1 00:00:01,610 --> 00:00:05,362 Καλώς ήρθατε στην παρουσίαση για την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων. 2 00:00:05,362 --> 00:00:08,225 Ας ξεκινήσουμε! 3 00:00:08,225 --> 00:00:12,110 Ας ξεκινήσουμε με κάτι που ελπίζω να μη σας μπερδέψει πολύ. 4 00:00:12,110 --> 00:00:15,120 Αυτή πρέπει λογικά να είναι μια σχετικά εύκολη ερώτηση. 5 00:00:15,130 --> 00:00:23,940 Ας πούμε ότι σας ρωτώ πόσο κάνει 1/4 + 1/4. 6 00:00:23,940 --> 00:00:25,260 Για να δούμε τι σημαίνει αυτό. 7 00:00:25,260 --> 00:00:32,358 Ας πούμε ότι είχα μια πίτα και αυτή διαιρούταν σε τέσσερα κομμάτια. 8 00:00:32,358 --> 00:00:35,170 Είναι λοιπόν σαν να λέμε ότι αυτό εδώ είναι το πρώτο ένα τέταρτο... 9 00:00:35,170 --> 00:00:37,710 ας το κάνω με διαφορετικό χρώμα... 10 00:00:37,720 --> 00:00:39,128 Αυτό εδώ ένα τέταρτο... 11 00:00:39,128 --> 00:00:42,652 ας πούμε ότι είναι το 1/4 της πίτας, σωστά; 12 00:00:42,652 --> 00:00:45,560 Και θέλουμε να το προσθέσουμε σε άλλο ένα τέταρτο της πίτας. 13 00:00:45,570 --> 00:00:51,600 Ας το κάνουμε αυτό -- ας αλλάξω χρώμα--ροζ. 14 00:00:51,600 --> 00:00:57,060 Αυτό το ένα τέταρτο, αυτό το ροζ ένα τέταρτο, είναι το ένα τέταρτο της πίτας. 15 00:00:57,070 --> 00:01:00,270 Αν λοιπόν έτρωγα και τα δύο αυτά τα ένα-τέταρτα... 16 00:01:00,301 --> 00:01:03,307 ή αν έτρωγα ένα τέταρτο και μετά έτρωγα κι άλλο ένα τέταρτο... 17 00:01:03,323 --> 00:01:04,560 πόσο θα είχα φάει; 18 00:01:04,560 --> 00:01:06,922 Θα μπορούσατε απλώς να κοιτάξετε την εικόνα... 19 00:01:06,937 --> 00:01:10,249 έχω φάει δύο από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας. 20 00:01:10,249 --> 00:01:15,218 Έτσι, αν φάω ένα τέταρτο μιας πίτας... 21 00:01:15,218 --> 00:01:17,140 και στη συνέχεια φάω άλλο ένα τέταρτο της πίτας, 22 00:01:17,140 --> 00:01:21,643 θα έχω φάει δύο τέταρτα της πίτας. 23 00:01:21,658 --> 00:01:23,699 Και ξέρουμε από το μάθημα για τα ισοδύναμα κλάσματα... 24 00:01:23,699 --> 00:01:27,470 ότι αυτό είναι το ίδιο με το να είχα φάει τη μισή πίτα... 25 00:01:27,480 --> 00:01:28,320 κι αυτό βγάζει νόημα. 26 00:01:28,320 --> 00:01:32,140 Εάν φάω δύο από τα τέσσερα κομμάτια μιας πίτας, τότε θα έχω φάει τη μισή πίτα. 27 00:01:32,150 --> 00:01:34,952 Και αν το δούμε μαθηματικά, τι συνέβη εδώ; 28 00:01:34,952 --> 00:01:38,282 Οι παρονομαστές ή οι κάτω αριθμοί... 29 00:01:38,297 --> 00:01:41,270 οι κάτω αριθμοί στο κλάσμα έμειναν οι ίδιοι. 30 00:01:41,285 --> 00:01:44,335 Κι αυτό γιατί μας λένε το συνολικό αριθμό των κομματιών που έχω σε αυτό το παράδειγμα. 31 00:01:44,350 --> 00:01:47,428 Προσέθεσα τους αριθμητές, κι αυτό βγάζει νόημα. 32 00:01:47,428 --> 00:01:52,634 Έφαγα ένα από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας και μετά έφαγα κι άλλο ένα από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας... 33 00:01:52,634 --> 00:01:56,202 άρα έφαγα δύο από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας, δηλαδή τη μισή πίτα. 34 00:01:56,202 --> 00:02:01,845 Ας κάνουμε ένα-δυο ακόμα παραδείγματα. 35 00:02:01,845 --> 00:02:09,256 Πόσο μας κάνει 2/5 + 1/5; 36 00:02:09,256 --> 00:02:11,750 Θα κάνουμε κι εδώ το ίδιο πράγμα. 37 00:02:11,750 --> 00:02:14,210 Θα ελέγξουμε πρώτα για να βεβαιωθείτε ότι το παρονομαστές είναι οι ίδιοι. 38 00:02:14,220 --> 00:02:16,935 Θα μάθουμε σε λίγο τι να κάνουμε αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί. 39 00:02:16,935 --> 00:02:21,053 Αν οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι, ο παρονομαστής στην απάντηση θα είναι ο ίδιος μ' αυτούς. 40 00:02:21,053 --> 00:02:22,470 Και εμείς απλώς προσθέτουμε τους αριθμητές. 41 00:02:22,470 --> 00:02:31,078 2/5 + 1/5 ισούται με 2 + 5 και όλο αυτό προς 5, δηλαδή 3/5. 42 00:02:31,090 --> 00:02:33,370 Και αυτό ισχύει με τον ίδιο τρόπο στην αφαίρεση. 43 00:02:33,380 --> 00:02:42,420 Αν είχα να βρω πόσο κάνει το 3/7 - 2/7, η απάντηση θα ήταν 1/7. 44 00:02:42,430 --> 00:02:46,351 Απλώς αφαίρεσα 2 από το 3 και βρήκα το 1 45 00:02:46,367 --> 00:02:48,082 και κράτησα τον ίδιο παρονομαστή. 46 00:02:48,082 --> 00:02:48,920 Που βγάζει νόημα. 47 00:02:48,920 --> 00:02:52,476 Εάν φάω τρία από τα επτά κομμάτια μιας πίτας... 48 00:02:52,476 --> 00:02:55,595 και αν έδινα σε κάποιον 2 από τα 7 κομμάτια μιας πίτας... 49 00:02:55,595 --> 00:03:00,175 Θα μου έμενε 1 από τα 7 κομμάτια της πίτας. 50 00:03:00,180 --> 00:03:02,745 Πιστεύω όλα αυτά ήταν αρκετά ξεκάθαρα... 51 00:03:02,745 --> 00:03:04,564 τι κάνουμε δηλαδή όταν θα έχουμε το ίδιο παρονομαστή... 52 00:03:04,564 --> 00:03:06,860 Θυμηθείτε, ο παρονομαστής είναι απλώς ο κάτω αριθμός σε ένα κλάσμα. 53 00:03:06,870 --> 00:03:08,400 Ο αριθμητής είναι ο πάνω αριθμός. 54 00:03:08,400 --> 00:03:11,420 Τι συμβαίνει λοιπόν όταν έχουμε διαφορετικούς παρονομαστές; 55 00:03:11,430 --> 00:03:15,090 Λοιπόν, ας ελπίσουμε ότι αυτό δεν θα είναι πολύ δύσκολο. 56 00:03:15,090 --> 00:03:24,320 Ας υποθέσουμε ότι έχω 1/4 + 1/2. 57 00:03:24,330 --> 00:03:27,180 Ας πάμε πίσω στο αρχικό παράδειγμα με την πίτα. 58 00:03:27,180 --> 00:03:33,732 Ας σχεδιάσω την πίτα. 59 00:03:33,732 --> 00:03:37,244 Έτσι αυτό το πρώτο ένα-τέταρτο εδώ δεξιά , ας το χρωματίσω... 60 00:03:37,250 --> 00:03:40,460 αυτό είναι το ένα τέταρτο της πίτας. 61 00:03:40,460 --> 00:03:44,540 Και τώρα θα φάω άλλο ένα 1/2 της πίτας. 62 00:03:44,550 --> 00:03:46,450 Έτσι θα φάω ένα μισό της πίτας. 63 00:03:46,460 --> 00:03:49,090 Αυτό εδώ το μισό. 64 00:03:49,090 --> 00:03:54,590 Θα φάω όλο αυτό το μισό της πίτας. 65 00:03:54,605 --> 00:03:55,280 Με τι λοιπόν ισούται αυτό; 66 00:03:55,280 --> 00:03:57,180 Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να το σκεφτούμε αυτό. 67 00:03:57,180 --> 00:03:59,200 Ο πρώτος είναι απλώς να ξαναγράψουμε το 1/2. 68 00:03:59,210 --> 00:04:07,115 Το 1/2 της πίτας στην πραγματικότητα είναι το ίδιο πράγμα με τα 2/4, σωστά; 69 00:04:07,115 --> 00:04:12,126 Υπάρχει 1/4 εδώ και στη συνέχεια άλλο 1/4 εδώ. 70 00:04:12,126 --> 00:04:14,802 Έτσι, το μισό είναι το ίδιο πράγμα με το 2 προς 4, 71 00:04:14,802 --> 00:04:17,667 και το γνωρίζουμε αυτό από το μάθημα των ισοδύναμων κλασμάτων. 72 00:04:17,667 --> 00:04:20,317 Έτσι γνωρίζουμε ότι 1/4 + 1/2... 73 00:04:20,317 --> 00:04:27,168 είναι το ίδιο πράγμα με το να πούμε 1/4 + 2/4, σωστά; 74 00:04:27,183 --> 00:04:35,591 Και το μόνο που έκανα εδώ, ήταν να αλλάξω το 1/2 σε 2/4... 75 00:04:35,591 --> 00:04:40,199 πολλαπλασιάζοντας ουσιαστικά τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το 2. 76 00:04:40,199 --> 00:04:41,730 Και μπορείτε να το κάνετε αυτό σε κάθε κλάσμα. 77 00:04:41,740 --> 00:04:45,620 Εφόσον πολλαπλασιάζετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό... 78 00:04:45,620 --> 00:04:47,860 Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε με οτιδήποτε. 79 00:04:47,860 --> 00:04:53,553 Αυτό βγάζει νόημα, καθώς 1/2 x 1 ισούται με 1/2. 80 00:04:53,553 --> 00:04:54,722 Το ξέρετε αυτό. 81 00:04:54,722 --> 00:05:00,060 Ένας άλλος τρόπος λοιπόν να το γράψουμε είναι 1/2 x 2/2... 82 00:05:00,070 --> 00:05:04,480 2/2 είναι το ίδιο με το 1... αυτό λοιπόν ισούται με 2/4. 83 00:05:04,490 --> 00:05:11,478 Ο λόγος που διάλεξα το 2 είναι γιατί θέλω να έχω τον ίδιο παρονομαστή εδώ. 84 00:05:11,478 --> 00:05:13,497 Ελπίζω να μην σας μπερδεύω τελείως. 85 00:05:13,520 --> 00:05:15,210 Λοιπόν, ας τελειώσουμε με αυτό το πρόβλημα. 86 00:05:15,220 --> 00:05:18,189 Έτσι, έχουμε 1/4 + 2/4... 87 00:05:18,205 --> 00:05:21,160 ξέρουμε λοιπόν ότι απλά προσθέτουμε τους αριθμητές...βρίσκουμε 3... 88 00:05:21,160 --> 00:05:22,747 και οι παρονομαστές μένουν οι ίδιοι... άρα έχουμε 3/4. 89 00:05:22,762 --> 00:05:25,180 Και αν κοιτάξουμε την εικόνα, θα δούμε ότι όντως 90 00:05:25,180 --> 00:05:29,360 έχουμε φάει τα 3/4 αυτής της πίτας. 91 00:05:29,370 --> 00:05:34,131 Ας κάνουμε ακόμα ένα. 92 00:05:34,172 --> 00:05:44,884 Ας κάνουμε το 1/2 + 1/3. 93 00:05:44,884 --> 00:05:48,160 Κι εδώ λοιπόν θέλουμε να κάνουμε τους παρονομαστές να είναι οι ίδιοι... 94 00:05:48,191 --> 00:05:51,360 αλλά δεν μπορούμε απλώς να πολλαπλασιάσουμε έναν από αυτούς... 95 00:05:51,370 --> 00:05:53,850 δεν υπάρχει κάτι με το οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 3 για να πάρω 2... 96 00:05:53,850 --> 00:05:56,500 δεν υπάρχει δηλαδή κάποιος αριθμός, που να είναι ακέραιος, με τον οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 3 για να πάρω 2. 97 00:05:56,500 --> 00:05:58,880 Και δεν υπάρχει τίποτα με το οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 2 για να πάρω 3. 98 00:05:58,890 --> 00:06:01,860 Άρα πρέπει να τα πολλαπλασιάσω και τα δύο για να εξισωθούν. 99 00:06:01,870 --> 00:06:04,815 Αποδεικνύεται ότι αυτό που θέλουμε... 100 00:06:04,815 --> 00:06:07,065 Αυτό που θα ονομάσουμε "κοινό παρονομαστή", 101 00:06:07,065 --> 00:06:11,120 αποδεικνύεται ότι είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 2 και του 3. 102 00:06:11,120 --> 00:06:13,380 Ποιο είναι λοιπόν το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 2 και του 3; 103 00:06:13,390 --> 00:06:17,863 Είναι ο μικρότερος αριθμός που είναι πολλαπλάσιο τόσο του 2, όσο και του 3. 104 00:06:17,863 --> 00:06:23,488 Ο μικρότερος λοιπόν αριθμός που είναι πολλαπλάσιο τόσο του 2, όσο και του 3, είναι το 6. 105 00:06:23,488 --> 00:06:27,880 Ας μετατρέψουμε λοιπόν και τα δύο αυτά κλάσματα ώστε να έχουν παρονομαστή το 6. 106 00:06:27,880 --> 00:06:30,320 Με "πόσα έκτα" ισούται λοιπόν το 1/2; 107 00:06:30,330 --> 00:06:33,310 Πρέπει να το ξέρετε αυτό από το μάθημα των ισοδύναμων κλασμάτων. 108 00:06:33,310 --> 00:06:40,259 Αν φάω το μισό μιας πίτσας με 6 κομμάτια, θα έχω φάει 3 κομμάτια, σωστά; 109 00:06:40,260 --> 00:06:40,810 Βγάζει νόημα. 110 00:06:40,810 --> 00:06:43,930 Το 1 είναι το μισό του 2... το 3 είναι το μισό του 6. 111 00:06:43,940 --> 00:06:47,630 Ομοίως, αν φάω το 1/3 μιας πίτσας με 6 κομμάτια... 112 00:06:47,640 --> 00:06:50,720 είναι το ίδιο πράγμα με τα 2/6. 113 00:06:50,730 --> 00:06:57,690 Έτσι το 1/2 + 1/3 είναι το ίδιο με το 3/6 + 2/6. 114 00:06:57,690 --> 00:06:58,970 Είδατε ότι δεν έκανα τίποτε τρελό! 115 00:06:58,980 --> 00:07:03,205 Το μόνο που έκανα ήταν να ξαναγράψω και τα δύο αυτά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. 116 00:07:03,220 --> 00:07:06,040 Ουσιαστικά άλλαξα τον αριθμό των κομματιών της πίτας... 117 00:07:06,050 --> 00:07:08,820 αν αυτό σας βοηθά. 118 00:07:08,820 --> 00:07:11,215 Τώρα λοιπόν που φτάσαμε σ' αυτό το σημείο, το πρόβλημα γίνεται πολύ εύκολο. 119 00:07:11,215 --> 00:07:14,245 Απλώς προσθέτουμε τους αριθμητές... 3 + 2 = 5... 120 00:07:14,261 --> 00:07:16,800 και κρατάμε τους ίδιους παρονομαστές. 121 00:07:16,815 --> 00:07:22,647 3/6 + 2/6 = 5/6 122 00:07:22,647 --> 00:07:24,768 Και η αφαίρεση είναι το ίδιο πράγμα. 123 00:07:24,768 --> 00:07:35,142 1/2 - 1/3 είναι το ίδιο με το 3/6 - 2/6... 124 00:07:35,142 --> 00:07:39,520 Κι αυτό ισούται με 1/6. 125 00:07:39,520 --> 00:07:43,988 Ας κάνουμε κι άλλα προβλήματα και ελπίζω ότι θα αρχίσετε να το μαθαίνετε καλά. 126 00:07:43,990 --> 00:07:47,202 Και να θυμάστε πάντα ότι μπορείτε να ξαναδείτε την παρουσίαση... 127 00:07:47,202 --> 00:07:49,198 ή μπορείτε να τη διακόψετε, να πατήσετε την παύση, και να προσπαθήσετε να κάνετε τα προβλήματα από μόνοι σας... 128 00:07:49,198 --> 00:07:52,465 γιατί νομίζω ότι ορισμένες φορές μιλάω γρήγορα. 129 00:07:52,465 --> 00:07:55,100 Ας σας ρίξω μια δύσκολη μπαλιά. 130 00:07:55,100 --> 00:07:59,320 Πόσο μας κάνει 1/10 - 1;; 131 00:07:59,320 --> 00:08:01,620 Αυτό λοιπόν δεν μοιάζει καν με κλάσμα. 132 00:08:01,620 --> 00:08:04,130 Αλλά μπορείτε να το γράψετε ως κλάσμα. 133 00:08:04,140 --> 00:08:07,734 Είναι λοιπόν το ίδιο με το 1/10 μείον... 134 00:08:07,734 --> 00:08:11,296 πώς θα μπορούσαμε να γράψουμε το 1 ώστε να έχει παρονομαστή το 10; 135 00:08:11,296 --> 00:08:11,796 Σωστά. 136 00:08:11,796 --> 00:08:14,820 Είναι το ίδιο πράγμα με το 10/10, σωστά; 137 00:08:14,820 --> 00:08:16,320 10/10 ίσον 1. 138 00:08:16,320 --> 00:08:20,880 Άρα το 1/10 - 1 είναι το ίδιο με το (1-10) / 10. 139 00:08:20,890 --> 00:08:24,494 Θυμηθείτε, αφαιρούμε μόνο τους αριθμητές... 140 00:08:24,494 --> 00:08:31,160 και κρατάμε τον παρονομαστή 10... άρα αυτό ισούται με -9/10. 141 00:08:31,170 --> 00:08:34,370 1/10 - 1 = -9/10. 142 00:08:34,370 --> 00:08:36,546 Ας κάνουμε ακόμα άλλο. Ας κάνουμε ένα ακόμη. 143 00:08:36,546 --> 00:08:38,670 Έχουμε χρόνο για άλλο ένα. 144 00:08:38,670 --> 00:08:47,310 Ας κάνουμε το -1/9 - 1/4. 145 00:08:47,320 --> 00:08:53,760 Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο λοιπόν του 9 και του 4 είναι το 36. 146 00:08:53,760 --> 00:08:55,580 Άρα αυτό ισούται με 36. 147 00:08:55,590 --> 00:09:01,978 Πώς θα γράψουμε λοιπόν το -1/9 για να αλλάξουμε τον παρονομαστή από 9 σε 36; 148 00:09:02,000 --> 00:09:05,010 Θα πολλαπλασιάσουμε το 9 με το 4 για να πάρουμε το 36. 149 00:09:05,020 --> 00:09:07,220 Άρα θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και τον αριθμητή με το 4. 150 00:09:07,230 --> 00:09:11,850 Έχουμε λοιπόν -1, άρα αυτό θα γίνει -4. 151 00:09:11,860 --> 00:09:16,860 άρα έχουμε αυτό, μείον... 152 00:09:16,860 --> 00:09:20,110 για να πάμε λοιπόν από το 4 στο 36, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε αυτό το κλάσμα με το 9... 153 00:09:20,110 --> 00:09:23,070 θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον παρονομαστή με το 9... 154 00:09:23,070 --> 00:09:25,190 άρα θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και τον αριθμητή με το 9. 155 00:09:25,190 --> 00:09:28,360 1 x 9 = 9. 156 00:09:28,370 --> 00:09:35,195 Άρα αυτό ισούται με (-4 - 9) / 36... 157 00:09:35,195 --> 00:09:39,898 που ισούται με -13/36. 158 00:09:39,898 --> 00:09:41,631 Νομίζω ότι εξαντλήσαμε το χρόνο μας. 159 00:09:41,631 --> 00:09:43,731 Και μάλλον θα φτιάξω κι άλλα τέτοια μαθήματα. 160 00:09:43,731 --> 00:09:47,400 Αλλά νομίζω ότι τώρα πια μπορείτε να κάνετε τις ασκήσεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. 161 00:09:47,400 --> 00:09:48,162 Καλή διασκέδαση.