 ...

00:01:33.369 --> 00:01:35.516
... 2 x -3 。

00:01:35.516 --> 00:01:42.103
我會用另一個顏色填寫負數。

00:01:42.103 --> 00:01:46.309
2 x -3

00:01:46.309 --> 00:01:49.851
用同之前一樣的方式看待，

00:01:49.851 --> 00:01:52.853
這裡有兩個 -3, 所以是負數，

00:01:52.853 --> 00:01:56.767
我嘗試用不同顏色來辨認 ...

00:01:56.767 --> 00:02:01.042
... 這一個 -3 和另一個 -3 ，

00:02:01.042 --> 00:02:05.180
或你可以說是 -3 減 3。

00:02:05.180 --> 00:02:08.568
這正是有趣的地方，

00:02:08.568 --> 00:02:11.036
與這邊的 2 x 3 不同，

00:02:11.036 --> 00:02:14.310
並非將 2 加三次。

00:02:14.310 --> 00:02:15.885
因為這邊是 2 x -3，

00:02:17.460 --> 00:02:19.036
你也可以想像你要減 2 三次。

00:02:19.036 --> 00:02:21.700
與上面不一樣，

00:02:21.700 --> 00:02:26.519
因為這邊都是正數，所以可寫成 2 + 2 + 2 ，

00:02:26.519 --> 00:02:29.436
但因為這個 3 是負數,

00:02:29.436 --> 00:02:33.702
我們可以想像成減 2 三次，則是 ...

00:02:33.702 --> 00:02:37.930
... -2 減 2、

00:02:37.930 --> 00:02:43.186
-2 再減 2、

00:02:43.186 --> 00:02:46.102
再減 2、

00:02:46.102 --> 00:02:54.936
你減了三次。

00:02:54.936 --> 00:02:59.932
總括來說你減了 2 三次。


00:02:59.932 --> 00:03:03.770
不論你用那一個方法構想 ,


00:03:03.770 --> 00:03:07.264
都會得出 -6 , 


00:03:07.264 --> 00:03:10.186
-6 就是答案。

00:03:10.186 --> 00:03:16.264
現在, 你已經開始對這部份有掌握了:

00:03:16.264 --> 00:03:18.369
負數乘正數, 或正數乘負數，


00:03:18.369 --> 00:03:21.600
都會得出負數答案。現在我們要處理一個有違直覺的題目，


00:03:21.600 --> 00:03:24.685
就是負數乘負數時, 兩個負數互相取消 ...

00:03:24.685 --> 00:03:28.037
... 變成一個正數答案. 為什麼會這樣呢?


00:03:28.037 --> 00:03:30.969
我們用這個例子解釋。

00:03:30.969 --> 00:03:35.934
比如我們有一個 -2 ...

00:03:35.934 --> 00:03:38.103
... 一個 -2, 讓我用另一個顏色寫,

00:03:38.103 --> 00:03:42.851
比如我們有一角 -2 , 我已經用過這個顏色

00:03:42.851 --> 00:03:45.239
-2 x -3

00:03:45.239 --> 00:03:48.702
-2 x -3

00:03:48.702 --> 00:03:53.975
現在，我們可用兩個方式看待，我會先做這個題目。

00:03:53.975 --> 00:03:57.775
讓我們把某個數目乘以 -3 : 我們會 ...

00:03:57.775 --> 00:04:01.234
重複減去那個數目三次, 不管它是甚麼。

00:04:01.234 --> 00:04:05.769
現在這個數目不是 + 2 ，


00:04:05.769 --> 00:04:08.636
我們要減三次的是 - 2，

00:04:08.636 --> 00:04:10.902
讓我澄清一下。這裏的意思是我們要減某個數目三次 ...

00:04:10.902 --> 00:04:13.969
減去某數、 減去某數、

00:04:13.969 --> 00:04:17.104
減去某數共三次。

00:04:17.104 --> 00:04:20.642
這就是這部份告訴我們的。

00:04:20.642 --> 00:04:24.302
我們便照做足三次，

00:04:24.302 --> 00:04:28.369
在這裡，我們減了三次的數字是 +2 , 現在我們要 ...

00:04:28.369 --> 00:04:32.271
... 減的是 -2 ，現在我們則要減 -2。

00:04:32.271 --> 00:04:35.770
我們已經確立了一種直覺，知道減負數 ...

00:04:35.770 --> 00:04:39.434
... 就如同拿走一個人的債務，

00:04:40.368 --> 00:04:46.105
也就是如同加正數一樣, 所以這個算式 ...

00:04:46.105 --> 00:04:50.370
... 等同 2 + 2 + 2 ，

00:04:50.370 --> 00:04:53.606
這就再次告訴我們，答案是 + 6 。

00:04:53.606 --> 00:04:56.901
而你在這裡也可以應用相同的邏輯 ，

00:04:56.901 --> 00:05:00.302
不同的是並非加 - 3 兩次, 在這個例子中我可以寫成 ...

00:05:00.302 --> 00:05:03.854
... - 3

00:05:03.854 --> 00:05:05.569
讓我這樣寫下來，- 3 ...

00:05:05.569 --> 00:05:11.523
... -3, 我們把它們加起來 ...

00:05:11.523 --> 00:05:15.299
在這裡放正號,

00:05:15.299 --> 00:05:18.602
... 讓我在這裡寫一個正號以作澄清，

00:05:18.602 --> 00:05:23.349
或因為這邊有個 - 2，我們便減 ...

00:05:23.349 --> 00:05:26.184
... -3 兩次。當我們減一個數,

00:05:26.184 --> 00:05:30.102
再減一個數, 而這個數 ...


00:05:30.102 --> 00:05:33.440
... 正是 - 3, 因此我要寫 ...

00:05:33.440 --> 00:05:37.036
... 負號、負號，然後將 3 放在這裡，

00:05:37.036 --> 00:05:41.241
再一次, 減 -3 等同拿走一個人的債務,

00:05:41.241 --> 00:05:43.182
即是和送錢一樣，

00:05:43.182 --> 00:05:48.274
也就是 3 加 3，則同樣是 6。所以你，

00:05:48.274 --> 00:05:51.439
作為一名古代哲學家, 應該感覺還不錯。不僅以上原則 ...

00:05:51.439 --> 00:05:55.105
... 和你到目前為止所解理的數學一致，

00:05:55.105 --> 00:05:58.369
分配性質、結合性質、乘法等等，

00:05:58.369 --> 00:06:00.767
一切都是你本來已經知道的，


00:06:00.767 --> 00:06:04.772
這些原則你能夠在概念上解理, 而且合乎

00:06:04.772 --> 00:06:08.108
你原本的記法、對正數乘法的記法，

00:06:08.108 --> 00:06:12.108
那就是重複的加法。