செயலிகளின் வரிசை
செயலிகளின் வரிசையைப் புரிந்து கொள்வதற்குச் சில
உதாரணக் கணக்குகளைப் பார்ப்போம்
முதலில் கணக்கு 1பி-யிலிருந்து தொடங்குவோம்
இதுதான் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் வரிசை
2 + 7 x 11 - 12 ÷ 3
அடைப்புக் குறிக்குள் உள்ள செயலிகளுக்கு முக்கியத்துவம் கொடுக்கவேண்டும்
என்பது நீங்கள் அறிந்ததே.
செயலிகளின் முக்கியத்துவ வரிசையை எழுதி வைத்துக் கொள்வோம்.
முதலில் அடைப்புக் குறிக்குள் வரும் செயலிகள்
அடுத்து அடுக்குக்குறித் தொடருக்கு முக்கியத்துவம் கொடுக்கவேண்டும்.
அதற்கடுத்து பெருக்கலும், வகுத்தலும் வரும்.
கடைசியாகக் கூட்டலும், கழித்தலும்.
இந்த வரிசையை எப்போதும் நினைவில் வைத்துக்கொள்ள வேண்டும்.
இது மிகவும் முக்கியம்.
இந்தக் கணக்கில் அடைப்புக் குறியுமில்லை
அடுக்குக் குறியுமில்லை. அப்படியென்றால் பெருக்கலும், வகுத்தலும் தான்
முதலில் வரும்.
ஆக இந்தக் கணக்கில் கூட்டலுக்கும், கழித்தலுக்கும் முன்பு நாம்
முதலில் செய்யவேண்டியது பெருக்கலும், வகுத்தலும் தான்.
இந்தக் கணக்கில் பெருக்கலையும், வகுத்தலையும் சுற்றி
அடைப்புக்குறியிட்டால் இன்னும் தெளிவாகப் புரியும்.
இந்த அடைப்புக்குறியால் கொடுக்கப்பட்ட கணக்கு எந்தவிதத்திலும்
மாறுபடப் போவதில்லை.
ஆக முதலில் பெருக்கலையும், பின்னர் வகுத்தலையும் செய்வோம். கூட்டலும், கழித்தலும்
செய்வதற்கு எளிதாக உள்ளதென்று முதலில் செய்தால் கணக்கின் விடை தவறாகிவிடும்.
ஆக 7 மடங்கு 11, 77, அப்புறம் 12-ஐ 3 ஆல் வகுக்க 4 கிடைக்கும்
அப்புறம் இந்தக் கணக்கை இப்படி எழுதலாம்.
2 + 77 - 4
இதில் கூட்டலும், கழித்தலும் தான் உள்ளது.
இடமிருந்து வலமாகச் செய்தால்
2 + 77, 79 79 - 4 = 75
ஆக இந்தக் கணக்கிற்கு விடை 75.
மிகவும் எளிதாக உள்ளது அல்லவா!
அடுத்த கணக்கை இப்போது பார்ப்போம்.
அதாவது 1d
2 x (3 + (2 -1)) -ஐ
(4 - (6+2)) -ஆல் வகுத்துப் பின்னர்
(3-5)-ஐக் கழிக்க வேண்டும். அப்பாடா!! எத்தனை அடைப்புக்குறிகள்?
இதை எப்படிச் சுருக்கலாமென்று பார்ப்போம்.
அடைப்புக்குறிக்குத்தான் முன்னுரிமை என்று நமக்கு ஏற்கனவே தெரியும்.
முதலில் (2-1) ஐச் சுருக்குவோம்.
2-லிருந்து ஒன்றைக் கழித்தால் ஒன்று.
அடுத்து (3 - 5)
- 2 அல்லது எதிர்மறை 2 கிடைக்கும்
(6+2) எட்டாக மாறும்
அடுத்துகட்ட அடைப்புக்குறிகளை இப்போது பார்ப்போம்.
அடைப்புக்குறிகளுக்குள் உள்ளவற்றை முடித்துவிட்டால் கணக்கு
மிக எளிதாகிவிடும்.
அடுத்து எங்கே அடைப்புக்குறி உள்ளது?
முதலில் (3 + 1) நான்காகிவிடும்.
அடுத்த வரியில் சுருக்கி எழுதலாம்.
2 மடங்கு (3+ 1). அதனைச் சுருக்கினால் 4 கிடைக்கும்
ஆக 2 மடங்கு 4
இதனை 4 - 8 ஆல் வகுக்க வேண்டும்.
4-8 என்பது -4 அல்லது
எதிர்மறை நான்காகிவிடும்
இதிலிருந்து -2-ஐக் கழிக்க வேண்டும் .
இப்போது கணக்கு மிக எளிதாகி விட்டது.
ஆக இரண்டு மடங்கு நான்கு எட்டாகிவிடும்
இரண்டு எதிர்மறைச் செயலிகள் அடுத்தடுத்து வந்தால்
நேர்மறை அல்லது கூட்டல் செயலியாக மாறிவிடும்.
எட்டை எதிர்மறை நான்கால் வகுத்தால் கிடைப்பது
- 2 அல்லது எதிர்மறை 2
கடைசியாக -2 + 2
பூஜ்ஜியமாகி விடும்.
எவ்வளவோ இருப்பது போல முதலில் இருந்தது. ஆனால் இறுதியில் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாகிவிட்டது.
அடுத்து 2b கணக்கைப் பார்ப்போம்.
செயலிகளின் வரிசையை விட்டுவிட்டு மிச்சத்தை
அழித்து விடுகிறேன்.
நீங்களும் உங்களின் மனதில் இந்தச் செயலிகளின் வரிசையை வைத்துக் கொள்ளுங்கள்.
இது தெரிந்தால் போதும். எத்தனை கடினமான கணக்கும் சுலபமே!
அடுத்த கணக்கு என்ன?
2 b
பின்வரும் சமன்பாட்டில் மாறிகளின் மதிப்பை
உள்ளிட்டு இறுதி மதிப்பு காண வேண்டும்.
2 y அடுக்கு இரண்டு
என்பது கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு. x -ன் மதிப்பு 1
சமன்பாட்டில் x என்ற மாறியே இல்லை. அதனால் x - ஆல் எந்தப் பயன்பாடுமில்லை.
அடுத்து y -ன் மதிப்பு 5.
ஆக y -ன் மதிப்பு 5-ஆக உள்ளபோது இந்தச் சமன்பாடு
2 மடங்கு 5-ன் வர்க்கம் என்றாகிவிடும்.
இப்போது அடுக்குக்குறி உள்ள எண்ணைச் சுற்றி அடைப்புக்குறி இடுகிறேன்.
இதை அடைப்புக்குறி இல்லாமலும் எழுதலாம்.
2.5 வர்க்கம் என்று.
எனக்கு செயலிகளின் வரிசைப்படிப் பெருக்கலுக்கு முன்
அடுக்குக்குறித்தொடர் வருமென்று தெரியும்.
அதனால்தான் அடைப்புக்குறியைச்
சேர்த்தேன்.
முதலில் அடுக்குறிச் செயலி என்பதனால்
5ன் வர்க்கம், 25 கிடைக்கும். பின்னர்
25 மடங்கு 2, 50 ஆகிவிடும்
ஆகக் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மதிப்பு 50.
அடுத்த கணக்கு 2d-ஐ இப்போது பார்ப்போம்
.
y-ன் வர்க்கத்திலிருந்து x-ஐக் கழித்துப் பின்னர் மீண்டும் வர்க்கம் காணவேண்டும்.
x-ன் மதிப்பு 2 மற்றும் y-ன் மதிப்பு 1 என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
முதல் வேலையாக மாறிகளின் மதிப்பைச் சமன்பாட்டில் இடுவோம்.
y-ன் மதிப்பு 1என்றும்
x-ன் மதிப்பு 2 என்றும்
சமன்பாட்டில் பதிந்தால்
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு எளிதாகிவிடும்.
1-ன் வர்க்கம் 1
ஆக 1-2 ஆகிவிடும்.
ஒன்றிலிருந்து இரண்டைக் கழித்தால்
-1 அல்லது எதிர்மறை 1 கிடைக்கும்.
இப்போது -1-ன் வர்க்கம் காண வேண்டும்.
-1-ன் வர்க்கம் 1 அல்லது நேர்மறை ஒன்றுக்குச் சமம்.
1. அதுதான் கணக்கின் விடை.
எப்போதும் எதிர்மறையும், எதிர்மறையும் பெருக்கினால் நேர்மறையாகிவிடும்.
அடுத்த கணக்கு 3b.
எப்போதும் செயலிகளின் வரிசை ஞாபகம் இருக்கட்டும்.
ஏற்கனவே சொன்னது போல் அது தெரிந்தால் போதும்.
எல்லாக் கணக்கும் ரொம்ப சுலபம்.
பின்வரும் சமன்பாட்டின்
மதிப்பை மாறிகளின் மதிப்பையிட்டு
கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
.
4 x -ஐ மற்றொரு சமன்பாட்டால் வகுக்க வேண்டும்.
மன்னிக்கவும். நாம் செய்ய வேண்டிய கணக்கு 3b.
இதோ 3b கணக்கு.
z -ன் வர்க்கத்தை (x + y)-ன் வர்க்கத்தால் வகுத்துப்பின்னர் அதனுடன்
x-ன் வர்க்கத்தை (x - y)-ஆல் வகுத்துக் கூட்ட வேண்டும்.
x-ன் மதிப்பு 1, y-ன் மதிப்பு -2
மேலும் z-ன் மதிப்பு 4 என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
முதலில் இந்த மாறிகளின் மதிப்பைச் சமன்பாட்டில் இடலாம்.
இப்போது கணக்கு இப்படி மாறிவிடும்.
4 -ன் வர்க்கத்தை (1 + (-2))-ன் வர்க்கத்தால்
வகுத்துப்பின்னர் அதனுடன்
1-ன் வர்க்கத்தை (1 - (-2))-ஆல் வகுத்து
இரண்டையும் கூட்ட வேண்டும்.
4-ன் வர்க்கம் 16
1-லிருந்து இரண்டைக் கழித்தால் -1
அடுத்து ஒன்றின் வர்க்கம் ஒன்று.
1 - (-2), நேர்மறையாக மாறி 1+2
மூன்றாகி விடும்.
இப்போது 16/-1 உடன் 1/3 ஐக் கூட்டவேண்டும்.
அவ்வளவுதான்!
இப்போது இரண்டு பின்னங்களைக் கூட்ட வேண்டுமானால்,
பொதுப்பகுவெண் (common denominator) கண்டுபிடிக்க வேண்டும்
-16 என்பது 48-ன் கீழ் 3 என்ற பின்னத்திற்குச் சமம்
அதாவது 48-ஐ மூன்றால் வகுத்தால் 16 கிடைக்கும்
ஆக 16-ஐத்தான் இப்படி எழுதியுள்ளோம்
எதிர்மறை அப்படியே வரும்
இந்த பின்னத்துடன் 1/3-ஐக் கூட்ட வேண்டும்.
இப்போது இரண்டு எண்ணுக்கும் பொதுப்பகுவெண் 3
-48 உடன் ஒன்றைக் கூட்டினால் -47 கிடைக்கும்
ஆக இந்தக் கணக்கிற்கு விடை -47/3
இனி அடுத்த கணக்கு 3d
அதுவும் ஏற்கனவே பார்த்த கணக்கு போன்றதுதான்
செயலிகளின் வரிசை நினைவில் இருந்தால் இதுவும் சுலபமே
X-ன் வர்க்கத்திலிருந்து z-ன் வர்க்கத்தைக் கழித்து
அதனை (xz - 2x (z-x)) ஆல் வகுக்கவேண்டும். x-ன் மதிப்பு -1, z-ன் மதிப்பு 3
மாறிகளின் மதிப்பைச் சமன்பாட்டில் இடலாம்
முதலில் x-ன் வர்க்கம்
அதாவது -1-ன் வர்க்கம்
அதிலுருந்து z-ன் வர்க்கத்தைக் அதாவது 3ன் வர்க்கத்தைக் கழிக்க வேண்டும்
பின்னர் xz என்பது -1ன் மடங்கு 3 என்றாகும்.
அடுத்து -2x என்பது -2ன் மடங்கு -1 என்றுவரும்
கடைசியாக z-x என்பது 3- (-1)என்றாகும்
x-ன் மதிப்பு -1 என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால்
x-ன் மதிப்பை -1 என்று பதிந்துள்ளோம்
நினைவில் இருக்கிறதா? முதலில் அடைப்புக்குறிக்குள் வரும்
தொடருக்கு முன்னுரிமை
அடுத்தது அடுக்குத் தொடர்
ஆக -1ன் வர்க்கம் நேர்மறை ஒன்றாகிவிடும்
மூன்றின் வர்க்கம் ஒன்பது
ஆகத் தொகுதி 1-9 என்பது
-8 ஆகிவிடும்
அடுத்தது பின்னப்பகுதியைச் சுருக்குவோம்
-1ன் மடங்கு 3 என்பது -3ஆகிவிடும்
அடுத்த அடைப்புக்குறித் தொடருக்குப் போவோம்
3 - (-1) என்பது 3+1 க்குச் சமம்
ஆக 3+1+1
என்பது நான்காகிவிடும்
ஆகப் பின்னப்பகுதி -1-2ன் மடங்கு
-1*4 என்பது -8 ஆகிவிடும்
- (-8) என்பதில்
எதிர்மறையும் எதிர்மறையும் சேர்ந்து நேர்மறை 8 என்றாகிவிடும்
ஆக இந்தக் கணக்கை இப்படி எழுதலாம். -8/ (-3+8)
எதிர்மறை மூன்றுடன் எட்டைக் கூட்டினால்
விடை 5 கிடைக்கும். ஆக இந்தக்கணக்கின் விடை -8/5
ஆக அடைப்புக்குறியும், அடுக்குக் குறியும் முன்னால் வரும்
அதனின் பின்னால் வருவது பெருக்கலும் வகுத்தலும்
கடைசியாகக் கூட்டலும் கழித்தலும்
தூக்கத்தில் எழுப்பிக் கேட்டாலும் இதனை மறக்கக் கூடாது.
அடுத்த கணக்கு எண் 4
அடைப்புக்குறியைக் கொடுக்கப்பட்டுள்ள தொடரில் பொருத்தி
ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்க வேண்டும்
மிகவும் ஆர்வமாக உள்ளதல்லவா?
இதில் 4b-ஐப் பார்ப்போம்
12ஐ நான்கால் வகுத்துப்பின்னர் 10 க்கூட்டவேண்டும்
அதனுடன் 3ன் மடங்கு 3ஐயும், ஏழையும் கூட்டினால்
11 கிடைக்கவேண்டும்.
இப்போது விடை கொடுக்கப்பட்டுவிட்டது.
சமன்பாட்டில் சரியான இடத்தில் அடைப்புக்குறியிட்டு
விடையைக் கண்டுபிடித்து
அதனைச் சரிபார்க்க வேண்டும்
அதுதான் கணக்கு
இந்தக்கணக்கை அடைப்புக் குறியிடாமல் செய்தாலும் அதே வரிசைதான்
கிடைக்குமென்று நினைக்கிறேன்.
12ஐ 4-ஆல் வகுத்தால் மூன்று கிடைக்கும்
மூன்றையும், மூன்றையும் பெருக்கினால் ஒன்பது கிடைக்கும்
மூன்றையும், பத்தையும் கூட்டினால் பதின்மூன்று
பின்னர் ஒன்பதைக் கழித்தால் கிடைப்பது நான்கு
அதனுடன் 7-ஐச் சேர்த்தால்
11 கிடைக்கும்
இது சரியான விடைதான்
இந்தக் கணக்கைப் பொருத்தவரை பெருக்கல் வகுத்தலுக்கு
முன்னுரிமை கொடுத்தால் போதுமானது.
அதைத் தவிர கொடுக்கப்பட்டுள்ள வரிசையிலேயே இந்தக் கணக்கைச் செய்யலாம்
ஆனாலும் இந்த விதி
எல்லாக் கணக்கிற்கும் பொருந்தாது.
இன்னொருமுறை சரிபார்க்கலாம்
பன்னிரண்டை நான்கால் வகுத்தால் மூன்று, மூன்றுடன் மூன்றைப்
பெருக்கினால் ஒன்பது. பின்னர் மூன்றுடன் பத்தைக் கூட்டினால்
பதின்மூன்று, அதிலிருந்து ஒன்பதைக் கழித்தால் நான்கு. அதோடு
ஏழைக் கூட்டினால் பதினொன்று
பெருக்கல் வகுத்தலுக்கு முன்னுரிமை கொடுப்பதால்
அவற்றைச் சுற்றி அடைப்புக்குறியிடலாம்
மிச்சமிருப்பது கூட்டலும்
கழித்தலும்தான். அதனை அப்படியே செய்யலாம்
அடைப்புக்குறியிட்டால் எளிதாகப் புரியும்
அவ்வளவுதான்.
இனி அடுத்த கணக்கைப் பார்ப்போம்
4d
பன்னிரெண்டிலிருந்து எட்டைக் கழித்து, பின்னர் நான்கு மடங்கு ஐந்தைக்
கழித்தால் எதிர்மறை எட்டு
விடையாகக் கிடைக்க வேண்டும்
செயலிகளின் வரிசை விதிப்படி இங்கே முதலில் வருவது
பெருக்கல். நான்கை ஐந்தால்
பெருக்கினால் இருபது வரும்
பின்னர் பன்னிரெண்டிலிருந்து எட்டைக் கழித்தால் நான்கு.
அதிலிருந்து இருபதைக் கழித்தால் எதிர்மறை
பதினாறு கிடைக்கும்.
ஆனால் இதுவல்ல நமக்கு வேண்டிய விடை
ஆக எங்கோ
அடைப்புக்குறி வரவேண்டும்.
அடைப்புக்குறியை சில இடங்களில் பொருத்தி
விடை வருகிறதா என்று பார்க்கலாம்
பன்னிரெண்டிலுருந்து எட்டைக் கழித்து, பின்னர் நான்கையும்
கழித்து, அதனுடன் ஐந்தைப் பெருக்கினால் என்னவாகும்?
பூஜ்ஜியம் கிடைக்கும்.
அதுவும் சரியான விடையில்லை.
இப்படிச் செய்து பார்க்கலாம்.
எட்டிலிருந்து நான்கைக் கழித்தால் நான்கு கிடைக்கும்
பிறகு நான்குடன் ஐந்தைப் பெருக்கினால் இருபது, அதனைப்
பன்னிரெண்டிலிருந்து கழித்தால்
வரும் விடை எதிர்மறை எட்டு. ஆக இது சரியான விடை.
இப்போது அடைப்புக்குறியை இட்டு விடையைச் சரிபார்க்கலாம்.
8-4 ஐச் சுற்றி அடைப்புக்குறி வரவேண்டும்
எட்டிலிருந்து நான்கைக் கழித்தால் வரும் விடை நான்கு
ஆக இந்தச் சமன்பாட்டை 12-4.5
என்று எழுதலாம்
இதில் முதலில் பெருக்கலுக்கு முன்னுரிமை
நான்கையும் ஐந்தையும் பெருக்கினால் கிடைப்பது இருபது
இதனை இன்னும் புரியும்படி எழுத வேண்டுமெனில்
இப்படி எழுதலாம்
இன்னுமொரு அடைப்புக்குறியை
இப்படிச் சேர்த்தால்
கணக்கு எளிதாகிவிடும்
ஆக இப்போது நமக்கு வேண்டிய விடை
எதிர்மறை எட்டு கிடைத்துவிட்டது