你作為一名古代研究數學的哲學家,
斷定出如果正數和負數的乘法要 ...
... 和你到目前為止所建立的、
所懂得的乘法的特性一致，
若要得出負數答案， 就須要一個負數乘一個正數，
或一個正數乘一個負數。
而要得出正數答案，就須要 ...
... 負數乘負數。雖然你接受這些是貫徹一致的原則，
但是你還未能完全掌握個中道理。
你想有更深入的理解，並不僅僅接受分配性質的解釋，
所以你再作一個思考實驗。
你問 : 「若用一個基本乘法計算會是怎樣呢?」
當我說, 2 x 3
另一個理解乘法的方法 ...
... 就是重複的加法，
所以你可以視之為兩個 3。
就讓我寫下 3 + 3 ，
留意這裡有兩個 3 ，
或者你可以視為三個 2 ，則等同 ...
... 2 + 2 + 2。
兩種方法來構思都 ...
... 能達到同一個答案,
就是 6。 合理呀!
你嘗試解答負數問題前你已經懂的這一點。
現在, 我們把其中一個數變成負數，
再看一看結果。我們試做 ...
... 2 x -3 。
我會用另一個顏色填寫負數。
2 x -3
用同之前一樣的方式看待，
這裡有兩個 -3, 所以是負數，
我嘗試用不同顏色來辨認 ...
... 這一個 -3 和另一個 -3 ，
或你可以說是 -3 減 3。
這正是有趣的地方，
與這邊的 2 x 3 不同，
並非將 2 加三次。
因為這邊是 2 x -3，
你也可以想像你要減 2 三次。
與上面不一樣，
因為這邊都是正數，所以可寫成 2 + 2 + 2 ，
但因為這個 3 是負數,
我們可以想像成減 2 三次，則是 ...
... -2 減 2、
-2 再減 2、
再減 2、
你減了三次。
總括來說你減了 2 三次。
不論你用那一個方法構想 ,
都會得出 -6 ,
-6 就是答案。
現在, 你已經開始對這部份有掌握了:
負數乘正數, 或正數乘負數，
都會得出負數答案。現在我們要處理一個有違直覺的題目，
就是負數乘負數時, 兩個負數互相取消 ...
... 變成一個正數答案. 為什麼會這樣呢?
我們用這個例子解釋。
比如我們有一個 -2 ...
... 一個 -2, 讓我用另一個顏色寫,
比如我們有一角 -2 , 我已經用過這個顏色
-2 x -3
現在，我們可用兩個方式看待，我會先做這個題目。
讓我們把某個數目乘以 -3 : 我們會 ...
重複減去那個數目三次, 不管它是甚麼。
現在這個數目不是 + 2 ，
我們要減三次的是 - 2，
讓我澄清一下。這裏的意思是我們要減某個數目三次 ...
減去某數、 減去某數、
減去某數共三次。
這就是這部份告訴我們的。
我們便照做足三次，
在這裡，我們減了三次的數字是 +2 , 現在我們要 ...
... 減的是 -2 ，現在我們則要減 -2。
我們已經確立了一種直覺，知道減負數 ...
... 就如同拿走一個人的債務，
也就是如同加正數一樣, 所以這個算式 ...
... 等同 2 + 2 + 2 ，
這就再次告訴我們，答案是 + 6 。
而你在這裡也可以應用相同的邏輯 ，
不同的是並非加 - 3 兩次, 在這個例子中我可以寫成 ...
... - 3
讓我這樣寫下來，- 3 ...
... -3, 我們把它們加起來 ...
在這裡放正號,
... 讓我在這裡寫一個正號以作澄清，
或因為這邊有個 - 2，我們便減 ...
... -3 兩次。當我們減一個數,
再減一個數, 而這個數 ...
... 正是 - 3, 因此我要寫 ...
... 負號、負號，然後將 3 放在這裡，
再一次, 減 -3 等同拿走一個人的債務,
即是和送錢一樣，
也就是 3 加 3，則同樣是 6。所以你，
作為一名古代哲學家, 應該感覺還不錯。不僅以上原則 ...
... 和你到目前為止所解理的數學一致，
分配性質、結合性質、乘法等等，
一切都是你本來已經知道的，
這些原則你能夠在概念上解理, 而且合乎
你原本的記法、對正數乘法的記法，
那就是重複的加法。