Video trước nói về chuỗi Maclaurin
của cosin x
Mình ước lượng nó bằng cách dùng đa thức
và thấy điều thú vị là dạng của nó
xem mình có thể tìm được dạng tương tự không
nếu mình ước lượng sinx bằng một chuỗi Maclaurin
Một lần nữa chuỗi Maclaurin
cũng tương tự như chuỗi Taylor
khi ước lượng phải lân cận
với x bằng 0.
Đây là trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor
Ví dụ, f(x) trong trường hợp này
bằng sin x
và hãy cùng làm giống với những gì đã làm với cos x
lấy các đạo hàm khác nhau
của sinx
đạo hàm bậc 1 của sin x
là cos x
đạo hàm bậc 2 của sinx
là đạo hàm của cos x, bằng trừ sin x
đạo hàm bậc 3 là bằng đạo hàm của biểu thức này
viết 3 trong ngoặc đơn
đó, thay vì phẩy phẩy phẩy
đạo hàm bậc 3 là đạo hàm của
cái này, bằng trừ cos x
đạo hàm bậc 4
là đạo hàm của cái này lại là dương sinx
bận thấy đó, giống cosx, thì ở đây cũng là sự tuần hoàn
nếu lấy đạo hàm đủ số lần
để làm được chuỗi Maclaurin,
mình cần ước lượng giá trị của hàm số
và mỗi đạo hàm tại x bằng 0
hãy làm thôi
với điều này thì để mình viết màu khác
khác màu xanh biển
viết màu tím nha
cũng hơi khó nhìn
đổi màu xanh khác
f(0), trong trường hợp này là 0
và f, có đạo hàm bậc 1 tại 0 là 1
cos 0 = 1
- sin 0 = 0
f'', đạo hàm bậc 2, tại 0 bằng 0
đạo hàm bậc 3, tại 0 bằng 1
cos 0 = 1
có dấu âm ở ngoài
nên kết quả là -1
và đạo hàm bậc 4 tại 0
lại bằng 0
mình tiếp tục làm
và thấy được dạng
0,1,0, -1,0 rồi
lại quay lại dương 1
và cứ như thế
vậy hãy tìm dại diện của đa thức
bằng chuỗi Maclaurin
Lưu ý nhỏ là, với cái này ở đây,
là ước lượng của cos x
và bạn sẽ tiến gần đến với cos x
mình không chắc chắc cho bạn thấy
là gần như thế nào, nhưng đó chính là cosx
và bạn sẽ càng đến gần
gần với cos x khi thêm nhiều số hạng vào đây
và khi đến với vô hạn, thì bạn
đã đến rất sát với cos x
hãy làm điều tương tự với sin x
Chọn một màu bút khác
xanh lá khá đẹp
đây là P(x)
và ước lượng này thì sẽ trở thành
sin x, khi mình thêm nhiều số hạng hơn nữa
và số hạng đầu tiên, f(0) cũng sẽ bằng 0.
và mình cũng sẽ không cần phải thêm điều đó vào
số hạng tiếp theo sẽ là f'(0)
sẽ là bằng 1, nhân x
vậy mình có x
và tiếp theo là f'', đạo hàm bậc 2
tại 0, ở đây mình thấy 0
và để mình kéo xuống dưới
Nó là 0
Vậy là mình sẽ không có số hạng thứ 2
số hạng thứ 3 là, đạo hàm bậc 3
của sinx tại 0 bằng -1
và bây giờ thì mình có -1
để mình kéo xuống cho bạn nhìn thấy
trừ 1, trong trường hợp này
nhân x^3 chia 3!
số hạng tiếp theo bằng 0
vì đó là đạo hàm lần 4.
đạo hàm bậc 4 tại 0 là hệ số tiếp theo
mình cũng thấy nó sẽ bằng 0, sẽ được rút gọn
những gì bạn thấy ở đây,
và có lẽ là mình đã chưa tìm đủ số số hạng
để bạn cảm thấy tốt về cách làm
để mình tìm thêm một số hạng nữa, ở đây
cho rõ hơn.
f của đạo hàm bậc 5 của x là
sẽ là cosin của x
với đạo hàm bậc 5, mình sẽ viết bằng màu khác
đạo hàm bậc 5 tại 0
sẽ bằng 1
đạo hàm bậc 4 tại 0 bằng 0
và sau đó là đạo hàm bậc 5 tại 0
nếu tiếp tục làm thì sẽ có 1
tiếp tục làm thì sẽ là dương
1, mình phải viết 1 là hệ số nhân x
chia 5!
có điều thú vị xảy ra ở đây
với cosin x mình có 1, vì x^0= 1
nên là mình không có x^1
mình không có x mũ lẻ, thì đúng hơn
và mình chỉ có x mũ chẵn thôi
dù số mũ bằng bao nhiêu, thì mình cũng chia nó cho số giai thừa như thế
và các giá trị sin sẽ thay đổi
mình không nên nói đây toàn là sỗ mũ chẵn, vì 0 không phải
nhưng mà bạn có thể cứ xem như nó là số mũ chẵn
mình không đi quá sâu vào lý do tại sao
nhưng nó sẽ gồm 0,2,4,6, vân vân
nên là nó rất thú vị,
khi bạn so sánh nó với điều này
đây toàn là mũ lẻ
x^1 chia 1!
và mình đã không viết nó ở đây
x^3 chia 3!
cộng x^5 chia 5!
0 là một số chẵn
dù sao thì tâm trí mình cũng đang ở chỗ khác rồi
bạn hãy cứ làm tiếp tục làm
nếu bạn làm tương tự như vậy thì
sẽ thay đổi các giá trị sin
x^7 chia 7!, cộng
x^9 chia 9!
vậy đây là một vài điều hay ho
một lần nữa, bạn thấy được bản chất hỗ trợ
của sin và cos
và chúng gần như
là đã lấp vào khoảng trống của nhau ở đây
cos x của tất cả những số mũ chẵn
của x chia chính giai thừa của số mũ đó
sinx, khi bạn lấy đại diện đa thức của nó
sẽ là tất cả những số mũ lẻ của x chia giai thừa số mũ
và thay đổi các giá trị sin
video tới, mình sẽ học về e^x
và điều thú vị là e
mũ x sẽ trông giống như tổ hợp của
điều này, không hoàn toàn giống
và bạn sẽ có được tổ hợp của chúng
khi cho các số áo vào
sẽ vô cùng ngạc nhiên đấy