RKA22JL - Olá, tudo bem? Você vai assistir agora
a mais uma aula de matemática
e, nesta aula, vamos resolver um exemplo
sobre série geométrica.
Esse exemplo diz o seguinte: “Sara realizou
uma caminhada de 4 dias.
A cada dia, ela caminhava 20% a mais do que a distância
que ela caminhou no dia anterior.
Ela caminhou
27 quilômetros no total (27 km).
Qual é a distância que Sara
andou no primeiro dia da viagem?
Arredonde a resposta final
para o quilômetro mais próximo.
Como sempre, pause o vídeo
e tente encontrar a resposta.
Ok. Tentou?
Vamos fazer juntos agora?
Inicialmente, vamos chamar o valor
que ela caminhou no primeiro dia de "a" ,
e, com isso, vamos montar uma expressão
para determinar o quanto ela caminhou no total.
Lembrando que, no total,
ela caminhou 27 quilômetros.
Com essa expressão,
vamos ver se conseguimos resolver.
Então, no primeiro dia,
ela andou “a” quilômetros.
E no segundo dia? Foi dito que, a cada dia, ela caminhou
20% a mais do que ela caminhou no dia anterior,
então, no dia seguinte, ela vai andar 20% a mais
do que ela caminhou no dia anterior, que foi “a” quilômetros.
Então, teremos aqui 1,2 vezes "a" . E quanto ao
dia depois disso? Ou seja, no terceiro dia?
Isso vai ser 1,2 vezes o que
foi caminhado no segundo dia.
Sendo assim, teremos aqui 1,2 vezes 1,2 ou, de forma mais
simples, podemos dizer 1,2 ao quadrado vezes "a".
E quanto no quarto dia? Como vimos, ela realizou
uma caminhada de 4 dias, então esse é o último dia.
Isso vai ser 1,2 vezes o que
foi caminhado no terceiro dia.
Então isso vai ser 1,2 elevado
à terceira potência vezes "a" .
Ótimo. Essa é uma expressão para determinar
o quanto ela caminhou nos quatro dias,
e sabemos que ela caminhou um
total de 27 quilômetros.
Então isso vai ser igual
a 27 quilômetros.
Agora você pode resolver
isso e encontrar o “a” aqui.
Para isso, você pode fatorar o "a", e, com isso,
ter "a" vezes 1, mais 1,2, mais 1,2 ao quadrado,
mais 1,2 à terceira potência,
e tudo isso sendo igual a 27.
Dessa forma, teremos aqui
que a é igual a 27 sobre 1,
mais 1,2, mais 1,2 ao quadrado,
mais 1,2 à terceira potência.
Sem dúvida, precisaríamos de uma
calculadora para fazer o cálculo,
mas fazendo assim chegaríamos
à resposta tranquilamente.
O caso é que eu vou usar aqui uma técnica diferente,
que vai funcionar mesmo quando tivermos 20 termos aqui.
Não seria muito difícil fazer o cálculo dessa forma que fiz
com 20 termos, mas imagine se tivéssemos aqui 200 termos.
Isso ficaria incrivelmente
mais difícil, não é?
Com a outra forma, vai ficar bem mais simples.
Mas que maneira diferente é essa?
Podemos resolver esse problema através da fórmula
de uma série geométrica finita e o que isso faz?
Basicamente, isso realiza a soma dos primeiros n termos,
e, para fazer isso, teremos a seguinte expressão.
"a", que vai ser o primeiro termo, menos “a” vezes
a nossa proporção comum, que chamamos de r,
mas em nosso caso é 1,2, já que cada termo sucessivo
é igual a 1,2 vezes o termo anterior.
Sendo assim, podemos colocar aqui o r
elevado à enésima potência.
Tudo isso sobre 1 menos
a proporção comum, r.
Em outros vídeos,
explicamos de onde vem isso,
mas, aqui, estamos apenas utilizando isso
para resolver um problema de aplicação.
Já sabemos o que é o nosso "a", e usei isso aqui
como a nossa variável.
Nossa proporção comum nessa situação vai ser igual a 1,2
e o nosso n vai ser igual a 4.
Outra forma que eu gosto de pensar sobre isso
é que temos aqui o nosso primeiro termo,
que nós vemos aqui,
e aí isso menos o último termo.
Se tivéssemos um quinto termo aqui, o utilizaríamos.
Tudo isso sobre 1, menos a proporção comum.
Com isso, esse lado esquerdo da nossa equação
pode ser reescrito da seguinte forma:
"a" menos "a" vezes 1,2,
elevado à quarta potência
e tudo isso sobre um menos a nossa proporção comum,
que é 1,2. E isso é igual a 27.
Repare que podemos
simplificar isso aqui um pouco.
Aqui no denominador, teremos -0,2 e, no numerador,
podemos fatorar o "a".
Isso vai ser igual a “a” vezes 1, menos 1,2
elevado à quarta potência.
Podemos multiplicar o numerador
e o denominador por -1.
Eu vou colocar aqui o "a" fora da fração.
Temos aqui o "a" vezes...
Eu vou trocar as posições
para nos livrarmos do negativo.
Então teremos aqui 1,2 elevado à quarta potência
menos 1 sobre 0,2. Tudo isso é igual a 27.
Novamente, tudo que eu fiz aqui foi colocar
o “a” multiplicando a fração.
Então eu multipliquei o
numerador e o denominador por -1.
O numerador multiplicado por -1 faz com que os sinais
desses termos no numerador sejam trocados,
por isso troquei-os de posição,
para ficar melhor.
E, claro, multiplicando o -0,2
por -1, obtemos 0,2 positivo.
Agora, eu posso simplesmente multiplicar
os dois lados da equação pelo inverso disso aqui.
Eu vou fazer aqui. Assim, teremos 0,2 sobre 1,2
elevado à quarta potência menos 1.
E do outro lado, a mesma coisa.
Multiplicamos isso por 0,2 sobre
1,2 à quarta potência menos 1.
Isso aqui cancela com isso,
e isso, cancela com isso.
Foi exatamente por isso
que eu fiz isso aqui.
Ficamos com "a" sendo
igual a 27 vezes 0,2
sobre 1,2 elevado
à quarta potência menos 1.
Essa expressão vai nos fornecer exatamente o mesmo valor
que a expressão que acabamos de ver,
só que, utilizando essa expressão, teremos maior facilidade,
pois poderemos fazer isso com muito mais termos.
Enfim, vou pegar a
calculadora para resolver.
Vou calcular esse
denominador primeiro.
Terei 1,2 elevado à quarta potência,
aí, esse resultado aqui menos 1.
É isso que temos no denominador.
Agora, podemos pegar o inverso disso aqui
e multiplicar por 27.
Ao encontrar esse resultado,
multiplicamos por 0,2.
Pronto, chegamos a
aproximadamente 5,0298.
5,0298 quilômetros.
Porém, a questão está pedindo que a resposta
seja arredondada para o quilômetro mais próximo.
Então isso vai ser aproximadamente
igual a 5 quilômetros.
Essa foi a distância percorrida pela Sara
no primeiro dia de caminhada.
Eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que vimos aqui
e, mais uma vez, eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!