0:00:00.312,0:00:03.560
Du, als der Philosoph und Mathematiker aus der Antike,
0:00:03.560,0:00:07.148
bist also zum Schluss gekommen, [br]dass wenn die Multiplikation positiver und negativer Zahlen
0:00:07.148,0:00:10.098
mit allem zusammenpassen soll, [br]was du bis jetzt aufgebaut hast,
0:00:10.098,0:00:13.731
mit allen anderen Eigenschaften der Multiplikation, [br]die du bis jetzt kennst,
0:00:13.731,0:00:17.511
dass Du entweder eine negative mal eine positive Zahl brauchst
0:00:17.511,0:00:21.161
oder eine positive mal eine negative Zahl, [br]um eine negative Zahl zu bekommen,
0:00:21.161,0:00:25.014
und du brauchst eine negative mal eine negative Zahl,
0:00:25.014,0:00:28.246
um eine positive Zahl zu bekommen. Du akzeptierst das also,
0:00:28.246,0:00:32.277
es passt alles zusammen... [br]aber es ist noch immer nicht ganz plausibel für Dich,
0:00:32.277,0:00:35.427
Du möchtest eine etwas tiefere Einsicht bekommen als es bloss
0:00:35.427,0:00:40.703
akzeptieren zu müssen, damit es übereinstimmt mit dem Distributivgesetz und anderen. Du versuchst ein weiteres
0:00:40.703,0:00:45.309
Gedankenexperiment. Du sagst, [br]"nun, was macht eine einfache Multiplikation damit?"
0:00:45.309,0:00:49.984
Wenn ich sage, zwei mal
0:00:49.984,0:00:52.543
drei, dann kann ich mir diese einfache
0:00:52.543,0:00:54.930
Multiplikation hier eigentlich vorstellen als
0:00:54.930,0:00:59.493
wiederholte Addition. [br]Du könntest das also betrachten als zwei Dreier,
0:00:59.493,0:01:02.818
also wörtlich genommen drei plus drei,
0:01:02.818,0:01:05.677
Und schau, es gibt zwei davon, zwei von diesen.
0:01:05.677,0:01:09.552
Oder Du könntest das als drei Zweier betrachten. [br]Dann wäre das dasselbe wie
0:01:09.552,0:01:14.607
zwei plus zwei plus zwei, und es gibt
0:01:14.610,0:01:17.350
drei davon. Wie immer Du Dir das vorstellst,
0:01:17.350,0:01:23.026
Du bekommst genau dieselbe Antwort. Das hier ist gleich
0:01:23.026,0:01:25.609
sechs! Na gut, das hattest Du gewusst,
0:01:25.609,0:01:27.819
bevor Du Dich an negative Zahlen gewagt hattest.
0:01:27.819,0:01:31.936
Versuchen wir jetzt, eine von diesen negativen Zahlen zu machen, und sehen wir
0:01:31.936,0:01:33.878
was passiert. Machen wir zwei--
0:01:33.878,0:01:39.597
zwei mal minus drei
0:01:39.597,0:01:45.550
lass mich das Minus andersfarbig machen: Zwei mal Minus--
0:01:45.550,0:01:47.064
drei.
0:01:47.064,0:01:50.040
Das kannst Du betrachten, [br]dieselbe Analogie wie hier,
0:01:50.040,0:01:53.962
es ist minus drei, zwei Mal, wäre das
0:01:53.962,0:01:57.710
minus drei-- ich versuche Farbcodes zu machen--
0:01:57.710,0:02:03.064
minus drei, und dann noch ein minus drei.
0:02:03.064,0:02:05.436
Oder Du könntest sagen minus drei minus drei.
0:02:05.436,0:02:08.422
Oder, und das ist jetzt interessant, anstelle
0:02:08.422,0:02:10.673
von da drüben, zwei mal plus drei,
0:02:10.675,0:02:13.886
da hast Du zwei addiert, drei mal.
0:02:13.886,0:02:16.139
Da aber zwei mal minus drei hier steht,
0:02:16.139,0:02:19.992
könntest Du Dir auch vorstellen, [br]dass Du zwei subtrahierst, und das drei Mal.
0:02:19.992,0:02:23.722
Anstelle von-- hier oben hätte ich eigentlich schreiben können
0:02:23.730,0:02:26.920
plus zwei plus zwei plus zwei, weil das hier eine
0:02:26.920,0:02:30.188
positive Drei ist, aber weil wir das mit einer negativen drei machen,
0:02:30.188,0:02:33.155
könnten wir uns vorstellen, dass dies bedeutet, [br]zwei zu subtrahieren, drei Mal.
0:02:33.155,0:02:38.722
Das wäre also zwei subtrahiert,
0:02:38.722,0:02:43.819
Achtung, noch einmal zwei subtrahiert,
0:02:43.819,0:02:51.924
und dann subtrahierst Du noch einmal zwei.-- Farben verwechselt. Minus zwei genau dort.
0:02:51.924,0:02:55.107
Noch einmal, Du hast es
0:02:55.107,0:02:58.961
drei Mal gemacht. Das war also eine negative Drei.
0:02:58.961,0:03:03.106
Eigentlich ziehst Du zwei ab, und das drei Mal. [br]Egal wie Du Dir das
0:03:03.106,0:03:07.783
da drüben vorstellst, Du bekommst minus sechs heraus,
0:03:07.783,0:03:10.680
Du bekommst minus sechs als Antwort.
0:03:10.680,0:03:13.891
Jetzt bist Du schon zufrieden mit diesem Teil da:
0:03:13.891,0:03:18.165
negativ mal positiv, oder positiv mal negativ,
0:03:18.165,0:03:22.710
ist gleich negativ. Gehen wir jetzt zur wirklich unanschaulichen Aufgabe:
0:03:22.710,0:03:25.120
Negativ mal negativ-- plötzlich heben sich die [br]negativen irgendwie auf
0:03:25.137,0:03:29.200
und ergeben eine positive Zahl. [br]Warum ist das so? Nun, wir können das aus
0:03:29.200,0:03:33.300
diesem Beispiel hier aufbauen. Sagen wir, wir hätten
0:03:33.313,0:03:37.199
minus zwei. Sagen wir, wir hätten minus zwei,
0:03:37.199,0:03:39.692
lass mich eine andere Farbe nehmen,
0:03:39.692,0:03:43.699
sagen wir, wir haben eine minus zwei-- [br]nein, die Farbe hatte ich schon--
0:03:43.699,0:03:45.612
minus zwei
0:03:45.612,0:03:51.189
mal minus drei.
0:03:51.189,0:03:55.169
Jetzt können wir - oder ich mache das hier zuerst.
0:03:55.169,0:03:57.869
Wir multiplizieren immer noch wir etwas mit minus drei. Wir
0:03:57.878,0:04:01.325
subtrahieren also mehrmals dieses Ding, drei Mal, [br]was immer das Ding ist,
0:04:01.325,0:04:04.264
jetzt ist das Ding aber keine positive Zwei.
0:04:04.264,0:04:07.566
Das Ding, das wir dreimal subtrahieren, ist eine negative Zwei.
0:04:07.566,0:04:11.456
Lass mich das klar machen: [br]das hier sagt, wir subtrahieren etwas drei Mal,
0:04:11.457,0:04:14.700
wir subtrahieren etwas drei Mal. Also etwas subtrahieren,
0:04:14.700,0:04:17.782
etwas subtrahieren, etwas subtrahieren. Drei Mal.
0:04:17.782,0:04:21.351
Das sagt uns dieser Teil hier.
0:04:21.351,0:04:25.432
Und wir machen das genau drei Mal.
0:04:25.432,0:04:28.523
Dort drüben war eine positive Zwei, [br]die wir drei Mal subtrahiert haben.
0:04:28.523,0:04:32.933
jetzt subtrahieren wir eine negative Zwei.
0:04:32.933,0:04:36.808
und wir wissen schon vom Subtrahieren [br]negativer Zahlen, wir haben
0:04:36.808,0:04:40.233
diese Intuition schon aufgebaut, dass etwas Negatives subtrahieren dasselbe ist wie--
0:04:40.233,0:04:46.373
es ist wie jemandem die Schulden wegnehmen. Es ist dasselbe wie etwas Positives zu addieren,
0:04:46.373,0:04:49.566
und daher wird das hier dasselbe wie zwei plus zwei plus zwei,
0:04:49.566,0:04:54.288
was Dir wiederum eine positive Sechs gibt.
0:04:54.288,0:04:57.538
Du kannst dieselbe Logik hier unten verwenden.
0:04:57.538,0:05:01.398
Anstelle minus zwei dreimal zu subtrahieren, [br]und das hätte ich schreiben
0:05:01.398,0:05:06.694
können als minus drei, in diesem Beispiel,
0:05:06.694,0:05:09.401
minus drei,
0:05:09.401,0:05:12.793
minus drei, und wir haben das addiert,
0:05:12.793,0:05:15.602
wir hatten es addiert-- ich mache hier ein Pluszeichen, um das klar zu machen,
0:05:15.602,0:05:19.406
dort drüben hatten wir es zweimal addiert, wir haben minus drei
0:05:19.406,0:05:23.142
zwei mal addiert. Hier unten, da wir eine minus zwei haben,
0:05:23.142,0:05:27.167
subtrahieren wir minus drei zwei Mal. Wir subtrahieren also etwas,
0:05:27.167,0:05:30.737
und wir subtrahieren es noch einmal, und dieses etwas ist
0:05:30.740,0:05:34.431
unsere negative Drei, es ist unser minus drei, also
0:05:34.431,0:05:37.652
minus, und wir geben unsere Drei dort hin.
0:05:37.652,0:05:40.318
Noch einmal: eine negative Drei zu subtrahieren ist wie jemandes
0:05:40.318,0:05:42.999
Schulden wegzunehmen, Du gibst ihnen eigentlich Geld.
0:05:42.999,0:05:47.745
Das ist dasselbe wie drei plus drei zu addieren, was wieder sechs ist.
0:05:47.745,0:05:51.140
Jetzt bist Du, als der Philosoph aus der Antike, [br]schon recht zufrieden.
0:05:51.140,0:05:55.215
Nicht nur ist das alles konsistent mit der ganzen Mathematik, die Du kennst,
0:05:55.215,0:05:59.143
das Distributivgesetz, das Assoziativgesetz, Multiplizieren,
0:05:59.143,0:06:01.918
alle diese Dinge die Du schon weisst, und jetzt
0:06:01.918,0:06:05.863
ist für Dich das Ganze auch logisch.[br]Es ist eigentlich sehr konsistent
0:06:05.863,0:06:09.103
mit Deinem ursprünglichen Verständnis, [br]oder einem der möglichen Auffassungen,
0:06:09.103,0:06:14.013
der Multiplikation, nämlich als wiederholte Addition.