1 00:00:00,312 --> 00:00:03,560 Du, als der Philosoph und Mathematiker aus der Antike, 2 00:00:03,560 --> 00:00:07,148 bist also zum Schluss gekommen, dass wenn die Multiplikation positiver und negativer Zahlen 3 00:00:07,148 --> 00:00:10,098 mit allem zusammenpassen soll, was du bis jetzt aufgebaut hast, 4 00:00:10,098 --> 00:00:13,731 mit allen anderen Eigenschaften der Multiplikation, die du bis jetzt kennst, 5 00:00:13,731 --> 00:00:17,511 dass Du entweder eine negative mal eine positive Zahl brauchst 6 00:00:17,511 --> 00:00:21,161 oder eine positive mal eine negative Zahl, um eine negative Zahl zu bekommen, 7 00:00:21,161 --> 00:00:25,014 und du brauchst eine negative mal eine negative Zahl, 8 00:00:25,014 --> 00:00:28,246 um eine positive Zahl zu bekommen. Du akzeptierst das also, 9 00:00:28,246 --> 00:00:32,277 es passt alles zusammen... aber es ist noch immer nicht ganz plausibel für Dich, 10 00:00:32,277 --> 00:00:35,427 Du möchtest eine etwas tiefere Einsicht bekommen als es bloss 11 00:00:35,427 --> 00:00:40,703 akzeptieren zu müssen, damit es übereinstimmt mit dem Distributivgesetz und anderen. Du versuchst ein weiteres 12 00:00:40,703 --> 00:00:45,309 Gedankenexperiment. Du sagst, "nun, was macht eine einfache Multiplikation damit?" 13 00:00:45,309 --> 00:00:49,984 Wenn ich sage, zwei mal 14 00:00:49,984 --> 00:00:52,543 drei, dann kann ich mir diese einfache 15 00:00:52,543 --> 00:00:54,930 Multiplikation hier eigentlich vorstellen als 16 00:00:54,930 --> 00:00:59,493 wiederholte Addition. Du könntest das also betrachten als zwei Dreier, 17 00:00:59,493 --> 00:01:02,818 also wörtlich genommen drei plus drei, 18 00:01:02,818 --> 00:01:05,677 Und schau, es gibt zwei davon, zwei von diesen. 19 00:01:05,677 --> 00:01:09,552 Oder Du könntest das als drei Zweier betrachten. Dann wäre das dasselbe wie 20 00:01:09,552 --> 00:01:14,607 zwei plus zwei plus zwei, und es gibt 21 00:01:14,610 --> 00:01:17,350 drei davon. Wie immer Du Dir das vorstellst, 22 00:01:17,350 --> 00:01:23,026 Du bekommst genau dieselbe Antwort. Das hier ist gleich 23 00:01:23,026 --> 00:01:25,609 sechs! Na gut, das hattest Du gewusst, 24 00:01:25,609 --> 00:01:27,819 bevor Du Dich an negative Zahlen gewagt hattest. 25 00:01:27,819 --> 00:01:31,936 Versuchen wir jetzt, eine von diesen negativen Zahlen zu machen, und sehen wir 26 00:01:31,936 --> 00:01:33,878 was passiert. Machen wir zwei-- 27 00:01:33,878 --> 00:01:39,597 zwei mal minus drei 28 00:01:39,597 --> 00:01:45,550 lass mich das Minus andersfarbig machen: Zwei mal Minus-- 29 00:01:45,550 --> 00:01:47,064 drei. 30 00:01:47,064 --> 00:01:50,040 Das kannst Du betrachten, dieselbe Analogie wie hier, 31 00:01:50,040 --> 00:01:53,962 es ist minus drei, zwei Mal, wäre das 32 00:01:53,962 --> 00:01:57,710 minus drei-- ich versuche Farbcodes zu machen-- 33 00:01:57,710 --> 00:02:03,064 minus drei, und dann noch ein minus drei. 34 00:02:03,064 --> 00:02:05,436 Oder Du könntest sagen minus drei minus drei. 35 00:02:05,436 --> 00:02:08,422 Oder, und das ist jetzt interessant, anstelle 36 00:02:08,422 --> 00:02:10,673 von da drüben, zwei mal plus drei, 37 00:02:10,675 --> 00:02:13,886 da hast Du zwei addiert, drei mal. 38 00:02:13,886 --> 00:02:16,139 Da aber zwei mal minus drei hier steht, 39 00:02:16,139 --> 00:02:19,992 könntest Du Dir auch vorstellen, dass Du zwei subtrahierst, und das drei Mal. 40 00:02:19,992 --> 00:02:23,722 Anstelle von-- hier oben hätte ich eigentlich schreiben können 41 00:02:23,730 --> 00:02:26,920 plus zwei plus zwei plus zwei, weil das hier eine 42 00:02:26,920 --> 00:02:30,188 positive Drei ist, aber weil wir das mit einer negativen drei machen, 43 00:02:30,188 --> 00:02:33,155 könnten wir uns vorstellen, dass dies bedeutet, zwei zu subtrahieren, drei Mal. 44 00:02:33,155 --> 00:02:38,722 Das wäre also zwei subtrahiert, 45 00:02:38,722 --> 00:02:43,819 Achtung, noch einmal zwei subtrahiert, 46 00:02:43,819 --> 00:02:51,924 und dann subtrahierst Du noch einmal zwei.-- Farben verwechselt. Minus zwei genau dort. 47 00:02:51,924 --> 00:02:55,107 Noch einmal, Du hast es 48 00:02:55,107 --> 00:02:58,961 drei Mal gemacht. Das war also eine negative Drei. 49 00:02:58,961 --> 00:03:03,106 Eigentlich ziehst Du zwei ab, und das drei Mal. Egal wie Du Dir das 50 00:03:03,106 --> 00:03:07,783 da drüben vorstellst, Du bekommst minus sechs heraus, 51 00:03:07,783 --> 00:03:10,680 Du bekommst minus sechs als Antwort. 52 00:03:10,680 --> 00:03:13,891 Jetzt bist Du schon zufrieden mit diesem Teil da: 53 00:03:13,891 --> 00:03:18,165 negativ mal positiv, oder positiv mal negativ, 54 00:03:18,165 --> 00:03:22,710 ist gleich negativ. Gehen wir jetzt zur wirklich unanschaulichen Aufgabe: 55 00:03:22,710 --> 00:03:25,120 Negativ mal negativ-- plötzlich heben sich die negativen irgendwie auf 56 00:03:25,137 --> 00:03:29,200 und ergeben eine positive Zahl. Warum ist das so? Nun, wir können das aus 57 00:03:29,200 --> 00:03:33,300 diesem Beispiel hier aufbauen. Sagen wir, wir hätten 58 00:03:33,313 --> 00:03:37,199 minus zwei. Sagen wir, wir hätten minus zwei, 59 00:03:37,199 --> 00:03:39,692 lass mich eine andere Farbe nehmen, 60 00:03:39,692 --> 00:03:43,699 sagen wir, wir haben eine minus zwei-- nein, die Farbe hatte ich schon-- 61 00:03:43,699 --> 00:03:45,612 minus zwei 62 00:03:45,612 --> 00:03:51,189 mal minus drei. 63 00:03:51,189 --> 00:03:55,169 Jetzt können wir - oder ich mache das hier zuerst. 64 00:03:55,169 --> 00:03:57,869 Wir multiplizieren immer noch wir etwas mit minus drei. Wir 65 00:03:57,878 --> 00:04:01,325 subtrahieren also mehrmals dieses Ding, drei Mal, was immer das Ding ist, 66 00:04:01,325 --> 00:04:04,264 jetzt ist das Ding aber keine positive Zwei. 67 00:04:04,264 --> 00:04:07,566 Das Ding, das wir dreimal subtrahieren, ist eine negative Zwei. 68 00:04:07,566 --> 00:04:11,456 Lass mich das klar machen: das hier sagt, wir subtrahieren etwas drei Mal, 69 00:04:11,457 --> 00:04:14,700 wir subtrahieren etwas drei Mal. Also etwas subtrahieren, 70 00:04:14,700 --> 00:04:17,782 etwas subtrahieren, etwas subtrahieren. Drei Mal. 71 00:04:17,782 --> 00:04:21,351 Das sagt uns dieser Teil hier. 72 00:04:21,351 --> 00:04:25,432 Und wir machen das genau drei Mal. 73 00:04:25,432 --> 00:04:28,523 Dort drüben war eine positive Zwei, die wir drei Mal subtrahiert haben. 74 00:04:28,523 --> 00:04:32,933 jetzt subtrahieren wir eine negative Zwei. 75 00:04:32,933 --> 00:04:36,808 und wir wissen schon vom Subtrahieren negativer Zahlen, wir haben 76 00:04:36,808 --> 00:04:40,233 diese Intuition schon aufgebaut, dass etwas Negatives subtrahieren dasselbe ist wie-- 77 00:04:40,233 --> 00:04:46,373 es ist wie jemandem die Schulden wegnehmen. Es ist dasselbe wie etwas Positives zu addieren, 78 00:04:46,373 --> 00:04:49,566 und daher wird das hier dasselbe wie zwei plus zwei plus zwei, 79 00:04:49,566 --> 00:04:54,288 was Dir wiederum eine positive Sechs gibt. 80 00:04:54,288 --> 00:04:57,538 Du kannst dieselbe Logik hier unten verwenden. 81 00:04:57,538 --> 00:05:01,398 Anstelle minus zwei dreimal zu subtrahieren, und das hätte ich schreiben 82 00:05:01,398 --> 00:05:06,694 können als minus drei, in diesem Beispiel, 83 00:05:06,694 --> 00:05:09,401 minus drei, 84 00:05:09,401 --> 00:05:12,793 minus drei, und wir haben das addiert, 85 00:05:12,793 --> 00:05:15,602 wir hatten es addiert-- ich mache hier ein Pluszeichen, um das klar zu machen, 86 00:05:15,602 --> 00:05:19,406 dort drüben hatten wir es zweimal addiert, wir haben minus drei 87 00:05:19,406 --> 00:05:23,142 zwei mal addiert. Hier unten, da wir eine minus zwei haben, 88 00:05:23,142 --> 00:05:27,167 subtrahieren wir minus drei zwei Mal. Wir subtrahieren also etwas, 89 00:05:27,167 --> 00:05:30,737 und wir subtrahieren es noch einmal, und dieses etwas ist 90 00:05:30,740 --> 00:05:34,431 unsere negative Drei, es ist unser minus drei, also 91 00:05:34,431 --> 00:05:37,652 minus, und wir geben unsere Drei dort hin. 92 00:05:37,652 --> 00:05:40,318 Noch einmal: eine negative Drei zu subtrahieren ist wie jemandes 93 00:05:40,318 --> 00:05:42,999 Schulden wegzunehmen, Du gibst ihnen eigentlich Geld. 94 00:05:42,999 --> 00:05:47,745 Das ist dasselbe wie drei plus drei zu addieren, was wieder sechs ist. 95 00:05:47,745 --> 00:05:51,140 Jetzt bist Du, als der Philosoph aus der Antike, schon recht zufrieden. 96 00:05:51,140 --> 00:05:55,215 Nicht nur ist das alles konsistent mit der ganzen Mathematik, die Du kennst, 97 00:05:55,215 --> 00:05:59,143 das Distributivgesetz, das Assoziativgesetz, Multiplizieren, 98 00:05:59,143 --> 00:06:01,918 alle diese Dinge die Du schon weisst, und jetzt 99 00:06:01,918 --> 00:06:05,863 ist für Dich das Ganze auch logisch. Es ist eigentlich sehr konsistent 100 00:06:05,863 --> 00:06:09,103 mit Deinem ursprünglichen Verständnis, oder einem der möglichen Auffassungen, 101 00:06:09,103 --> 00:06:14,013 der Multiplikation, nämlich als wiederholte Addition.