Hãy cùng nghĩ về
mô hình dân số và mình có vài bức hình
của 1 trong những người nổi tiếng nhất,
và quý ông ở đây
là người nổi tiếng nhất khi người ta nhắc đến
dân sô và giới hạn tăng trưởng của dân số.
Đây là Thomas Malthus.
Ông ấy là 1 giáo sĩ, nhà văn và học giả người Anh
vào cuối những năm 60 của thế kỷ 18,
đầu thế kỷ 19.
Ông ấy đã thay đổi khái niệm
rằng dân số có thể tăng trưởng không giới hạn
và thông qua công nghệ, chúng ta
có thể nuôi sống bản thân
và rằng môi trường cuối cùng cũng phải
đặt giới hạn cho mức độ
tăng trưởng tối đa của dân số.
P.F.Verhulst,
...
1 nhà toán học người Bỉ đã đọc nghiên cứu của Malthus
và thử dựng thành mô hình các tính chất
mà Malthus đề cập
rằng khi không có ràng buộc bởi môi trường,
dân số sẽ tăng trưởng lũy tiến
nhưng đến khi nó tiếp cận giới hạn
môi trường đã đặt ra,
nó sẽ tiến gần đến tiệm cận
của 1 dân số khác.
Malthus thì không nghĩ
nó sẽ trở thành tiệm cận bằng phẳng
Ông ấy cho rằng dân số
sẽ vượt qua khỏi giới hạn
và sẽ có những thiên tai
rồi dân số sẽ hạ thẳng xuống dưới giới hạn
và dao động quanh đó
khi những thiên tai tiếp theo xảy ra.
Malthus là 1 người khá "lạc quan" nhỉ,
nhưng chúng ta hãy dùng toán học
và 1 ít phương trình vi phân
mặc dù những phương trình vi phân này
cũng không quá phức tạp để giải thích dân số.
Cách đầu tiên để nghĩ về dân số
là mình sẽ biểu đạt nó bằng 1 phương trình vi phân.
Mình sẽ đặt 1 vài biến số ở đây.
Gọi N là dân số,
vậy đó sẽ là dân số,
và mình sẽ giả sử N là hàm số của t.
N là hàm số của t
sẽ là phương trình ta sẽ tiếp xúc
trong video này và những video tiếp theo.
1 cách để suy nghĩ về cách dựng thành mô hình
phương trình này là tìm ra tốc độ biến thiên
của dân số phụ thuộc vào thời gian là gì?
Điều đó thì có liên quan gì?
Mình sẽ viết ra, tốc độ biến thiên
của dân số phụ thuộc vào thời gian là gì?
d thường, N in hoa, và dt.
1 cách để nghĩ là
nó sẽ tỉ lệ thuận với dân số.
Bạn có thể nói nó sẽ là
1 hệ số tỉ lệ
nhân cho dân số,
nhân cho dân số.
Điều này là hợp lí nếu dân số nhỏ
thì sẽ không có nhiều
sự biến thiên trên 1 đơn vị thời gian so với dân số lớn.
Dân số càng lớn thì
càng có sự tăng trưởng theo thời gian rõ rệt hơn.
Thật ra thì rất đơn giản để giải
phương trình vi phân, có thể bạn đã từng làm rồi.
Mình khuyên bạn nên dừng video
nếu bạn muốn
nhưng mình sẽ giải ngay bên đây
và bạn sẽ thấy, ta sẽ ra được 1 hàm số mũ ở đây
cho N, nên hãy cùng làm thôi.
Hãy cùng giải và chúng ta sẽ
tách các biến số, tách N ra khỏi t
mặc dù ta chỉ thấy dt ở đây
nhưng mình sẽ quay lại với nó sau.
Nếu mình chia cả 2 vế cho N,
mình được 1 phần N và nếu mình chia cả 2 vế cho dt,
hoặc nếu bạn nghĩ rằng có thể
nhân dt
thì mình sẽ nhân nó cho 2 vế
hoặc mình có thể chia 2 vế cho N
và nhân 2 vế cho dt.
Mình sẽ được 1 phần N,
dN ở vế bên trái
và vế bên phải mình sẽ được
r nhân dt... r nhân dt...
Chú ý là mình có dt ở vế phải
bằng cách cách nhân cả 2 vế cho dt
rồi chia cả 2 vế cho N
và mình có được 1 phần N bên này.
Điều tiếp theo ta có thể làm là lấy nguyên hàm
cả 2 vế.
Ta sẽ lấy nguyên hàm cả 2 vế
và bên trái ta sẽ được gì?
Bên này sẽ ra là log nepe (log tự nhiên)
của giá trị tuyệt đối của dân số
và mình sẽ giả sử dân số
sẽ luôn khác 0.
sau đó ta có thể bỏ dấu trị tuyệt đối
nhưng mình sẽ làm sau.
Bên này sẽ bằng r nhân t.
và mình có thể thêm hằng số cả 2 bên
nhưng mình sẽ chỉ thêm 1 phía thôi
Nó sẽ là r nhân t cộng c.
Nếu mình muốn giải ra N
thì mình sẽ lấy...
Nếu phần này bằng phần này thì e mũ phần này
sẽ bằng e mũ phần này.
hoặc 1 cách khác để nghĩ về nó là
log nepe của giá trị tuyệt đối của N
sẽ bằng bên này.
1 cách nói khác là e mũ
phần này sẽ bằng phần này,
Mình sẽ làm như thế này
Mình sẽ lấy e mũ này
và mũ này.
Nếu bên này bằng bên này thì e mũ này
sẽ bằng e mũ này.
Ta sẽ còn lại e mũ log nepe
của giá trị tuyệt đối của N
Thì sẽ là giá trị tuyệt đối của N.
Giả sử N dương,
nghĩa là dân số lớn hơn 0.
Thì vế bên trái
mình có thể rút gọn thành N
và vế bên phải thì sẽ là
Nó sẽ là e mũ rt cộng c
và như thế này là được rồi.
Bên này sẽ chính là
e mũ rt, e mũ r nhân t, nhân cho...
Để mình viết e cùng màu nhé.
e mũ rt nhân e mũ c.
nhân e mũ c
Mình đã lấy e mũ tổng của 2 số mũ
rồi tách ra là e mũ rt nhân e mũ c.
Bạn có thể thấy
đây cũng sẽ ra
1 hằng số nào đó thôi.
Vậy hãy gọi đây là c
Thì sẽ là e mũ rt cộng c
hoặc có thể nói là c nhân e mũ rt... c nân e mũ rt...
Chúng ta đã giải xong phương trình vi phân
Nhưng vẫn chưa có được
1 thực tại bi quan như Malthus
mà ta đang muốn giới hạn.
Vậy thì mình sẽ
giả sử...
tốc độ biến thiên của dân số phụ thuộc vào thời gian
sẽ tỉ lệ thuận với dân số.
Khi giải phương trình vi phân đó thì
ta sẽ được dân số là hàm số của thời gian.
Để mình làm rõ hơn
để phần này là hàm số của thời gian.
Để mình di chuyển N 1 tí...
và mình sẽ viết như thế này,
N của t sẽ bằng bên này
Đây là đáp án của phương trình vi phân này.
1 lần nữa, nó sẽ tăng trưởng đến vô cực
và nếu ta biết các điều kiện ban đầu
như là, ta biết N của 0
là khi thời gian bằng 0.
Nếu cho đó N 0
thì c sẽ là gì?
N của 0 thì sẽ bằng c
c nhân e mũ 0
Bạn biết là mũ 0 thì sẽ bằng 1
nên phần này sẽ bằng c
nên C sẽ bằng N 0.
Mình thậm chí có thể viết
đáp án của phần này
là N là hàm số của t
sẽ bằng c nhân...
Chú ý rằng, N 0 là dân số ban đầu
nhân cho e mũ rt.
Và đây lại là 1 hàm số mũ.
Và dân số sẽ trông như thế này.
Nếu vẽ thành đồ thị thì nó sẽ như thế nào?
Nếu đây là trục thời gian,
bên này là trục N.
Mình có thể nói là trục y bằng N
nhưng mà mình muốn tối giản nó.
Đây sẽ là N 0
và nó sẽ tăng trưởng lũy tiến từ đó.
Tốc độ của hàm số mũ này
sẽ phụ thuộc vào hằng số ở đây
nhưng nó sẽ trông như thế này
và nó sẽ tăng trưởng ngày càng nhanh
và cứ như thế đến vô cực và mãi mãi.
Mình đã đề cập từ đầu video,
Malthus không tin
điều này là đúng,
Ông ấy nghĩ ta sẽ đạt đến giới hạn của tự nhiên nào đó
mà sẽ ràng buộc lên dân số.
Suy nghĩ của ông ấy là
hàm số càng tự nhiên hoặc thực tế thì
mô hình dân số sẽ có dạng như thế này
và có khả năng luôn dao động
quanh giới hạn như thế.
Nội dung của video tiếp theo là ta sẽ thấy P.F. Verhulst
đã nghĩ ra 1 phương trình vi phân rất hay
và đáp án của nó
khi được dựng thành mô hình sẽ miêu tả rõ ràng hơn
thực tại mà Malthus nghĩ chúng ta đang sống trong.