0:00:00.000,0:00:03.181
あなたは，古代の数学の哲学者で

0:00:03.181,0:00:07.185
正の数と負の数のかけ算がこれまで作ってきた

0:00:07.185,0:00:10.177
数学と全て一貫することを結論しました．

0:00:10.177,0:00:13.502
かけ算のこれまであなたが知っている全ての他の性質から

0:00:13.502,0:00:17.178
負の数かける正の数，または正の数かける負の数は

0:00:17.178,0:00:20.770
負の数になる必要があります．

0:00:20.770,0:00:24.181
そして，負の数かける負の数により

0:00:24.181,0:00:27.846
正の数が得られる必要があります．そしてあなたは

0:00:27.846,0:00:30.845
これがこれまでと一貫することを受け入れました．[br]しかし一貫するというだけでは

0:00:30.845,0:00:35.770
まだあなたは完全に納得できたわけではありません．[br]分配法則やその他のどんな思考実験で

0:00:35.770,0:00:40.369
一貫性が得られるというだけではなく，あなたはもう少し深い直感的にわかったという感じが欲しいと思っています．

0:00:40.369,0:00:45.377
「単にかけ算をするということはどういうことだったのか?」[br]と他の思考実験をすることにしました．

0:00:45.377,0:00:47.369
たとえば，2かける

0:00:47.369,0:00:51.183
3 です．これを概念化する一つの方法ですが，

0:00:51.183,0:00:55.103
かけ算とは基本的にたし算の繰り返しです．

0:00:55.103,0:00:58.036
ですからこれを2つの3と見ることができるはずです．

0:00:58.036,0:01:02.351
それを3たす3と書きましょう．

0:01:02.351,0:01:05.703
注意して下さい．ここには2つあります．[br]これらが2つあります．

0:01:05.703,0:01:09.770
または，これを3つの2と見ることもできます．これは

0:01:09.770,0:01:13.434
2たす2たす2と同じこととも考えられます．そしてこれらは

0:01:13.434,0:01:17.100
3つあります．どちらの方法でこれらを考えてもしても

0:01:17.100,0:01:20.602
まったく同じ答えが得られます．

0:01:20.602,0:01:24.597
これは6に等しいです．確かに!

0:01:24.597,0:01:27.569
あなたは負の数を試す前にこれを知っていました．

0:01:27.569,0:01:30.518
ではこれらの一つが負の数になったらどうなるか[br]見てみましょう．

0:01:30.518,0:01:33.369
2かける

0:01:33.369,0:01:35.516
マイナス3

0:01:35.516,0:01:42.103
マイナスを違った色で書きます．

0:01:42.103,0:01:46.309
2かけるマイナス3．

0:01:46.309,0:01:49.851
では，これを考える一つの方法は，[br]これとの類似性を使うことです．

0:01:49.851,0:01:52.853
それはマイナス3が2回でしょう，

0:01:52.853,0:01:56.767
意味の通るように色を使います．

0:01:56.767,0:02:01.042
マイナス3とそしてもう1つのマイナス3，

0:02:01.042,0:02:05.180
または，マイナス3ひく3

0:02:05.180,0:02:08.568
または，-- これは面白いことに，

0:02:08.568,0:02:11.036
ここの所とは違って，ここの2かけるプラスの3では

0:02:11.036,0:02:14.310
2を3回たしました．

0:02:14.310,0:02:16.262
しかし，ここでは2かけるマイナス3です．

0:02:16.262,0:02:19.036
これを 2 を3回ひくというふうに想像することができます．

0:02:19.036,0:02:21.700
この上のものとは違って，--

0:02:21.700,0:02:26.519
私が2たす2たす2とここで書いたのは，これはプラスの2が

0:02:26.519,0:02:29.436
ここにあるからです．[br]しかし，ここではマイナスが3つあります．

0:02:29.436,0:02:33.702
これは2を3回ひいたものと考えることができます．[br]するとこれは

0:02:33.702,0:02:37.930
2 をひいていることになります．

0:02:37.930,0:02:43.186
もう1つ2をここでひいて，さらにもう1つ2をひき，

0:02:43.186,0:02:46.102
そしてまた2をひきます．

0:02:46.102,0:02:54.936
もう一度注意して下さい．ここには3つあります．

0:02:54.936,0:02:59.932
これはマイナスの3です．これはマイナスの3です．[br]これは基本的に2を3回

0:02:59.932,0:03:03.770
ひいているのです．どちらの方法で考えても，

0:03:03.770,0:03:07.264
マイナスの6を得ることになります．

0:03:07.264,0:03:10.186
マイナス6が答えです．

0:03:10.186,0:03:16.264
では，ここにある部分については少し気が楽に[br]なりはじめたでしょう．

0:03:16.264,0:03:18.369
マイナスかけるプラス，あるいはプラスかけるマイナスは，

0:03:18.369,0:03:21.600
マイナスの数になります．では，本当に直感に[br]反するものを考えてみましょう．

0:03:21.600,0:03:24.685
それはマイナスかけるマイナスがどうなるかです．[br]そして突然マイナスがある意味キャンセルされ，

0:03:24.685,0:03:28.037
プラスの数が答えになります．では，なぜそうなるのでしょうか?これはこの，ここにある例題から

0:03:28.037,0:03:30.969
作りだすことができます．たとえば，

0:03:30.969,0:03:35.934
マイナス2があり，そうですねたとえば，

0:03:35.934,0:03:38.103
マイナス2があって --- 違う色を使ってみましょう．

0:03:38.103,0:03:42.851
たとえば，マイナス2があり，-- この色はもう使いましたね．

0:03:42.851,0:03:45.239
マイナス2 かける

0:03:45.239,0:03:48.702
マイナス3．

0:03:48.702,0:03:53.975
ではこれで…--実はこっちのものを最初にやってみましょう．

0:03:53.975,0:03:57.775
何かをマイナスの3でかけるのを先にしましょう．

0:03:57.775,0:04:01.234
私達はこれを，これが何であろうと，3回繰り返しひきます．

0:04:01.234,0:04:05.769
そしてこれはプラスの2ではありません．このここにあるのは

0:04:05.769,0:04:08.636
プラスの2ですが，[br]ここでひこうとしているものはマイナス2です．

0:04:08.636,0:04:10.902
もっとはっきりさせましょう．これは私達が何かを[br]3回ひくということを言っています．

0:04:10.902,0:04:13.969
ですから何かを3回ひきます．

0:04:13.969,0:04:17.104
なにかを3回ひきます．

0:04:17.104,0:04:20.642
これがここにあることが言っていることです．

0:04:20.642,0:04:24.302
そしてこれを，ここできっかり3回します．

0:04:24.302,0:04:28.369
ここにあるのはプラスの2を3回ひくことでした．

0:04:28.369,0:04:32.271
今度はマイナスの2をひきます．[br]マイナスの2でこれをします．

0:04:32.271,0:04:35.770
マイナスの数のひき算はもう知っています．

0:04:35.770,0:04:39.434
既に私達はマイナスの数を引くというのは，

0:04:40.368,0:04:46.105
正の数，プラスの数をたすことと同じという直感を[br]組み上げてきました．

0:04:46.105,0:04:50.370
つまりここにあるものは2たす2たす2と同じことになります．

0:04:50.370,0:04:53.606
またここでも，プラスの6になりました．

0:04:53.606,0:04:56.901
同じ論理をここでも使うことができます．

0:04:56.901,0:05:00.302
マイナス3を2回たすかわりに．．実はここではこれは

0:05:00.302,0:05:03.854
この例ではマイナス3を

0:05:03.854,0:05:05.569
マイナス3

0:05:05.569,0:05:11.523
マイナス3，ここではそれをたしました．

0:05:11.523,0:05:15.299
ここにプラスを書いてもっとはっきりさせましょう．

0:05:15.299,0:05:18.602
ここでは，これを2回たしました．[br]私達はマイナス3を2回たしました．

0:05:18.602,0:05:23.349
しかしここではマイナス2ですから，[br]マイナス3を2回ひきます．

0:05:23.349,0:05:26.184
ですからここでは何かをひきます．

0:05:26.184,0:05:30.102
何かをまたひくことになります．そしてその何かは

0:05:30.102,0:05:33.440
マイナスの3です．それはマイナスの3になります．

0:05:33.440,0:05:37.036
マイナスとマイナス．ここに3を書きます．

0:05:37.036,0:05:41.241
また同じことですが，マイナス3をひくというのは，[br]誰かの借金を取り去るようなものです．

0:05:41.241,0:05:43.182
誰かの借金をなくすには[br]その人にお金をあげるのと同じです．

0:05:43.182,0:05:48.274
これは3と3をたすのと同じで，これはまた6になります．

0:05:48.274,0:05:51.439
これであなた，古代の哲学者，はとてもいい気分です．

0:05:51.439,0:05:55.105
このこれまでに知っている数学全部一貫する，

0:05:55.105,0:05:58.369
分配法則や何かかける何かの性質など，

0:05:58.369,0:06:00.767
全てのこれまでに知っていることが[br]一貫するだけではありません．

0:06:00.767,0:06:04.772
これは実は意味が通ることです．[br]これは実はこれまでの表記，

0:06:04.772,0:06:08.108
もともとのかけ算の表記，[br]あるいは正の数のかけ算の表記，

0:06:08.108,0:06:12.108
つまりたし算を繰り返すこと，[br]とまったく同じ考えだったのです．