WEBVTT

00:00:00.515 --> 00:00:01.976
Hãy cùng nghĩ về

00:00:01.976 --> 00:00:06.961
mô hình dân số và mình có vài bức hình

00:00:06.961 --> 00:00:09.013
của 1 trong những người nổi tiếng nhất,

00:00:09.013 --> 00:00:10.785
và quý ông ở đây

00:00:10.785 --> 00:00:14.527
là người nổi tiếng nhất khi người ta nhắc đến

00:00:14.527 --> 00:00:17.540
dân sô và giới hạn tăng trưởng của dân số.

00:00:17.657 --> 00:00:19.439
Đây là Thomas Malthus.

00:00:19.439 --> 00:00:24.439
Ông ấy là 1 giáo sĩ, nhà văn và học giả người Anh

00:00:25.065 --> 00:00:28.772
vào cuối những năm 60 của thế kỷ 18,

00:00:29.357 --> 00:00:31.002
đầu thế kỷ 19.

00:00:31.002 --> 00:00:32.585
Ông ấy đã thay đổi khái niệm

00:00:32.585 --> 00:00:34.673
rằng dân số có thể tăng trưởng không giới hạn

00:00:35.465 --> 00:00:37.479
và thông qua công nghệ, chúng ta

00:00:37.479 --> 00:00:38.901
có thể nuôi sống bản thân

00:00:38.901 --> 00:00:40.972
và rằng môi trường cuối cùng cũng phải

00:00:40.972 --> 00:00:44.285
đặt giới hạn cho mức độ

00:00:44.285 --> 00:00:46.307
tăng trưởng tối đa của dân số.

00:00:47.055 --> 00:00:49.191
P.F.Verhulst,

00:00:49.686 --> 00:00:51.489
...

00:00:51.489 --> 00:00:56.489
1 nhà toán học người Bỉ đã đọc nghiên cứu của Malthus

00:00:57.032 --> 00:00:59.038
và thử dựng thành mô hình các tính chất

00:00:59.632 --> 00:01:00.730
mà Malthus đề cập

00:01:01.612 --> 00:01:04.193
rằng khi không có ràng buộc bởi môi trường,

00:01:04.193 --> 00:01:06.922
dân số sẽ tăng trưởng lũy tiến

00:01:06.922 --> 00:01:09.018
nhưng đến khi nó tiếp cận giới hạn

00:01:09.882 --> 00:01:11.386
môi trường đã đặt ra,

00:01:11.386 --> 00:01:13.143
nó sẽ tiến gần đến tiệm cận

00:01:13.143 --> 00:01:16.518
của 1 dân số khác.

00:01:16.518 --> 00:01:18.403
Malthus thì không nghĩ

00:01:18.403 --> 00:01:19.981
nó sẽ trở thành tiệm cận bằng phẳng

00:01:19.981 --> 00:01:21.288
Ông ấy cho rằng dân số

00:01:21.288 --> 00:01:22.494
sẽ vượt qua khỏi giới hạn

00:01:22.494 --> 00:01:23.829
và sẽ có những thiên tai

00:01:23.829 --> 00:01:25.556
rồi dân số sẽ hạ thẳng xuống dưới giới hạn

00:01:25.556 --> 00:01:28.632
và dao động quanh đó

00:01:28.632 --> 00:01:30.757
khi những thiên tai tiếp theo xảy ra.

00:01:30.757 --> 00:01:34.536
Malthus là 1 người khá "lạc quan" nhỉ,

00:01:34.536 --> 00:01:36.704
nhưng chúng ta hãy dùng toán học

00:01:36.704 --> 00:01:38.936
và 1 ít phương trình vi phân

00:01:38.936 --> 00:01:41.822
mặc dù những phương trình vi phân này

00:01:41.822 --> 00:01:43.800
cũng không quá phức tạp để giải thích dân số.

00:01:44.492 --> 00:01:46.525
Cách đầu tiên để nghĩ về dân số

00:01:46.525 --> 00:01:48.479
là mình sẽ biểu đạt nó bằng 1 phương trình vi phân.

00:01:48.479 --> 00:01:50.973
Mình sẽ đặt 1 vài biến số ở đây.

00:01:50.973 --> 00:01:53.241
Gọi N là dân số,

00:01:53.241 --> 00:01:55.445
vậy đó sẽ là dân số,

00:01:56.691 --> 00:02:00.139
và mình sẽ giả sử N là hàm số của t.

00:02:01.000 --> 00:02:03.113
N là hàm số của t

00:02:03.113 --> 00:02:05.185
sẽ là phương trình ta sẽ tiếp xúc

00:02:05.185 --> 00:02:07.659
trong video này và những video tiếp theo.

00:02:08.643 --> 00:02:10.889
1 cách để suy nghĩ về cách dựng thành mô hình

00:02:10.089 --> 00:02:13.045
phương trình này là tìm ra tốc độ biến thiên

00:02:13.846 --> 00:02:15.590
của dân số phụ thuộc vào thời gian là gì?

00:02:15.059 --> 00:02:16.553
Điều đó thì có liên quan gì?

00:02:17.096 --> 00:02:19.851
Mình sẽ viết ra, tốc độ biến thiên

00:02:20.715 --> 00:02:22.739
của dân số phụ thuộc vào thời gian là gì?

00:02:23.908 --> 00:02:25.903
d thường, N in hoa, và dt.

00:02:25.903 --> 00:02:27.570
1 cách để nghĩ là

00:02:27.057 --> 00:02:29.568
nó sẽ tỉ lệ thuận với dân số.

00:02:30.081 --> 00:02:32.633
Bạn có thể nói nó sẽ là

00:02:33.125 --> 00:02:34.992
1 hệ số tỉ lệ

00:02:34.992 --> 00:02:36.700
nhân cho dân số,

00:02:36.007 --> 00:02:38.328
nhân cho dân số.

00:02:39.021 --> 00:02:43.772
Điều này là hợp lí nếu dân số nhỏ

00:02:43.772 --> 00:02:47.085
thì sẽ không có nhiều

00:02:47.085 --> 00:02:50.976
sự biến thiên trên 1 đơn vị thời gian so với dân số lớn.

00:02:50.976 --> 00:02:54.159
Dân số càng lớn thì

00:02:54.159 --> 00:02:56.850
càng có sự tăng trưởng theo thời gian rõ rệt hơn.

00:02:56.085 --> 00:02:59.332
Thật ra thì rất đơn giản để giải

00:03:00.097 --> 00:03:02.085
phương trình vi phân, có thể bạn đã từng làm rồi.

00:03:02.085 --> 00:03:03.428
Mình khuyên bạn nên dừng video

00:03:03.428 --> 00:03:04.964
nếu bạn muốn

00:03:04.964 --> 00:03:06.226
nhưng mình sẽ giải ngay bên đây

00:03:06.226 --> 00:03:11.187
và bạn sẽ thấy, ta sẽ ra được 1 hàm số mũ ở đây

00:03:11.187 --> 00:03:12.922
cho N, nên hãy cùng làm thôi.

00:03:12.922 --> 00:03:14.011
Hãy cùng giải và chúng ta sẽ

00:03:14.812 --> 00:03:18.034
tách các biến số, tách N ra khỏi t

00:03:18.034 --> 00:03:19.975
mặc dù ta chỉ thấy dt ở đây

00:03:19.975 --> 00:03:21.043
nhưng mình sẽ quay lại với nó sau.

00:03:21.043 --> 00:03:23.680
Nếu mình chia cả 2 vế cho N,

00:03:23.068 --> 00:03:28.068
mình được 1 phần N và nếu mình chia cả 2 vế cho dt,

00:03:29.413 --> 00:03:31.186
hoặc nếu bạn nghĩ rằng có thể

00:03:31.186 --> 00:03:32.517
nhân dt

00:03:33.363 --> 00:03:34.832
thì mình sẽ nhân nó cho 2 vế

00:03:34.832 --> 00:03:35.953
hoặc mình có thể chia 2 vế cho N

00:03:35.953 --> 00:03:38.038
và nhân 2 vế cho dt.

00:03:38.038 --> 00:03:39.377
Mình sẽ được 1 phần N,

00:03:39.377 --> 00:03:41.328
dN ở vế bên trái

00:03:41.328 --> 00:03:43.589
và vế bên phải mình sẽ được

00:03:43.589 --> 00:03:48.589
r nhân dt... r nhân dt...

00:03:50.002 --> 00:03:51.801
Chú ý là mình có dt ở vế phải

00:03:51.819 --> 00:03:53.334
bằng cách cách nhân cả 2 vế cho dt

00:03:53.349 --> 00:03:55.338
rồi chia cả 2 vế cho N

00:03:55.338 --> 00:03:57.012
và mình có được 1 phần N bên này.

00:03:57.842 --> 00:04:02.842
Điều tiếp theo ta có thể làm là lấy nguyên hàm

00:04:03.002 --> 00:04:04.461
cả 2 vế.

00:04:05.072 --> 00:04:08.828
Ta sẽ lấy nguyên hàm cả 2 vế

00:04:09.476 --> 00:04:11.357
và bên trái ta sẽ được gì?

00:04:11.357 --> 00:04:15.692
Bên này sẽ ra là log nepe (log tự nhiên)

00:04:15.692 --> 00:04:19.442
của giá trị tuyệt đối của dân số

00:04:19.442 --> 00:04:21.457
và mình sẽ giả sử dân số

00:04:21.457 --> 00:04:24.605
sẽ luôn khác 0.

00:04:24.605 --> 00:04:26.683
sau đó ta có thể bỏ dấu trị tuyệt đối

00:04:27.385 --> 00:04:28.417
nhưng mình sẽ làm sau.

00:04:28.705 --> 00:04:33.705
Bên này sẽ bằng r nhân t.

00:04:36.556 --> 00:04:38.107
và mình có thể thêm hằng số cả 2 bên

00:04:38.107 --> 00:04:39.628
nhưng mình sẽ chỉ thêm 1 phía thôi

00:04:39.628 --> 00:04:44.628
Nó sẽ là r nhân t cộng c.

00:04:45.581 --> 00:04:48.192
Nếu mình muốn giải ra N

00:04:48.192 --> 00:04:50.515
thì mình sẽ lấy...

00:04:50.515 --> 00:04:52.668
Nếu phần này bằng phần này thì e mũ phần này

00:04:52.668 --> 00:04:55.303
sẽ bằng e mũ phần này.

00:04:55.303 --> 00:04:56.879
hoặc 1 cách khác để nghĩ về nó là

00:04:56.879 --> 00:04:59.356
log nepe của giá trị tuyệt đối của N

00:04:59.356 --> 00:04:59.868
sẽ bằng bên này.

00:04:59.868 --> 00:05:01.714
1 cách nói khác là e mũ

00:05:01.714 --> 00:05:02.991
phần này sẽ bằng phần này,

00:05:02.991 --> 00:05:04.593
Mình sẽ làm như thế này

00:05:04.593 --> 00:05:09.593
Mình sẽ lấy e mũ này

00:05:12.035 --> 00:05:12.908
và mũ này.

00:05:12.908 --> 00:05:14.271
Nếu bên này bằng bên này thì e mũ này

00:05:14.271 --> 00:05:15.864
sẽ bằng e mũ này.

00:05:16.617 --> 00:05:20.691
Ta sẽ còn lại e mũ log nepe

00:05:21.357 --> 00:05:22.293
của giá trị tuyệt đối của N

00:05:22.293 --> 00:05:24.346
Thì sẽ là giá trị tuyệt đối của N.

00:05:24.346 --> 00:05:27.541
Giả sử N dương,

00:05:27.541 --> 00:05:32.541
nghĩa là dân số lớn hơn 0.

00:05:34.081 --> 00:05:39.081
Thì vế bên trái

00:05:39.135 --> 00:05:41.161
mình có thể rút gọn thành N

00:05:41.395 --> 00:05:43.403
và vế bên phải thì sẽ là

00:05:44.195 --> 00:05:47.514
Nó sẽ là e mũ rt cộng c

00:05:47.514 --> 00:05:49.663
và như thế này là được rồi.

00:05:50.155 --> 00:05:52.223
Bên này sẽ chính là

00:05:52.835 --> 00:05:57.835
e mũ rt, e mũ r nhân t, nhân cho...

00:06:04.596 --> 00:06:06.912
Để mình viết e cùng màu nhé.

00:06:06.912 --> 00:06:11.231
e mũ rt nhân e mũ c.

00:06:11.231 --> 00:06:14.264
nhân e mũ c

00:06:14.561 --> 00:06:16.703
Mình đã lấy e mũ tổng của 2 số mũ

00:06:16.703 --> 00:06:19.466
rồi tách ra là e mũ rt nhân e mũ c.

00:06:20.342 --> 00:06:21.436
Bạn có thể thấy

00:06:22.282 --> 00:06:23.984
đây cũng sẽ ra

00:06:23.984 --> 00:06:25.649
1 hằng số nào đó thôi.

00:06:25.649 --> 00:06:27.745
Vậy hãy gọi đây là c

00:06:28.609 --> 00:06:30.086
Thì sẽ là e mũ rt cộng c

00:06:30.086 --> 00:06:35.086
hoặc có thể nói là c nhân e mũ rt... c nân e mũ rt...

00:06:42.676 --> 00:06:45.181
Chúng ta đã giải xong phương trình vi phân

00:06:45.181 --> 00:06:47.443
Nhưng vẫn chưa có được

00:06:47.443 --> 00:06:49.558
1 thực tại bi quan như Malthus

00:06:49.558 --> 00:06:50.289
mà ta đang muốn giới hạn.

00:06:50.289 --> 00:06:52.424
Vậy thì mình sẽ

00:06:52.424 --> 00:06:53.325
giả sử...

00:06:53.325 --> 00:06:55.523
tốc độ biến thiên của dân số phụ thuộc vào thời gian

00:06:55.523 --> 00:06:57.988
sẽ tỉ lệ thuận với dân số.

00:06:57.988 --> 00:06:59.985
Khi giải phương trình vi phân đó thì

00:06:59.985 --> 00:07:01.794
ta sẽ được dân số là hàm số của thời gian.

00:07:01.794 --> 00:07:03.477
Để mình làm rõ hơn

00:07:03.477 --> 00:07:05.030
để phần này là hàm số của thời gian.

00:07:05.003 --> 00:07:09.401
Để mình di chuyển N 1 tí...

00:07:09.428 --> 00:07:10.864
và mình sẽ viết như thế này,

00:07:10.864 --> 00:07:15.864
N của t sẽ bằng bên này

00:07:17.261 --> 00:07:20.797
Đây là đáp án của phương trình vi phân này.

00:07:20.797 --> 00:07:23.122
1 lần nữa, nó sẽ tăng trưởng đến vô cực

00:07:23.122 --> 00:07:24.499
và nếu ta biết các điều kiện ban đầu

00:07:24.499 --> 00:07:29.499
như là, ta biết N của 0

00:07:31.054 --> 00:07:32.093
là khi thời gian bằng 0.

00:07:32.093 --> 00:07:33.175
Nếu cho đó N 0

00:07:34.075 --> 00:07:35.346
thì c sẽ là gì?

00:07:36.021 --> 00:07:40.698
N của 0 thì sẽ bằng c

00:07:41.559 --> 00:07:44.540
c nhân e mũ 0

00:07:44.540 --> 00:07:45.842
Bạn biết là mũ 0 thì sẽ bằng 1

00:07:45.842 --> 00:07:47.041
nên phần này sẽ bằng c

00:07:47.041 --> 00:07:51.239
nên C sẽ bằng N 0.

00:07:51.239 --> 00:07:52.606
Mình thậm chí có thể viết

00:07:52.606 --> 00:07:55.118
đáp án của phần này

00:07:55.118 --> 00:08:00.118
là N là hàm số của t

00:08:00.034 --> 00:08:03.947
sẽ bằng c nhân...

00:08:04.253 --> 00:08:08.484
Chú ý rằng, N 0 là dân số ban đầu

00:08:08.484 --> 00:08:13.484
nhân cho e mũ rt.

00:08:15.937 --> 00:08:18.273
Và đây lại là 1 hàm số mũ.

00:08:18.273 --> 00:08:20.514
Và dân số sẽ trông như thế này.

00:08:20.514 --> 00:08:24.625
Nếu vẽ thành đồ thị thì nó sẽ như thế nào?

00:08:25.563 --> 00:08:27.116
Nếu đây là trục thời gian,

00:08:27.116 --> 00:08:30.037
bên này là trục N.

00:08:30.037 --> 00:08:32.453
Mình có thể nói là trục y bằng N

00:08:32.453 --> 00:08:35.955
nhưng mà mình muốn tối giản nó.

00:08:35.955 --> 00:08:37.538
Đây sẽ là N 0

00:08:37.538 --> 00:08:40.443
và nó sẽ tăng trưởng lũy tiến từ đó.

00:08:40.443 --> 00:08:41.534
Tốc độ của hàm số mũ này

00:08:42.354 --> 00:08:45.366
sẽ phụ thuộc vào hằng số ở đây

00:08:45.366 --> 00:08:46.674
nhưng nó sẽ trông như thế này

00:08:46.674 --> 00:08:48.681
và nó sẽ tăng trưởng ngày càng nhanh

00:08:48.744 --> 00:08:50.273
và cứ như thế đến vô cực và mãi mãi.

00:08:50.273 --> 00:08:52.596
Mình đã đề cập từ đầu video,

00:08:52.596 --> 00:08:55.988
Malthus không tin

00:08:55.988 --> 00:08:57.141
điều này là đúng,

00:08:57.141 --> 00:08:59.582
Ông ấy nghĩ ta sẽ đạt đến giới hạn của tự nhiên nào đó

00:08:59.582 --> 00:09:02.651
mà sẽ ràng buộc lên dân số.

00:09:02.651 --> 00:09:04.603
Suy nghĩ của ông ấy là

00:09:05.695 --> 00:09:09.173
hàm số càng tự nhiên hoặc thực tế thì

00:09:09.173 --> 00:09:12.134
mô hình dân số sẽ có dạng như thế này

00:09:12.134 --> 00:09:15.831
và có khả năng luôn dao động

00:09:15.831 --> 00:09:19.288
quanh giới hạn như thế.

00:09:19.288 --> 00:09:22.180
Nội dung của video tiếp theo là ta sẽ thấy P.F. Verhulst

00:09:22.018 --> 00:09:25.202
đã nghĩ ra 1 phương trình vi phân rất hay

00:09:25.364 --> 00:09:27.282
và đáp án của nó

00:09:27.282 --> 00:09:31.753
khi được dựng thành mô hình sẽ miêu tả rõ ràng hơn

00:09:31.753 --> 00:09:34.524
thực tại mà Malthus nghĩ chúng ta đang sống trong.