.
I denne videoen skal vi bruke noen av resultatene
fra tidligere videoer til å lage noen andre ting.
Her er en sirkel,
og en likesidet trekant er innskrevet i sirkelen.
Alle trekantens vinkelspisser
befinner seg på selve sirkelperleferien.
La oss prøve å tegne trekanten.
Det blir visst ikke bedre.
Likesidet betyr,
at alle trekantens sider er like lange.
Hvis den her lengden er a,
er de 2 andre sidene også a.
Vi kan si, at sirkelens radius er 2.
Vi velger et tilfeldig tall.
Radius er 2.
Fra sentrum til et hvert punkt på selve sirkelen er det altså 2,
da det er radius.
Til oppgaven skal vi bruke noen av resultatene fra tidligere videoer
og en smule grunnleggende trigonometri.
Hvis trigonometri høres vanskelig ut,
kan det være en god ide
å se de første 2 eler 3 videoene om trigonometri,
så man bedre kan forstå, hva vi gjør i denne videoen.
Vi skal regne ut arealet inne i sirkelen,
men uten for trekanten.
Vi skal altså finne arealet
av de her 3 små områdene til sammen.
Det er ganske enkelt
å regne ut sirkelens areal.
.
Det er lik med pi ganger radius i andre.
I det her tilfellet er det pi ganger 2 i andre, og det er lik 4 pi.
Vi kan nå trekke trekantens areal fra sirkelens areal for å finne arealet av resten.
Nå skal vi finne arealet av trekanten.
Hvordan skal vi finne det?
..
I en annen video så vi på Herons formel.
Den går ut på, at man skal finne arealet av en trekant,
hvis man kjenner sidelengdene.
Vi kjenner ikke sidelengdene enda.
Vi kan kanskje regne ut arealet, når vi kjenner sidelengdene.
La oss prøve med Herons formel, selv om vi ikke kjenner sidelengdene.
Sidelengdene i den likesidede trekanten
er alle lik med a.
Når vi bruker Herons formel,
sier vi, at s er lik med a pluss a pluss a over 2.
Det er det samme som 3a over 2.
Nå skal vi skrive om til arealet i forhold til a.
Arealet er lik med kvadratroten av s,
som er 3a over 2, ganger s minus a.
Det er altså 3a over 2 minus a.
Det er det samme som 2a over 2.
a er det samme som 2a over 2.
Det her går ut med hverandre, og vi får a.
Det skal vi gjøre 3 ganger.
I stedet for å gange det hele ut 3 ganger,
kan vi nøyes med å sette det i tredje,
når vi bruker Herons formel.
Hva er det lik?
Det er lik med kvadratroten av 3a over 2.
I så fall er det her lik med 3a minus 2a,
som er a.
a over 2 i tredje.
Vi skifter
farge.
3a ganger a i tredje. Det er 3a i fjerde.
Det står over 2 og ganges med 2 i tredje.
Det er 2 i fjerde, som er 16.
.
2 ganger 2 i tredje er 2 i fjerde.
Det er 16.
Når vi tar kvadratroten av både teller og nevner,
er det lik med kvadratroten
av a i fjerde, hvilket er a i andre.
a i andre ganger kvadratroten av 3
over kvadratroten av nevneren, som er 4.
Hvis vi kjenner a, kan vi altså ved hjelp av
Herons formel finne arealet av den likesidede trekanten.
Hvordan finner vi a?
Hva vet vi ellers om likesidede trekanter?
Vi vet, at alle de her vinklene er like store.
Ettersom de sammenlagt skal gi 180,
må de være 60 grader hver.
Den her er 60, den her er 60,
og den her er 60.
I den siste videoen
snakket vi om forholdet mellom en
innskreven vinkel og en sentervinkel.
Den her er en innskreven vinkel.
Vinkelspissen er på sirkelen.
Den ligger rett over den her sirkelbuen.
.
Sentervinkelen, som ligger rett over den samme sirkelbuen,
er den her.
.
Det er
den er sentervinkelen.
Vi vet fra de andre videoen,
at sentervinkelen, som ligger rett over den samme sirkelbuen
er dobbelt så stor som den innskrevne vinkelen.
Den her vinkelen er altså 120 grader.
Vi tegner en liten pil her.
120 grader.
Den er dobbelt så stor som den her.
La oss halvere den her vinkelen.
Vi går halvveis gjennom vinkelen og så rett ned.
Sånn.
Hvor store er de her 2 vinklene?
De er 60 grader hver.
VI halverer jo vinkelen.
De er begge 60 grader.
Vi deler den her siden i 2.
Det her er en likebeint trekant.
Det her er en radius.
Radius er lik 2.
Det her er en radius. r er lik 2.
Hele den her trekanten er symmetrisk.
Hvis vi går rett ned i midten her,
blir den her lengden lik med den her siden dividert med 2.
Den her siden er lik med den her siden delt i 2.
La oss tegne det her.
Vi kunne ta enhver likebeint trekant,
hvor den her siden er lik med den her siden.
Det her er våre radiusser eller radier i eksempelet.
Den her vinkelen er lik med den her vinkelen.
Hvis vi går rett ned her,
blir den motsatte siden delt i 2.
De her 2 lengdene er like store.
Hvis hele lengden er a,
er hver av de lik med a over 2.
La oss se, om vi kan bruke det her
og en smule trigonometri til å finne forholdet mellom a og r.
Hvis vi kan finne a ved bruk av r,
kan vi innsette a her
og finne trekantens areal.
Deretter kan vi trekke trekantens areal fra sirkelens areal,
og så er vi ferdige.
Så har vi løst oppgaven.
La oss se, om vi kan gjøre det.
Den her vinkelen er 60 grader.
Den er halvdelen av sentervinkelen her.
Hvis den her siden er 60 grader,
er a over 2 motsatt den vinkelen.
Den motsatte siden er lik med a over 2.
Det er også en hypotenus.
.
Det her er en rettvinklet trekant.
Vi går rett ned herfra
og halverer den motstående trekanten.
Det er en rettvinklet trekant.
Vi kan bruke litt trigonometri.
Den motsatte siden er a over 2, og hypotenusen er lik med r.
Det her er hypotenusen i trekanten.
Den er lik med 2.
Hvilket trigonometrisk forhold er
forholdet mellom en vinkels motstående side og hypotenus?
Vi kan bruke noen forkortelser. De er på engelsk.
SOH, CAH og TOA.
SOH betyr, at sinus til en vinkel er lik med den motstående
siden over hypotenusen.
O står for opposite, som betyr motstående.
Det skal man huske, når man bruker forkortelsene.
Sinus av den her vinkelen på 60 grader
er lik med den motstående siden,
som er a over 2, over hypotenusen,
som er vår radius, altså 2.
Det er lik med a over 2 dividert med 2. Det er a over 4.
Hva er sinus av 60 grader?
Hvis sinus virker helt fremmed,
kan man se de første videoene om trigonometri.
De er ikke veldig vanskelige.
Sinus av 60 grader kan vi kanskje
huske fra vår 30-60-90 trekanter.
La oss tegne en sånn her.
Det her er en 30-60-90 trekant.
HVis den her er 60 grader, er den her 30 grader og den her 90.
Den her er 1 lang,
den her er 1/2 lang,
og den her er kvadratroten av 3 over 2 lang.
Sinus av 60 grader er den motstående siden over hypotenusen.
Kvadratroten av 3 over 2 er 1.
Det er sinus av 60 grader.
.
Det blir kvadratroten av 3 over 2.
Det her er lik med kvadratroten av 3 over 2.
Nå kan vi isolere a.
Kvadratroten av 3 over 2 er lik med a over 4.
Vi ganger begge sider med 4.
Det her 4-tallet forsvinner.
Vi ganger med 4 her.
Det her blir 2.
Det her blir 1.
a er nå lik med 2 kvadratroten av 3.
Nå er nesten i mål nå.
Vi har akkurat funnet sidelengdene.
Vi mangler bare å bruke Herons formel
til å finne trekantens areal ut fra sidelengdene.
Nå skal vi innsette a
for å finne trekantens areal.
Trekantens areal er lik med a i andre.
Hva er det?
Det er 2 kvadratroten av 3 i andre
ganger kvadratroten av 3 over 4.
Vi ganger et kvadrat med kvadratroten av 3 over 4.
Det er lik med 4 ganger 3
ganger kvadratet av 3 over 4.
Firetallene går ut.
Arealet av vår trekant er
3 ganger kvadratroten av 3.
Det her området er altså 3 kvadratrøtter av 3.
Det er hele trekantens areal.
La oss gå tilbake til selve oppgaven.
Vi skal finne arealet av det oransje området
innenfor sirkelen og utenfor trekanten.
Arealet av sirklene er 4pi.
Vi skal nå trekke arealet av trekanten fra.
Det var 3 kvadratrøtter av 3.
Nå er vi ferdige.
Det her er svaret på oppgaven.
Det her er lik med arealet av det oransje her.
Forhåpentligvis var det interessant å lære.
.