Значи ти, древният философ-математик,
стигна до заключение, че за да може умножението на положително с отрицателно число да бъде
в съгласие с всичко, което е изграждано досега,
с всички други свойства на умножението, които знаеш досега,
че трябва отрицателно число по положително
или положително число по отрицателно, да дава отрицателно число,
както и че отрицателно по отрицателно
ти дава положително число.
Засега всичко е логично, но все още не го разбираш напълно.
Искаш да имаш малко по-задълбочено разбиране, отколкото просто да приемеш, че е в съгласие
заради разпределителното свойство или нещо друго. Затова опитваш друг
умствен експеримент. Казваш си: "Какво представлява простото умножение?"
Да речем 2 по 3.
Един начин да си представим
това просто умножение е да повтаряме
събиране. Може да го разгледаш като две тройки,
нека напиша 3 плюс 3.
Забележи, че има само две тройки, има две от тези.
Или може да го разгледаш като три двойки,
това е същото като 2 + 2 + 2, има три двойки тук.
По който и начин да си го представиш,
получаваш един и същ отговор.
Това ще бъде равно на шест. Добре!
Това го знаеш още преди да се опиташ да се справиш с отрицателни числа.
Нека сега пробваме да направим едно от тези отрицателно
и да видим какво ще стане.
Да направим 2 по –3.
Искам да направя отрицателното в различен цвят.
2 по –3.
Един начин да го разгледаш е със същата тази аналогия –
това е два пъти –3, значи ще бъде
отрицателно... Ще се опитам да ги отличавам с цветове.
–3 след това отново –3,
или можеш да кажеш –3 минус 3,
или – това е интересното,
вместо това тук да имаме 2 по 3.
и събираме 2 три пъти.
Но, понеже имаме 2 по –3,
можем да си го представим като изваждане на 2 три пъти.
Вместо... Тук горе,
можех да напиша 2 + 2 + 2, защото това е +3
Но, понеже смятаме с –3,
може да си го представим като да изваждаме 2 три пъти,
значи ще бъде изваждане на 2.
Изваждаме още едно 2... изваждаме 2.
И накрая още веднъж изваждаме 2.
Забележи, че отново го направи три пъти.
Това ще рече, че това е –3; това, което правиш по същество е
да извадиш 2 три пъти. По който и начин да си го осмислиш,
ще получиш –6.
–6 е отговорът.
Вече не се притесняваш за тази част тук –
отрицателно по положително или положително по отрицателно
ще ти даде отрицателно. Сега нека преминем към наистина неинтуитивната част:
имаме отрицателно по отрицателно и изведнъж минусите някак си взаимно се унищожават,
за да ти дадат положително. Защо се получава така?
Може да започнем от този пример тук.
Да кажем, че имаме –2.
Нека го направя в друг цвят.
Да речем, че имаме –2... вече използвах този цвят.
–2 по...
–2 по –3.
Сега ще направим... всъщност ще направя това първо.
Когато умножаваме нещо по –3,
значи ще изваждаме числото 3 пъти.
Сега то не е положително, числото, което ще изваждаме, е –2.
Нека го изясня.
Това казва, че ще извадим нещо 3 пъти.
Значи изваждаме нещо 3 пъти,
изваждаме нещо, изваждаме нещо, изваждаме нещо – три пъти.
Това ни казва тази част тук.
И ние ще го направим точно три пъти.
Тук имахме +2, което извадихме 3 пъти,
сега ще имаме –2.
И знаем от изваждането на отрицателни числа, тази логика
вече ни е позната, че изваждането на отрицателно е същото като...
...същото като да прибавяме положително.
Значи това ще бъде същото като 2 + 2 + 2,
което още веднъж ще ти даде +6.
Може да използваш същата логика и тук.
Сега вместо да прибавяш –3 два пъти, можеш да го запишеш и като
–3...в този пример.
–3
–3. Събрахме ги.
Събрахме ги, ще добавя знак плюс, за да стане по-ясно.
Тук го прибавихме два пъти, прибавихме –3
два пъти, а тук, понеже сега имаме –2, ще извадим –3 два пъти.
Ще извадим нещо и после
ще извадим нещо отново, и това нещо ще бъде нашето -3.
Минус, минус, слагаме тройката тук.
И отново, да изваждаме –3 е като да махаме
нечий дълг, което означава да им даваме пари.
Това е същото, да събираме 3 и 3, което е 6.
Сега вече ти, древният философ, се чувстваш доста уверен. Тези неща не само са
в съгласие с цялата математика, която знаеш:
разпределителното свойство, асоциативното,
умножението на нещо... Всичките тези неща вече ги знаеш, а сега
това вече има смисъл като представа за теб, то е в съгласие с
твоите представи, първоначалните ти представи или една от възможните ти представи за умножението –
тази, че умножението е повтаряне на събиране.