Αυτοί είναι οι πέντε πρώτοι αριθμοί μιας αριθμητικής ακολουθίας.
Μπορείτε να βρείτε τον επόμενο;
[Πατήστε παύση για να λύσετε το γρίφο]
Απάντηση σε: 3
Απάντηση σε: 2
Απάντηση σε: 1
Εδώ υπάρχει ένα μοτίβο,
αλλά ίσως δεν είναι το μοτίβο που εσείς νομίζετε.
Δείτε πάλι την ακολουθία και διαβάστε την δυνατά.
Τώρα, δείτε τον επόμενο αριθμό στην ακολουθία.
3, 1, 2, 2, 1, 1.
Πατήστε πάλι παύση αν θέλετε να το σκεφτείτε λίγο παραπάνω.
Απάντηση σε: 3
Απάντηση σε: 2
Απάντηση σε: 1
Αυτή είναι η λεγόμενη ακολουθία «δες και πες».
Αντίθετα με πολλές αριθμητικές ακολουθίες,
δεν εξαρτάται από κάποια μαθηματική ιδιότητα των ίδιων των αριθμών,
αλλά από τη σημειογραφία τους.
Αρχίστε με το πρώτο από αριστερά ψηφίο του πρώτου αριθμού.
Τώρα διαβάστε δυνατά πόσες φορές επαναλαμβάνεται διαδοχικά
ακολουθούμενο από το όνομα του ίδιου του ψηφίου.
Κατόπιν προχωρήστε στο επόμενο διαφορετικό ψηφίο και επαναλάβετε μέχρι το τέλος.
Έτσι ο αριθμός 1 διαβάζεται «ένα ένα»
και γράφεται το ίδιο όπως το 11.
Φυσικά, ως μέρος της ακολουθίας δεν είναι ο αριθμός 11,
αλλά δύο 1,
τα οποία κατόπιν γράφουμε σαν 2 1.
Αυτός ο αριθμός πλέον διαβάζεται 1 2 1 1,
το οποίο γραμμένο διαβάζεται ως ένα ένα, ένα δύο, δύο ένα, κ.ο.κ.
Τέτοιου είδους ακολουθίες αναλύθηκαν πρώτη φορά από τον μαθηματικό Τζον Κόνγουεϊ,
που πρόσεξε ότι έχουν κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες.
Για παράδειγμα, αρχίζοντας με το 22 εκκινούμε έναν άπειρο βρόχο από «δύο δύο».
Αλλά όταν τροφοδοτηθεί με κάθε άλλο αριθμό,
η ακολουθία εξελίσσεται με πολύ συγκεκριμένους τρόπους.
Προσέξτε ότι αν και συνεχώς αυξάνεται ο αριθμός των ψηφίων,
η αύξηση δεν φαίνεται να είναι ούτε γραμμική, ούτε τυχαία.
Στην ουσία, επεκτείνοντας την ακολουθία στο άπειρο, προκύπτει ένα μοτίβο.
Η αναλογία του αριθμού των ψηφίων σε δύο διαδοχικούς όρους
σταδιακά συμπτύσσεται σε έναν μόνο αριθμό που λέγεται Σταθερά του Κόνγουεϊ.
Αυτός είναι ίσος με λίγο πάνω από το 1,3
που σημαίνει ότι το ποσό των ψηφίων αυξάνει κατά περίπου 30%
με κάθε βήμα της ακολουθίας.
Και οι ίδιοι οι αριθμοί;
Εδώ γίνεται ακόμη πιο ενδιαφέρον.
Εκτός από την επαναλαμβανόμενη ακολουθία του 22,
κάθε πιθανή ακολουθία τελικά καταλήγει σε μια ορισμένη σειρά ψηφίων.
Ασχέτως με τη σειρά εμφάνισης αυτών των σειρών,
καθεμιά παρουσιάζεται συνολικά σταθερή κάθε φορά που εμφανίζεται.
Ο Κόνγουεϊ εντόπισε 92 τέτοια στοιχεία,
που όλα τους συντίθενται μόνο από τα ψηφία 1, 2 και 3,
καθώς και δύο επιπλέον στοιχεία,
των οποίων οι παραλλαγές μπορεί να λήγουν σε κάθε ψηφίο από το 4 και πάνω.
Ανεξαρτήτως από τον αριθμό που τροφοδοτούμε την ακολουθία,
τελικά θα αποτελείται απλώς από αυτούς τους συνδυασμούς,
με τα ψηφία 4 και πάνω να εμφανίζονται στο τέλος των δύο έξτρα στοιχείων,
αν ποτέ εμφανιστούν.
Εκτός από ενδιαφέρων γρίφος,
η ακολουθία «δες και πες» έχει κάποιες πρακτικές εφαρμογές.
Για παράδειγμα, ο αλγόριθμος συμπίεσης δεδομένων RLE,
που κάποτε εφαρμοζόταν στη συμπίεση τηλεοπτικού σήματος και ψηφιακών γραφικών,
βασίζεται σε παρόμοια γενική ιδέα.
Το πόσες φορές μια τιμή επαναλαμβάνεται μέσα στον κώδικα
καταγράφεται και η ίδια ως τιμή δεδομένων.
Τέτοιες ακολουθίες είναι καλό παράδειγμα του πώς οι αριθμοί και άλλα σύμβολα
μπορούν να φέρουν νόημα σε πολλαπλά επίπεδα.