0:00:00.000,0:00:03.181
你作為一名古代研究數學的哲學家,

0:00:03.181,0:00:07.185
斷定出如果正數和負數的乘法要 ...[br]

0:00:07.185,0:00:10.177
... 和你到目前為止所建立的、

0:00:10.177,0:00:13.502
所懂得的乘法的特性一致，[br]

0:00:13.502,0:00:17.178
若要得出負數答案， 就須要一個負數乘一個正數，

0:00:17.178,0:00:20.770
或一個正數乘一個負數。

0:00:20.770,0:00:24.181
而要得出正數答案，就須要 ...

0:00:24.181,0:00:27.846
... 負數乘負數。雖然你接受這些是貫徹一致的原則，

0:00:27.846,0:00:30.845
但是你還未能完全掌握個中道理。[br]

0:00:30.845,0:00:35.770
你想有更深入的理解，並不僅僅接受分配性質的解釋，

0:00:35.770,0:00:40.369
所以你再作一個思考實驗。

0:00:40.369,0:00:45.377
你問 : 「若用一個基本乘法計算會是怎樣呢?」

0:00:45.377,0:00:47.369
當我說, 2 x 3

0:00:47.369,0:00:51.183
另一個理解乘法的方法 ...

0:00:51.183,0:00:55.103
... 就是重複的加法，

0:00:55.103,0:00:58.036
所以你可以視之為兩個 3。

0:00:58.036,0:01:02.351
就讓我寫下 3 + 3 ，

0:01:02.351,0:01:05.703
留意這裡有兩個 3 ，

0:01:05.703,0:01:09.770
或者你可以視為三個 2 ，則等同 ...

0:01:09.770,0:01:13.434
... 2 + 2 + 2。

0:01:13.434,0:01:17.100
兩種方法來構思都 ...

0:01:17.100,0:01:20.602
... 能達到同一個答案,

0:01:20.602,0:01:24.597
就是 6。 合理呀!

0:01:24.597,0:01:27.569
你嘗試解答負數問題前你已經懂的這一點。

0:01:27.569,0:01:30.518
現在, 我們把其中一個數變成負數，[br]

0:01:30.518,0:01:33.369
再看一看結果。我們試做 ...

0:01:33.369,0:01:35.516
... 2 x -3 。

0:01:35.516,0:01:42.103
我會用另一個顏色填寫負數。

0:01:42.103,0:01:46.309
2 x -3

0:01:46.309,0:01:49.851
用同之前一樣的方式看待，

0:01:49.851,0:01:52.853
這裡有兩個 -3, 所以是負數，

0:01:52.853,0:01:56.767
我嘗試用不同顏色來辨認 ...

0:01:56.767,0:02:01.042
... 這一個 -3 和另一個 -3 ，

0:02:01.042,0:02:05.180
或你可以說是 -3 減 3。

0:02:05.180,0:02:08.568
這正是有趣的地方，

0:02:08.568,0:02:11.036
與這邊的 2 x 3 不同，

0:02:11.036,0:02:14.310
並非將 2 加三次。

0:02:14.310,0:02:15.885
因為這邊是 2 x -3，

0:02:17.460,0:02:19.036
你也可以想像你要減 2 三次。

0:02:19.036,0:02:21.700
與上面不一樣，

0:02:21.700,0:02:26.519
因為這邊都是正數，所以可寫成 2 + 2 + 2 ，

0:02:26.519,0:02:29.436
但因為這個 3 是負數,

0:02:29.436,0:02:33.702
我們可以想像成減 2 三次，則是 ...

0:02:33.702,0:02:37.930
... -2 減 2、

0:02:37.930,0:02:43.186
-2 再減 2、

0:02:43.186,0:02:46.102
再減 2、

0:02:46.102,0:02:54.936
你減了三次。

0:02:54.936,0:02:59.932
總括來說你減了 2 三次。[br]

0:02:59.932,0:03:03.770
不論你用那一個方法構想 ,[br]

0:03:03.770,0:03:07.264
都會得出 -6 , [br]

0:03:07.264,0:03:10.186
-6 就是答案。

0:03:10.186,0:03:16.264
現在, 你已經開始對這部份有掌握了:

0:03:16.264,0:03:18.369
負數乘正數, 或正數乘負數，[br]

0:03:18.369,0:03:21.600
都會得出負數答案。現在我們要處理一個有違直覺的題目，[br]

0:03:21.600,0:03:24.685
就是負數乘負數時, 兩個負數互相取消 ...

0:03:24.685,0:03:28.037
... 變成一個正數答案. 為什麼會這樣呢?[br]

0:03:28.037,0:03:30.969
我們用這個例子解釋。

0:03:30.969,0:03:35.934
比如我們有一個 -2 ...

0:03:35.934,0:03:38.103
... 一個 -2, 讓我用另一個顏色寫,

0:03:38.103,0:03:42.851
比如我們有一角 -2 , 我已經用過這個顏色

0:03:42.851,0:03:45.239
-2 x -3

0:03:45.239,0:03:48.702
-2 x -3

0:03:48.702,0:03:53.975
現在，我們可用兩個方式看待，我會先做這個題目。

0:03:53.975,0:03:57.775
讓我們把某個數目乘以 -3 : 我們會 ...

0:03:57.775,0:04:01.234
重複減去那個數目三次, 不管它是甚麼。

0:04:01.234,0:04:05.769
現在這個數目不是 + 2 ，[br]

0:04:05.769,0:04:08.636
我們要減三次的是 - 2，

0:04:08.636,0:04:10.902
讓我澄清一下。這裏的意思是我們要減某個數目三次 ...

0:04:10.902,0:04:13.969
減去某數、 減去某數、

0:04:13.969,0:04:17.104
減去某數共三次。

0:04:17.104,0:04:20.642
這就是這部份告訴我們的。

0:04:20.642,0:04:24.302
我們便照做足三次，

0:04:24.302,0:04:28.369
在這裡，我們減了三次的數字是 +2 , 現在我們要 ...

0:04:28.369,0:04:32.271
... 減的是 -2 ，現在我們則要減 -2。

0:04:32.271,0:04:35.770
我們已經確立了一種直覺，知道減負數 ...

0:04:35.770,0:04:39.434
... 就如同拿走一個人的債務，

0:04:40.368,0:04:46.105
也就是如同加正數一樣, 所以這個算式 ...

0:04:46.105,0:04:50.370
... 等同 2 + 2 + 2 ，

0:04:50.370,0:04:53.606
這就再次告訴我們，答案是 + 6 。

0:04:53.606,0:04:56.901
而你在這裡也可以應用相同的邏輯 ，

0:04:56.901,0:05:00.302
不同的是並非加 - 3 兩次, 在這個例子中我可以寫成 ...

0:05:00.302,0:05:03.854
... - 3

0:05:03.854,0:05:05.569
讓我這樣寫下來，- 3 ...

0:05:05.569,0:05:11.523
... -3, 我們把它們加起來 ...

0:05:11.523,0:05:15.299
在這裡放正號,

0:05:15.299,0:05:18.602
... 讓我在這裡寫一個正號以作澄清，

0:05:18.602,0:05:23.349
或因為這邊有個 - 2，我們便減 ...

0:05:23.349,0:05:26.184
... -3 兩次。當我們減一個數,

0:05:26.184,0:05:30.102
再減一個數, 而這個數 ...[br]

0:05:30.102,0:05:33.440
... 正是 - 3, 因此我要寫 ...

0:05:33.440,0:05:37.036
... 負號、負號，然後將 3 放在這裡，

0:05:37.036,0:05:41.241
再一次, 減 -3 等同拿走一個人的債務,

0:05:41.241,0:05:43.182
即是和送錢一樣，

0:05:43.182,0:05:48.274
也就是 3 加 3，則同樣是 6。所以你，

0:05:48.274,0:05:51.439
作為一名古代哲學家, 應該感覺還不錯。不僅以上原則 ...

0:05:51.439,0:05:55.105
... 和你到目前為止所解理的數學一致，

0:05:55.105,0:05:58.369
分配性質、結合性質、乘法等等，

0:05:58.369,0:06:00.767
一切都是你本來已經知道的，[br]

0:06:00.767,0:06:04.772
這些原則你能夠在概念上解理, 而且合乎

0:06:04.772,0:06:08.108
你原本的記法、對正數乘法的記法，

0:06:08.108,0:06:12.108
那就是重複的加法。