Qu'est-ce que les français font mieux que les autres ?
Selon les sondages,
on pourrait croire que les Français occupent les trois premières places en :
amour, vin et capacité de râler.
(Rires)
Certes.
Il y a une quatrième matière :
les mathématiques.
Saviez-vous que Paris compte plus de mathématiciens
que toute autre ville dans le monde ?
Elle a aussi le plus de rues portant le nom de mathématiciens.
La lecture des statistiques de la médaille Fields,
souvent considérée comme le Prix Nobel des mathématiques
et toujours accordée à des mathématiciens de moins de 40 ans,
vous fera découvrir que la France a plus de médaillés Fields par habitant
que tout autre pays.
Qu'est-ce que nous trouvons de si sexy dans les maths ?
Après tout, elles semblent ennuyeuses et abstraites,
se limitant à des nombres, des calculs, et des règles à appliquer.
Les mathématiques sont peut-être abstraites,
mais certainement pas ennuyantes.
Il ne s'agit pas de calcul.
Il s'agit de raisonner, et de démontrer notre hypothèse.
Nous faisons appel à l'imagination, le talent que nous valorisons le plus.
Il s'agit de découvrir la vérité.
Il n'y a rien de tel que ce sentiment qui vous envahit
quand après des mois de réflexions intenses,
vous percevez enfin la bonne démarche pour résoudre votre problème.
Le grand mathématicien André Weil assimilait cela,
et ce n'est pas une plaisanterie,
au plaisir sexuel.
Mais il remarquait que cette sensation pouvait durer des heures, voire des jours.
La récompense peut être grande.
Des vérités mathématiques cachées imprègnent notre monde physique.
Elles sont inaccessibles à nos sens,
mais peuvent être perçues à travers les mathématiques.
Fermez vos yeux un instant,
et réfléchissez à ce qui se déroule actuellement autour de vous.
Des particules invisibles dans l'air environnant vous heurtent
par milliards et milliards, chaque seconde,
dans un chaos complet.
Pourtant,
les mathématiques physiques peuvent prédire précisément leurs statistiques.
A présent, tournez votre regard
vers les statistiques de vitesse de ces particules.
La célèbre fonction gaussienne en forme de cloche,
ou la loi des erreurs,
des écarts par rapport au comportement médian.
Cette courbe décrit les statistiques de la vitesse des particules,
de la même manière qu'une courbe démographique
décrit les statistiques des âges des individus.
C'est une des courbes les plus importantes qu'on connaisse.
Elle apparaît systématiquement, encore et encore,
dans de nombreuses théories et expériences,
comme un des grands exemples d'universalité
qui nous tient tant à cœur, nous, les mathématiciens.
De cette courbe, le célèbre scientifique Francis Galton a dit ceci :
« Les Grecs l'eussent déifiée, s'ils en avaient eu connaissance.
loi suprême du désordre et de la déraison. »
Il n'existe pas de meilleur moyen de matérialiser
cette déesse suprême que la Planche de Galton.
Dans cette planche, il y a des tunnels étroits
à travers lesquels de petites balles vont tomber aléatoirement,
allant à droite ou à gauche, ou à gauche, etc.
Tout cela dans un complet chaos, et au hasard.
Regardons ce qui arrive
quand on observe toutes ces trajectoires aléatoires ensemble.
(Planche secouée)
C'est un peu sportif,
car nous devons fluidifier quelques embouteillages.
Ah ah.
Vous croyez que le hasard va me jouer un tour ?
Et voilà !
Notre déesse suprême de la déraison.
La Courbe de Gauss,
piégée ici dans cette boîte transparente,
comme Dream dans la BD « Le Marchand de sable ».
Aujourd'hui, je vous l'ai montrée,
mais à mes étudiants, j'explique pourquoi il ne peut y avoir d'autre courbe.
Nous touchons alors du doigt le mystère de cette déesse,
en remplaçant une belle coïncidence par une belle explication.
Toute la science est pareille.
Les belles explications mathématiques n'existent pas que pour notre plaisir.
Elles transforment aussi notre vision du monde.
Par exemple, Einstein,
Perrin, Smoluchowski,
ils ont tous utilisé l'analyse mathématique des trajectoires aléatoires,
et la Courbe de Gauss,
pour expliquer et démontrer que notre monde est fait d'atomes.
Ce n'était pas la première fois
que les mathématiques révolutionnaient notre vision du monde.
Il y a plus de 2000 ans,
à l'époque de la Grèce antique,
c'était déjà arrivé.
En ces temps là,
seulement une petite partie du monde avait été explorée,
et la Terre devait paraître infinie.
Mais l'habile Eratosthène,
utilisant les mathémiques,
fut capable de mesurer la Terre avec la précision incroyable de 2%.
Voici un autre exemple.
En 1673, Jean Richer remarqua
qu'un pendule se balance légèrement plus lentement à Cayenne qu'à Paris.
A partir de cette seule observation, et des mathématiques assez habiles,
Newton déduisit correctement
que la Terre est un petit peu aplatie aux pôles,
à peu près de 0,3 %,
si faiblement que c'est imperceptible sur une image réelle de la Terre.
Ces histoires montrent que les mathématiques
sont capables de nous faire aller au-delà de notre intuition,
pour mesurer la Terre qui semble infinie,
voir des atomes, invisibles à l'œil nu,
ou détecter une variation imperceptible d'une forme.
Si vous ne deviez retenir qu'une seule chose de ma présentation,
la voici :
les mathématiques nous permettent d'aller au-delà de notre intuition,
et d'explorer des territoires inaccessibles à notre compréhension.
Voici un exemple moderne, auquel vous pourrez vous identifier :
les recherches sur internet.
Le World Wide Web,
plus d'un milliard de pages internet,
vous ne souhaitez-pas toutes les consulter, n'est-ce pas ?
La capacité de calcul nous aide,
mais ça serait inutile sans les modèles mathématiques
qui permettent de trouver l'information cachée dans cette masse de données.
Résolvons un problème enfantin.
Imaginez que vous êtes un détective travaillant sur une scène de crime,
et qu'il y ait beaucoup de gens qui ont leur version des faits.
Qui voulez-vous interrogez en premier ?
Réponse sensée : les témoins principaux.
Vous voyez,
supposons que la personne numéro sept
vous raconte une histoire,
mais que, quand vous lui demandez sa source,
il désigne la personne numéro trois.
Et que, peut-être, la personne numéro trois, à son tour
désigne la personne numéro 1 comme la source originelle.
Numéro un est devenu un témoin principal,
que je veux vraiment interroger prioritairement.
A partir du graphique,
on constate aussi que la personne numéro quatre est un témoin principal.
Sans doute ferais-je mieux de l'interroger en premier,
parce qu'il y a davantage de personnes qui renvoient vers lui.
Je l'admets, c'était facile.
Qu'en serait-il si vous aviez un groupe important de témoignage à collecter ?
Ce nouveau graphique,
qui représente toutes les personnes
qui témoignent dans une enquête criminelle compliquée,
pourrait très bien représenter les pages internet renvoyant les unes aux autres,
se réferrant au contenu des unes et des autres.
Lesquelles font le plus autorité ?
Ce n'est pas si clair.
Je vous présente PageRank,
une des toutes premières pierres angulaires de Google.
Cet algorithme utilise les lois du hasard mathématique
pour déterminer automatiquement les pages web les plus pertinentes,
de la même manière que nous avons utilisé
le hasard dans l'expérience de la Planche de Galton.
Ce que nous allons donc faire, c'est envoyer dans ce graphique
un tas de petites billes numériques,
et les laisser se déplacer aléatoirement sur le graphique.
Chaque fois qu'elles arrivent sur un site,
elles passent d'un lien choisi aléatoirement à un autre,
Et ainsi de suite.
Avec l'aide de petites piles qui grandissent,
nous gardons trace du nombre de fois, chaque site à été visité
par ces billes numériques.
C'est parti !
Le hasard, le hasard.
De temps en temps,
faisons des sauts complètement aléatoirement, juste pour le fun.
Regardez-moi ça :
du chaos émerge la solution.
Les plus hautes piles correspondent aux sites
qui d'une certaine manière, sont mieux connectés que les autres,
plus mentionnés que les autres.
Nous voyons clairement quelles sont les pages internet
que nous voulons consulter en premier.
Une fois encore,
la solution émerge du hasard.
Bien sûr, depuis cette époque,
Google a mis au point des algorithmes bien plus sophistiqués,
mais c'était déjà beau.
Pourtant,
ce n'est qu'un problème sur un million.
Avec l'arrivée de l'ère numérique,
de plus en plus de problèmes se prêtent à l'analyse mathématique,
rendant le métier de mathématicien de plus en plus utile,
au point qu'il y a quelques années,
il fut classé premier parmi des milliers de métiers
dans une étude sur les meilleurs et les pires métiers,
publiée par le Wall Street Journal en 2009.
Mathématicien,
le meilleur métier au monde !
Nous devons remercier les applications :
la théorie de la communication,
la théorie de l'information,
la théorie des jeux,
l'acquisition comprimée,
l'apprentissage automatique,
l'analyse de graphique,
l'analyse harmonique.
Et pourquoi pas les processus stochastiques,
la programmation linéaire,
ou la simulation de fluide ?
Chacun de ces domaines ont un nombre monstrueux d'applications industrielles.
Et à travers elles, il y a des fortunes qui sont faites dans les mathématiques.
Je le concède,
quand il est question de faire de l'argent à partir des maths,
les Américains sont de loin les champions du monde.
L'Amérique possède des millionnaires malins et emblématiques,
des entreprises géantes, qui tous, existent grâce à de bons algorithmes.
Evidemment, avec cette beauté, cette utilité et cette richesse,
les mathématiques ne peuvent qu'avoir l'air sexy.
Ne croyez cependant pas
que la vie d'un mathématicien est accommodante.
Elle est remplie de perplexités,
de frustrations,
de combats désespérés vers la compréhension.
Je vais vous narrer
une des journées les plus frappantes dans ma vie de mathématicien.
En fait, je devrais plutôt parler de nuits frappantes.
A cette époque,
je résidais à l'Institut d'Etudes avancées de Princeton,
qui fut le foyer d'Albert Einstein très longtemps,
et qui est, sans aucun doute, la Mecque de la recherche mathématique au monde.
Cette nuit là, je séchais sur une démonstration qui m'échappait,
et qui restait incomplète.
La question traitait de la compréhension
de la propriété paradoxale de la stabilité du plasma,
qui est en fait une masse d'électrons.
Dans le monde parfait du plasma,
il n'y a pas de collision,
et aucune friction qui permettent la stabilité
à laquelle nous sommes familier.
Néanmoins,
si on perturbe un tout petit peu l'équilibre plasmique,
on constate que le bouclier électrique qui en résulte
s'évanouit spontanément,
il est amorti en quelques sortes,
sous l'effet d'une mystérieuse force de friction.
Cet effet paradoxal,
appelé l'amortissement Landau,
est un des effets les plus importants en physique des plasma.
Bien qu'il ait été découvert grâce aux idées mathématiques,
celles-ci n'avaient pas encore une compréhension totale de ce phénomème.
Avec mon ancien étudiant, et collaborateur principal, Clément Mouhot
qui résidait à Paris à l'époque,
nous travaillions à cette démonstration depuis des mois.
D'ailleurs, j'avais déjà annoncé erronément
que nous pouvions la résoudre.
Mais en réalité, la démonstration ne tenait pas la route.
En dépit d'une centaine de pages d'argumentations mathématiques complexes,
d'un certain nombres de découvertes,
et de calculs incroyables,
ça ne marchait pas.
Cette nuit là, à Princeton,
je me cassais la tête sur une brèche dans une chaîne de l'argumentaire.
J'y consacrais toute mon énergie, mon expérience, et mes astuces,
en vain.
une heure du matin passe, deux heures, trois heures.
Rien.
A quatre heure du matin, j'abandonne, le moral dans les talons.
Quelques heures plus tard,
je me réveille :
« Aaah. C'est l'heure d'emmener les enfants à l'école, »
Qu'est-ce que c'est ?
J'ai entendu une voix, je vous jure.
« Déplace la seconde proposition de l'autre côté,
transformation de Fourier et inverser en L2.
(Rires)
Incroyable !
C'était le début de la solution.
Je croyais m'être reposé un peu,
mais en fait, mon cerveau avait continué de réfléchir au problème.
Dans ces moments là,
on ne pense pas à sa carrière, ou à ses amis.
C'est un combat entre le problème est soi.
Cela dit,
une promotion en rétribution du travail accompli ne nous arrache pas le cœur.
Après avoir achevé notre énorme analyse de l'amortissement Landau,
j'ai eu la chance
de recevoir la prestigieuse Médaille Fields,
que le Président de l'Inde m'a remise
à Hyderabad le 19 août 2010.
C'est un honneur dont les mathématiciens n'osent jamais rêver.
C'est un jour dont je me souviendrai toute ma vie.
Qu'est-ce qui nous passe par la tête à ce moment ?
Une grande fierté.
Surtout de la gratitude pour tous les collègues
qui ont rendu cela possible.
Comme c'était une aventure collective,
c'est important de la partager, pas uniquement avec ses collègues.
Je crois profondément que tous le monde
peut apprécier ce frisson de la recherche mathématique,
et partager ses histoires passionnantes des hommes
et des idées qui la sous-tendent.
Je travaille avec mon équipe à l'Institut Henri Pointcaré,
et avec des partenaires et des artistes de la communication des mathématiques
pour y créer notre propre musée des mathématiques.
Dans quelques années,
lorsque vous visiterez Paris,
après avoir goûté notre baguettes croustillantes et nos macarons,
venez nous rendre visite à l'Institut Pointcaré,
et partager le rêve mathématique avec nous.
Merci.
(Applaudissements)