અપૂર્ણાંકોના સરવાળો અને બાદબાકીની પ્રસ્તુતિમાં આપનું સ્વાગત છે.
ચાલો શરૂ કરીએ.
ચાલો આશા રાખીએ કે તમને મૂંઝવણ ના થાય.
આ આસ્થાપૂર્વક પ્રમાણમાં સરળ પ્રશ્ન હોવા જોઈએ.
હું તમને પૂછું કે એક ચતુર્થ વત્તા એક ચતુર્થ કેટલા થાય?
તે વિશે વિચાર કરવો કે એનો શું અર્થ થાય
ચાલો આપણી પાસે એક પાઇ હતી તે ચાર ટૂકડાઓમાં વિભાજિત કરવામાં આવી હતી.
તો આ એમ કહેવા બરોબર છે કે આ પ્રથમ ૧/૪ ખરૂને ,
મને તેમાં જુદોજ રંગ પૂરવા દો
આ એક ચતુર્થમાંશ છે બરોબર ને .
ચાલો આપણે પાઇ નો એક ચતુર્થમાંશ ભાગ લઇએ , ખરૂને ?
અને અમે તેમાં પાઇનો અન્ય એક ચતુર્થ ભાગ ઉમેરવા જઈ રહ્યાં છો.
ચાલો આને એક બનાવવા - મને રંગ બદલવા દો- ગુલાબી.
આ એક ચતુર્થ ભાગ છે , આ ગુલાબી એક ચોથા પાઇ આ એક ચતુર્થ ભાગ છે.
તેથી જો હું બંને એક ચોથા ભાગની ખાધી હતા,
અથવા એક ચતુર્થ અને પછી હું અન્ય એક ચતુર્થ ખાય છે,
કેટલી હું ખાવામાં છે?
સારું, તમી માત્ર ચિત્રમાં જોઇ શકો છો.
મેં હવે પાઇ ના ચાર ટુકડા માંથી બે ટુકડા ખાઇ લીધા.
તેથી જો હું પાઇ નો ૧/૪ ભાગ અથવા પાઇ નો ૧/૪ ભાગ
અને પછી હું બીજી ૧/૪ પાઇ ખાઉ તો
મેં પાઇના ૨/૪ ભાગ ખાઇ લીધી હશે.
અને આપણને સમકક્ષ અપૂર્ણાંકોના મોડ્યુલ માંથી ખબર છે
આ એમ કહેવા બરાબર છે કે તે પાઇ માંથી અડધી પાઇ ખાઇ લીધી
જેનો કંઇક અર્થ નિકળે છે
જો હું પાઇ ના ચાર ટુકડા માંથી બે ટુકડા ખાઇ લઉં તો મેં તેના અડધા ખાઇ લીધા ગણાય
અને જો આપણે તેને ગાણિતિક રીતે જોઇએ તો , અહિં શું થાય ?
સારૂ છેદ અથવા નીચેની સંખ્યાઓ
અપૂર્ણાકો ની નીચેની સંખ્યાઓ સરખી રહે.
કારણ કે અહિ આ ઉદાહરણ માં માત્ર કુલ ટુકડઓ ની સંખ્યા છેદ માં છે.
સારૂ, હું અંશનો સરવાળો કરૂ છું, જેનો કંઇક અર્થ થાય છે.
મારી પાસે ચાર પાઇ ના ટુકડામાંનો એક ટુકડો છે, પછી બીજો એક ટુકડો આપેલ પાઇ ના ચાર ટુકડામાંથી ખાઇ લીધો
તેથી મેં પાઇના ચાર ટુકડા માંથી બે ટુકડા ખાઇ લીધા ગણાય , જે અડધા બરાબર છે.
ચાલો મને થોડા વધારે દાખલા ગણવા દો.
૨/૫ (બે પંચમાંશ ) વત્તા ૧/૫ (એક પંચમાંશ ) બરાબર શું થાય ?
સારૂ આપણે અહિ આજ પ્રમાણે કરીએ .
આપણે પહેલા નક્કી કરી એ કે છેદ ની સંખ્યા સરખી છે કે નહી .
સારૂ આપણે તે એક સેકંડ માંજ શીખી લઇશું કે આપણે છેદ જુદા-જુદા હોય ત્યારે શું કરીશું
જો છેદ ની સંખ્યા સરખી હોય તો , જવાબ ના છેદ પણ તેજ રહેશે .
અને આપણે માત્ર અંશ નો સરવાળો કરીશું
૨/૫(બે પંચમાંશ) વત્તા ૧/૫(એક પંચમાંશ) જે માત્ર (૨+૧)/ ૫ થાય, જેના બરાબર ૩/૫ (ત્રણ પંચમાંશ ) થાય .
અને આજ પ્રમાણે તેની બાદબાકી પણ કરી શકાય
જો મારી પાહે ૩/૭ - ૨/૭ હોય તો તેના બરાબર ૧/૭ થાય.
મેં માત્ર ૩ માંથી બાદ કર્યા, મેં ત્રણ માંથી ૨ બાદ કર્યા અને એક મેળવ્યો .
અને મે તેનો છેદ તેજ રાખ્યો .
જેનો કંઇક અર્થ થાય છે .
જો મારી પાસે પાઇના સાત ટુકડામાંના ત્રણ ટુકડા હોય તો ,
અને મારે સાત પાઇના ટુકડાઓ માંથી બે ટુકડા આપી દેવાના હોત તો ,
મારી પાસે ફક્ત પાઇના સાત ટુકડાઓ માંથી ફક્ત એક્જ પાઇનો ટુકડો રહેશે .
તો ચાલો હવે ગણીએ-- હું વિચારૂ છું કે તે ખૂબ સરળ રહેશે
જ્યારે આપણી પાસે એક સરખો છેદ હશે ત્યારે
યાદ રાખો, છેદ એ માત્ર આપેલ અપૂર્ણાંક સંખ્યાની નીચે ની સંખ્યા જ છે,
ઉપરની સંખ્યા અંશ છે.
જ્યારે આપણી પાસે જુદા-જુદા છેદ હશે ત્યારે શું થશે ?
સારૂ, આશા રાખું છું કે તે ખૂબ અઘરૂ હશે નહી.
ચાલો હું ૧/૪ + ૧/૨ લઉ.
ચાલો મૂળ પાઇ ના ઉદાહરણ તરફ પાછા વળીએ
મને પાઇ દોરવા દો
તેથી અહિ આ પ્રથમ ૧/૪ ખરૂ , ચાલો તેને રંગ કરીએ .
આ તે પાઇ નો એક ચતુર્થમાંશ ભાગ છે.
અને હવે હું પાઇ નો બીજો અડધો ભાગ ખાવા જઇ રહ્યો છું
તેથી હું અડધી પાઇ ખાવા જઇ રહ્યો છું
તો આ એક અડધી .
હું પાઇ ના એક આખા અડધા ટુકડાને ખાઇશ.
તો તેના બરાબર શું થાય ?
સારૂ, આપણે તેને બીજી ઘણીબધી રીતે વિચારી શકીએ
સૌ પ્રથમ આપણે ૧/૨ ફરીથી લખીશું
પાઇ નો ૧/૨ ભાગ , જે ખરેખર ૨/૪ જેટલો જ છે , ખરૂને ?
અહિ ૧/૪ અને બીજો ૧/૪ છે .
તેથી ૧/૨ અને ૨/૪ એ સરખા થાય
અને આપણે સરખા અપૂર્ણાંકો વાળા મુદ્દ્દા પરથી જાણીએ છીએ કે
તેથી આપણે જાણીએ છીએ કે ૧/૪ + ૧/૨ ,
તે ૧/૪ + ૨/૪ એક કહેવા બરાબર છે . , ખરૂને ?
અને અહિ મે ૧/૨ ને ૨/૪ માં
જરૂરીયાત મુજબ આ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ ને બે વડે ગુણી ને ફેરવ્યા
અને તમે આજપ્રમાણે કોઇ પણ અપૂર્ણાંક સાથે કરી શકો
જ્યાં સુધી તમે અંશ અને છેદ ને સરખી સંખ્યા વડે ગુણો ,
તો તમે તે કોઇપણ સંખ્યાવડે ગુણી શકો .
તેનો કંઇક અર્થ નીકળે છે કારણ કે ૧/૨ ગુણ્યા ૧ બરાબર ૧/૨ જ થાય
તે તમે જાણો છો
સારૂ ૧ ની બીજી રીત પ્રમાણે ૧/૨ * ૨/૨ લખી શકાય
૨/૨ બરાબર ૧ થાય, અને જેના બરાબર ૨/૪ થાય
મેં અહિ શા માટે બે લીધા તેનું કારણા હું બંન્ને સ6ખાઓન છેદ સરખા કરવા માગતો હતો
આશા રાખું કે મે તમને મૂઝવી દીધા નથી.
સારૂ, ચાલો આપણે આ દાખલા ને પૂર્ણ કરીએ
તો આપણી પાસે ૧/૪ + ૨/૪ થાય
તેથી આપણે જાણીએ છીએ તેમ આપણ્રે માત્ર અંશનો સરવાળો કરવાનો છે , જે ત્રણ થાય,
અને છે તેજ રાખવાનઓ છે , જે ૩/૪ થાય.
અને જો આપણે ચિત્રમાં જોઇએ તો , આ પૂર્ણ સત્ય છે.
આપણે પાઇ નો ૩/૪ ભાગ ખાઇ ગયા .
ચાલો બીજો દાખલો ગણીએ
ચાલો ૧/૨ + ૧/૩ ગણીએ
સારૂ ફરી એક્વાર , આપણે છેદ ને સરખા કરવાના છે.
પણ તમે કોઇ એક ને માત્ર ગુણવાથી તે મળશે નહી--
અહિ એવી કોઇ સંખ્યા નથી કે જેને ૩ વડે ગુણવાથી ૨ મળે.
અથવા અહિ નથી, ઓછામાં ઓછી એક, પૂર્ણાંક સંખ્યા નથી કે જેને ૩ વડે ગુણવાથી ૨ (બે) મળે.
અને ત્યાં એવી કોઇ સંખ્યા નથી કે જેને ૨ વડે ગુણવાથી આપણને ૩ મળે
તેથી આપણે તે બંન્ને ને ગુણવા પડશે જેથી તે સરખા થાય .
તે આપણે જે ઇચ્છીએ છીએ તે બને છે,
જેને આપણે સામાન્ય છેદ કહે છે,
તે બે અને ત્રણ નો નાના માં નાનો સામાન્ય અવયવી છે.
સારૂ બે અને ત્રણ નો લ.સા.અ. શું છે ?
સારૂ જે નાની સંખ્યા છે તે આ ૨ અને ૩ નો નાનામાં નાનો સામાન્ય અવયવી છે.
સારૂ બે અને ત્રણ નો નાના માં નાનો અવયવી છ(૬) છે .
તેથી ચાલો આ બંન્ને અપૂર્ણાંકો ને કોઇક સંખ્યા ના છેદ માં ૬ (છ) લઇએ.
તેથી ૧/૨ બરાબર ૬ (છ) ના અંશમાં કેટલા લેવાય
તમે સમક્ક્ષ અપૂર્ણાંકોના પ્રકરણ પરથી આ જાણો જ છો .
સારૂ મેં પિઝા ના છ ટુકડામાંથી અડધા ટુકડા ખાઇ લીધા છે, મેં ત્રણ ટુકડા ખાઇ લીધા હશે, ખરૂને ?
જેનો કંઇક અર્થ નિકળે છે.
એક એટલે ૨ નો અડધો છે. , ત્રણ એ ૬ નો અડધો ભાગ છે.
આજ પ્રમાણે , જો હું પિઝા ના ૬ ટુકડામાંથી ૧/૩(એક તૃતિયાંશ ) ભાગ ના પિઝા ખાઇ લઉ તો.
તે ૨ ના છેદ માં ૬ એમ કહેવા બરાબર છે.
તો ૧/૨ વત્તા ૧/૩ એ ૩/૬ વત્તા ૨/૬ બરાબર થાય .
નોંધ રાખો મં કોઇ ગાંડપણ કર્યું નથી.
મેં તે કર્યું કે મેં તે બંન્ને અપૂર્ણાંકો ને જુદા-જુદા છેદ થી લખ્યા
મેં જરૂરીયત મુજબ પાઇ ના ટુકડા લીધા .
જો તે બધીજ રીતે મદદગાર હશે તો
હવે આપણે આ સમયબિંદુ એ છીએ કે હવે પછી આ દાખલો ખૂબ સરળ હશે.
આપણે માત્ર અંશનો સરવાળો કર્યો છે, ૩+૨ = ૫ થાય
અને આપણે છેદ તેજ રાખ્યો છે જે પ્રશ્ન માં હતો .
૩/૬ વત્તા ૨/૬ બરાબર ૫/૬ થાય .
અને આજપ્રમાણે આપણે બાદબાકે પણ કરી શક્યા .
૧/૨ - ૧/૩ , સારૂ જે ૩/૬ - ૨/૬ બરાબર જ થાય
સારૂ જેના બરાબર ૧/૬ થાય.
ચાલો થોડા વધારે દાખલાઓ ગણીએ અને આશા રાખું છું કે તમે તેમ કરવાનું ચાલું કરી દીધું હશે
અને હંમેશા યાદ રાખો કે આ રજુઆત વિડિયો તમે ફરીથી જોઇ શકો છો.
અથવા તમે તેને ઉભી રાખી ને તમારી જાતે દાખલા ઓ ગણો
કારણ કે હુ વિચારું કે કોઇક વખત હું ઝડપી બોલું છું
મને કર્વ દડો ફેંકવા દો.
૧/૧૦ - ૧ બરાબર શું થાય ?
સારૂ , એક એ કોઇ અપૂર્ણાંક જેવો લાગતો નથી
પણ તમે તેને અપૂર્ણાંક પણ લખી શકો છો.
સારૂ જે ૧/૧૦ કહેવા બરાબર જ છે.
આપણે ૧ ને કેવી રીતે લખીએ તો તેના છેદ માં ૧૦ હોય ?
ખરૂને
તે ૧૦/૧૦ બરાબર થાય , ખરૂને ?
૧૦/૧૦ બરાબર ૧ થાય
તેથી ૧/૧૦ - ૧૦/૧૦ એ ૧ ઓછા ૧૦ --
યાદ રાખો , આપણે માત્ર અંશની બાદબાકી કરીએ છીએ ,
અને આપણે તેનો છેદ ૧૦ રાખીએ છીએ , અને તે -૯/૧૦ બરાબર થાય.
૧/૧૦-૧ બરાબર -૯/૧૦ થાય
ચાલો આપણે બીજો એક દાખલો ગણીએ. ચાલો આપણે એક વધારે દાખલો ગણીએ
હું વિચારૂ છું કે આ બધુ તે છે જેના માટે સમય છે.
ચાલો આપણે (-૧/૯ - ૧/૪ ) દાખલો લઇએ .
સારૂ ૯ અને ૪ નો લ.સા.અ. ૩૬ છે.
તેથી તેના બરાબર ૩૬ છે.
તેથી -૧/૯ બરાબર શું જ્યાં આપણે છેદ ને ૯ માંથી ૩૬ માં ફેરવ્યા.
સારૂ , આપણે ૬ ને ૪ વડે ગુણીને ૩૬ મેળવ્યા.
આપણે અંશ ને પણ ચાર વડે ગુણવા પડે છે.
આપણી પાસે -૧ છે , તેથી તે -૪ થશે .
પછી -૧ /૩૬
સારૂ ચાર માંથી ૩૬ મેળવવા માટે આપણે આ અપૂર્ણાંકને ૯ વડે ગુણીશું
અથાવા આપણ્રે છેદ ને ૯ વડે ગુણવા પડશે.
તેથી તમારે અંશ ને પણ ૯ વડે ગુણવા પડશે.
૧ ગુણ્યા ૯ બરાબર ૯ જ થાય
તેથી -૪ - ૯/૩૬ છે
જેના બરાબર -૧૩ / ૩૬ થાય
હું વિચારૂ કે આ બધા માટે મારી પાસે અત્યારે સમય છે.
અને સંભવિત રીતે થોડા વધારે મોદ્યુલ્સ ઉમેરીશ .
પણ હું વિચારૂ છું કે અત્યારે તમે સરવાળા બાદબાકી કરવાનું શીખી ગયા હશો.
મઝામાં રહો.