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00:00:00,000 --> 00:00:05,120
RKA22JL - Olá! Tudo bem com você? 
Vamos começar agora mais uma aula de matemática.

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00:00:05,170 --> 00:00:09,606
E, nessa aula, vamos começar a conversar 
sobre o teorema da divergência.

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00:00:09,638 --> 00:00:11,990
Mas o que é o teorema da divergência?

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00:00:11,999 --> 00:00:18,538
O teorema da divergência realiza uma igualdade 
entre um fluxo de uma superfície de um campo vetorial

5
00:00:18,638 --> 00:00:26,103
e a integral tripla sobre a região tridimensional 
delimitada pela superfície do divergente do campo vetorial.

6
00:00:26,152 --> 00:00:29,352
Ou seja, vamos supor que
haja um campo vetorial F.

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00:00:29,485 --> 00:00:37,223
A integral dupla sobre a superfície do produto escalar 
entre o campo vetorial F e o vetor normal da superfície,

8
00:00:37,298 --> 00:00:40,552
que representamos
com um n chapéu, dS,

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00:00:40,552 --> 00:00:46,123
é igual à integral tripla sobre
a região R do divergente de F, dV,

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00:00:46,172 --> 00:00:48,673
que representa o
diferencial de volume.

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00:00:48,748 --> 00:00:53,196
O que vamos começar a fazer neste vídeo 
é realizar a demonstração deste teorema,

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00:00:53,286 --> 00:00:58,196
mas, para isso, vamos assumir que estamos lidando 
com uma região sólida simples

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00:00:58,225 --> 00:01:00,868
e isso significa que, formalmente,

14
00:01:00,868 --> 00:01:06,372
estamos pensando em uma região que pode ser
do tipo um, do tipo dois ou do tipo três.

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00:01:06,422 --> 00:01:11,298
Já existem vídeos nos quais eu falei 
sobre o significado desses tipos de regiões,

16
00:01:11,310 --> 00:01:18,650
mas a maioria das formas básicas acabam sendo 
uma dessas regiões, ou seja, é uma região sólida simples.

17
00:01:18,700 --> 00:01:23,450
Por exemplo, uma esfera ou um cilindro se enquadram 
em um desses tipos de regiões,

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00:01:23,523 --> 00:01:27,149
mas e quando a região não
for de nenhum desses três tipos?

19
00:01:27,182 --> 00:01:33,098
O ideal é que você faça uma transformação, 
fazendo com que ela se torne uma região simples.

20
00:01:33,133 --> 00:01:37,397
Mas vamos supor que estamos
lidando com uma região sólida simples.

21
00:01:37,473 --> 00:01:42,719
Sabendo disso, vamos assumir que o nosso
campo vetorial F pode ser escrito como:

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00:01:42,719 --> 00:01:45,549
P, que é uma função de x, y e z,

23
00:01:45,600 --> 00:01:51,894
vezes i chapéu, mais Q, que também é 
uma função de x, y, z, vezes j chapéu,

24
00:01:51,925 --> 00:01:56,572
mais R, que é outra função
de x, y e z, vezes k chapéu.

25
00:01:56,649 --> 00:02:00,623
Feito isso, vamos abrir cada
um desses lados da igualdade.

26
00:02:00,674 --> 00:02:03,498
Primeiro, vamos pensar
sobre o F escalar, n.

27
00:02:03,573 --> 00:02:05,423
Vamos pensar
um pouco sobre isso.

28
00:02:05,474 --> 00:02:14,943
O produto escalar entre F e n é igual a essa componente 
vezes a componente i de n, mais essa componente

29
00:02:15,021 --> 00:02:21,098
vezes a componentes j de n, mais essa componente 
vezes a componente k de n.

30
00:02:21,131 --> 00:02:29,147
Podemos escrever isso como P vezes, entre parênteses, 
o produto escalar entre i chapéu e n chapéu.

31
00:02:29,222 --> 00:02:33,151
Não podemos esquecer que
i chapéu é um vetor unitário, ok?

32
00:02:33,163 --> 00:02:39,849
Precisamos deixar isso bem claro, porque, 
ao calcular o produto escalar entre i chapéu e n chapéu,

33
00:02:39,897 --> 00:02:43,823
teremos apenas a componente i
do vetor normal n chapéu.

34
00:02:43,836 --> 00:02:49,320
E aí, vamos multiplicar isso por P, ou seja,
basicamente, vamos fazer o produto escalar

35
00:02:49,320 --> 00:02:51,935
entre os módulos
das componentes de x.

36
00:02:51,957 --> 00:02:57,855
Somamos isso com o Q vezes j chapéu,
escalar com n chapéu.

37
00:02:57,906 --> 00:03:02,267
Novamente, fazendo o produto escalar
de j chapéu com n chapéu,

38
00:03:02,267 --> 00:03:06,409
teremos o produto escalar entre
os módulos das componentes j.

39
00:03:06,429 --> 00:03:11,710
Isso mais R vezes
k chapéu escalar, n chapéu.

40
00:03:11,767 --> 00:03:16,510
Não costumamos ver dessa forma, mas
podemos dizer que é razoável pensar assim.

41
00:03:16,541 --> 00:03:23,157
Afinal, isso será igual a P vezes o módulo da
componente i do vetor normal n,

42
00:03:23,171 --> 00:03:30,483
e isso é exatamente o que queremos no produto escalar, 
e o mesmo se aplica à componente j e à componente k.

43
00:03:30,483 --> 00:03:38,333
Você pode tentar definir o n chapéu como sendo igual
a m vezes i chapéu, mais n vezes j chapéu,

44
00:03:38,428 --> 00:03:43,638
mais O vezes k chapéu, ou algo parecido, 
e verá que isso funciona muito bem.

45
00:03:43,688 --> 00:03:47,764
Enfim, visto isso agora, como
podemos simplificar essa expressão?

46
00:03:47,800 --> 00:03:52,738
Podemos reescrever o lado esquerdo 
como a integral de superfície de F.

47
00:03:52,738 --> 00:03:58,718
Eu vou escrever isso aqui várias vezes. 
Então colocamos F escalar dS, que é igual

48
00:03:58,718 --> 00:04:03,998
à integral de superfície de r escalar, n chapéu,
vezes o escalar dS.

49
00:04:04,003 --> 00:04:09,679
Ou seja, é igual à integral dupla sobre a superfície 
de tudo isso que escrevi.

50
00:04:09,725 --> 00:04:12,479
Eu vou reescrever
rapidinho novamente, ok?

51
00:04:12,522 --> 00:04:17,427
Colocamos tudo isso aqui
entre parênteses e, no final, o dS.

52
00:04:17,453 --> 00:04:20,541
Agora, tudo isso pode ser reescrito como

53
00:04:20,541 --> 00:04:27,680
a integral da superfície de P vezes o
produto escalar entre i chapéu e n chapéu, dS,

54
00:04:27,719 --> 00:04:35,679
mais a integral de superfície de Q, vezes o
produto escalar entre j chapéu e n chapéu, dS,

55
00:04:35,679 --> 00:04:43,954
mais a integral de superfície de R, vezes o produto escalar
entre k chapéu e n chapéu, vezes o escalar dS.

56
00:04:43,954 --> 00:04:46,078
Observe que eu quebrei isso aqui.

57
00:04:46,106 --> 00:04:48,376
Eu estava fazendo
a integral dessa forma.

58
00:04:48,389 --> 00:04:55,178
Agora, o que temos aqui é a soma das integrais, 
e tudo isso é o lado esquerdo do teorema da divergência.

59
00:04:55,228 --> 00:04:57,179
Agora, vamos pensar
sobre o lado direito.

60
00:04:57,254 --> 00:05:03,103
Qual é o divergente de F? O divergente de F, 
baseado nessa expressão de F,

61
00:05:03,116 --> 00:05:11,428
será igual à parcial de P em relação a x, mais a parcial de
Q em relação a y, mais a parcial de r em relação a z.

62
00:05:11,478 --> 00:05:20,075
Sabendo disso, essa integral tripla pode ser reescrita 
como a integral tripla da parcial de P em relação a x,

63
00:05:20,126 --> 00:05:26,127
mais a parcial de Q em relação a y,
mais a parcial de r em relação a z.

64
00:05:26,159 --> 00:05:31,352
Isso aqui de novo, ao invés de escrever
como a integral tripla dessa soma,

65
00:05:31,352 --> 00:05:34,706
podemos escrever como
a soma das integrais triplas.

66
00:05:34,706 --> 00:05:42,185
Então isso pode ser reescrito como a integral tripla 
sobre a nossa região tridimensional da parcial de P

67
00:05:42,195 --> 00:05:49,522
em relação a x, dV, mais a integral tripla 
da parcial de Q em relação a y, dV,

68
00:05:49,550 --> 00:05:54,542
mais a integral tripla da parcial
de r em relação a z, dV.

69
00:05:54,582 --> 00:06:00,862
Novamente falando, o teorema da divergência diz 
que isso precisa ser igual a tudo isso aqui.

70
00:06:00,922 --> 00:06:04,502
Só escrevemos essa igualdade aqui
em cima de uma forma diferente.

71
00:06:04,602 --> 00:06:08,028
Sendo assim, para provar que
essa igualdade é verdadeira,

72
00:06:08,103 --> 00:06:12,752
temos que mostrar que cada um desses
termos correspondentes são iguais entre si.

73
00:06:12,752 --> 00:06:18,312
Ou seja, que esses dois aqui são iguais entre si, 
que esses aqui são iguais entre si

74
00:06:18,442 --> 00:06:22,868
e que esses aqui são iguais entre si.
O nosso objetivo é provar isso.

75
00:06:22,897 --> 00:06:27,447
Claro, nossa região R pode ser do tipo um, 
do tipo dois ou do tipo três,

76
00:06:27,476 --> 00:06:31,422
mas, particularmente, vamos fazer isso 
em uma região do tipo um.

77
00:06:31,471 --> 00:06:36,292
Porém, você pode utilizar o mesmo argumento 
para regiões do tipo dois e do tipo três.

78
00:06:36,371 --> 00:06:43,121
Ou seja, para que o teorema da divergência seja verdadeiro, 
cada um desses termos precisa ser igual.

79
00:06:43,172 --> 00:06:46,301
Enfim, eu espero que você
tenha compreendido tudo direitinho

80
00:06:46,301 --> 00:06:50,770
e, mais uma vez, eu quero deixar para você 
um grande abraço e até a próxima!