WEBVTT

00:00:00.960 --> 00:00:02.980
Przedstawię Wam teraz ideę

00:00:02.980 --> 00:00:05.460
transformaty Laplace'a.

00:00:05.460 --> 00:00:09.930
Jest to jedno z najbardziej użytecznych pojęć,

00:00:09.930 --> 00:00:13.840
o których będziecie się uczyć; nie tylko w równaniach różniczkowych,

00:00:13.840 --> 00:00:15.100
ale i w całej matematyce.

00:00:15.100 --> 00:00:18.050
Zwłaszcza jeśli zamierzacie studiować kierunki techniczne,

00:00:18.050 --> 00:00:20.610
zobaczycie, że transformata Laplace'a, oprócz tego, że przydaje się

00:00:20.610 --> 00:00:25.480
w rozwiązywaniu równań różniczkowych, to pozwala też zamieniać

00:00:25.480 --> 00:00:30.210
dziedzinę funkcji i przejść od opisywania kształtu fali zależnością od czasu

00:00:30.210 --> 00:00:33.170
do opisu w terminach częstości. No i pomaga zbadać

00:00:33.170 --> 00:00:34.740
i zrozumieć mnóstwo zjawisk.

00:00:34.740 --> 00:00:36.480
Na razie jednak nie będę w to się wgłębiał.

00:00:36.480 --> 00:00:38.920
Zacznę od pokazania Wam, co to jest.

00:00:38.920 --> 00:00:40.170
Transformata Laplace'a.

00:00:42.960 --> 00:00:45.100
Wpierw pokażę Wam jak to działa, a jak już oswoicie się trochę

00:00:45.100 --> 00:00:48.330
z rachunkami, to po paru następnych filmikach

00:00:48.330 --> 00:00:52.220
dopiero zobaczycie w jaki sposób można jej używać

00:00:52.220 --> 00:00:53.180
do rozwiązywania równań różniczkowych.

00:00:53.180 --> 00:00:55.200
Właściwie to zaczniemy od rozwiązania paru równań, które

00:00:55.200 --> 00:00:56.800
już wcześniej rozwiązaliśmy innymi metodami.

00:00:56.800 --> 00:00:59.470
A potem będziemy przechodzić do coraz to

00:00:59.470 --> 00:01:01.000
trudniejszych zagadnień.

00:01:01.000 --> 00:01:02.890
Więc cóż to jest ta transformata Laplace'a?

00:01:02.890 --> 00:01:08.575
Transformatę Laplace'a oznaczamy literą L, jak

00:01:08.575 --> 00:01:12.056
Laverne z "Laverne&Shirley".

00:01:12.056 --> 00:01:15.040
(Pewnie jesteście za młodzi, by to znać, ale ja na tym

00:01:15.040 --> 00:01:16.860
serialu się wychowałem.

00:01:16.860 --> 00:01:20.690
Właściwie nawet, gdy ja byłem dzieckiem, to już chyba szły powtórki.)

00:01:20.690 --> 00:01:22.770
Transformata Laplace'a jakiejś funkcji f.

00:01:22.770 --> 00:01:25.170
Z reguły mówimy f od t,

00:01:25.170 --> 00:01:26.590
zamiast f od x.

00:01:26.590 --> 00:01:30.120
Bo w wielu rónaniach różniczkowych

00:01:30.120 --> 00:01:32.190
i zastosowaniach, naprawdę zastępuję się

00:01:32.190 --> 00:01:34.360
zależność od czasu.

00:01:34.360 --> 00:01:35.630
zależnością od częstotliwości.

00:01:35.630 --> 00:01:37.300
Nie martwcie się o to na razie.

00:01:37.300 --> 00:01:40.180
Jeśli Was to myli.

00:01:40.180 --> 00:01:43.020
Transformata Laplace'a funkcji od t.

00:01:43.020 --> 00:01:47.820
Ona przekształca tę funkcję w pewną inną funkcję od s.

00:01:47.820 --> 00:01:49.410
i jak to robi?

00:01:49.410 --> 00:01:53.150
Pozwólcie, że użyję matematycznego zapisu,

00:01:53.150 --> 00:01:56.460
które pewnie wiele Wam nie powie.

00:01:56.460 --> 00:01:57.800
Więc co ona przekształca?

00:01:57.800 --> 00:01:59.630
Ja myślę o tym, jako o

00:01:59.630 --> 00:02:00.870
funkcji od funkcji.

00:02:00.870 --> 00:02:05.220
Funkcja przekształca jeden zbiór (w każdym razie,

00:02:05.220 --> 00:02:08.009
w tym, czym się zajmujemy) jeden zbiór liczb

00:02:08.009 --> 00:02:09.060
w inny.

00:02:09.060 --> 00:02:11.990
Transformata przekształca jeden zbiór funkcji

00:02:11.990 --> 00:02:13.100
w inny zbiór funkcji.

00:02:13.100 --> 00:02:14.140
Zdefiniuję to.

00:02:14.140 --> 00:02:23.310
Transformata Laplace'a, dla naszych celów, jest zdefiniowana jako

00:02:23.310 --> 00:02:24.510
całka niewłaściwa.

00:02:24.510 --> 00:02:27.790
Wiem, że właściwie nie robiłem jeszcze całek niewłaściwych,

00:02:27.790 --> 00:02:29.890
ale wyjaśnię je za chwilę.

00:02:29.890 --> 00:02:36.430
Całka niewłaściwa od 0 do nieskończoności, z e do

00:02:36.430 --> 00:02:43.605
-st, razy f od t, czyli to od czego bierzemy

00:02:43.605 --> 00:02:49.170
transformate Laplace'a, po dt.

00:02:49.170 --> 00:02:51.190
To może Was zniechęcać i wydawać się

00:02:51.190 --> 00:02:54.120
zagmatwane, ale zrobię teraz kilka przykładów.

00:02:54.120 --> 00:02:55.660
Więc czym jest transformata Laplace'a?

00:02:55.660 --> 00:02:57.950
Powiedzmy, że f od t jest równe 1.

00:02:57.950 --> 00:03:00.300
Czym jest transformata laplace'a od 1?

00:03:04.180 --> 00:03:07.660
Jeśli f od t jest równe 1, jest to po prostu stała funkcja

00:03:07.660 --> 00:03:14.280
od czasu. To będzie równe... właściwie to napiszę, dokładnie tak

00:03:14.280 --> 00:03:15.130
jak napisałem tutaj.

00:03:15.130 --> 00:03:18.910
To jest całka niewłaściwa od zera do nieskończoności od

00:03:18.910 --> 00:03:24.640
e do -st razy 1.

00:03:24.640 --> 00:03:29.000
Nie muszę tego dopisywać, ale tutaj jest razy 1, po dt.

00:03:29.000 --> 00:03:32.270
Wiem, że pewnie teraz zastanawiacie się nad tą

00:03:32.270 --> 00:03:34.480
nieskończonością, ale zajmiemy się tym za chwilę.

00:03:34.480 --> 00:03:35.620
Właściwie, to zajmimy się tym teraz.

00:03:35.620 --> 00:03:40.660
To jest to samo co granica,

00:03:40.660 --> 00:03:48.870
powiedzmy, że A dąży do nieskończoności, całka od

00:03:48.870 --> 00:03:57.400
0 do A, e do -st, dt.

00:03:57.400 --> 00:03:59.410
Jeśli macie już trochę wprawy, to

00:03:59.410 --> 00:04:01.640
mogliście zgadnąć, że to jest to samo.

00:04:01.640 --> 00:04:04.560
Bo, oczywiście, nie można obliczać dla nieskońoności, ale

00:04:04.560 --> 00:04:07.410
można wziąć granicę przy czymś, co niej dąży.

00:04:07.410 --> 00:04:09.880
Weźmy funckję pierwotną i obliczmy

00:04:09.880 --> 00:04:12.730
tę niewłaściwą całkę oznaczoną, czyli

00:04:12.730 --> 00:04:13.810
tę całkę niewłaściwą.

00:04:13.810 --> 00:04:17.300
Jaka jest funkcja pierwotna od e do -st

00:04:17.300 --> 00:04:19.339
po dt?

00:04:19.339 --> 00:04:28.625
Jest to -1/s e do -st, zgadza się?

00:04:28.625 --> 00:04:30.640
Jeśli mi nie wierzycie, to to zróżniczkujcie.

00:04:30.640 --> 00:04:32.070
Wyjdzie -s razy to,

00:04:32.070 --> 00:04:34.500
to się skróci i zostanie Wam po prorstu e do

00:04:34.500 --> 00:04:36.455
-st. W porządku.

00:04:39.720 --> 00:04:42.410
Wymażę to tutaj, ten znak równości.

00:04:42.410 --> 00:04:45.890
Ponieważ przyda mi się więcej miejsca.

00:04:45.890 --> 00:04:51.430
Weźmiemy granicę, przy A dążącym do nieskończoności.

00:04:51.430 --> 00:04:53.330
Nie trzeba tego robić zawsze, ale to jest pierwszy

00:04:53.330 --> 00:04:54.650
raz, kiedy mamy doczynienia z całkami niewłaściwymi.

00:04:54.650 --> 00:04:57.270
Pomyślałem, że mogę Wam przypomnieć, że

00:04:57.270 --> 00:04:59.340
wtedy bierzemy granicę.

00:04:59.340 --> 00:05:01.030
Spójrzmy na funkcję pierwotną.

00:05:01.030 --> 00:05:04.960
Teraz musimy obliczyć ją w A, odjąć wartość funkcji pierwotnej

00:05:04.960 --> 00:05:06.050
w zerze,

00:05:06.050 --> 00:05:08.740
i wtey wziąć granicę od tego co nam wyjdzie,

00:05:08.740 --> 00:05:09.710
przy A dążącym do nieskończości.

00:05:09.710 --> 00:05:17.490
To się równa granicy przy A dążącym do nieskończości.

00:05:17.490 --> 00:05:17.750
OK.

00:05:17.750 --> 00:05:24.550
Jeśli najpeirw podstawimy tu A, dostaniemy -1/s.

00:05:24.550 --> 00:05:26.960
Pamiętajcie, że patrzymy na t,

00:05:26.960 --> 00:05:30.220
bo całkowaliśmy względem t.

00:05:30.220 --> 00:05:36.630
e do -sA, zgadza się?

00:05:36.630 --> 00:05:38.650
To się dzieje, gdy podstawiam tu A.

00:05:38.650 --> 00:05:41.350
minus

00:05:41.350 --> 00:05:44.970
Co się dzieje, gdy podstawię tu t równe 0?

00:05:44.970 --> 00:05:47.830
Gdy t równe 0, to staje się e do -s razy 0.

00:05:47.830 --> 00:05:49.320
To wyrażenie jest równe 1.

00:05:49.320 --> 00:05:51.190
I zostaje po prostu -1/s.

00:05:57.800 --> 00:05:58.450
W porządku.

00:05:58.450 --> 00:06:01.000
Przewinę trochę w dół.

00:06:01.000 --> 00:06:02.490
Pisałem trochę większymi literami niż chciałem,

00:06:02.490 --> 00:06:03.770
ale to nie przeszkadza.

00:06:03.770 --> 00:06:10.160
Więc to będzie granica, gdy A dąży do nieskończoności,

00:06:10.160 --> 00:06:20.640
z -1/s e do -sA minus minus 1/s.

00:06:20.640 --> 00:06:24.780
czyli plus 1/s.

00:06:24.780 --> 00:06:26.170
Więc czym jest ta granica przy A dążącym do nieskończoności?

00:06:26.170 --> 00:06:28.150
Jak się zachowuje ten składnik?

00:06:28.150 --> 00:06:34.350
Przy A dążącym do nieskończoności, jeśli założymy, że s jest większe

00:06:34.350 --> 00:06:37.810
od 0, a tak teraz założymy.

00:06:37.810 --> 00:06:39.000
Właściwie, to mogę to zapisać.

00:06:39.000 --> 00:06:41.950
Załóżmy, że s jest większe od 0.

00:06:41.950 --> 00:06:45.320
Jeśli założymy, że s jest większe od 0, wtedy przy A

00:06:45.320 --> 00:06:47.870
dążącym do nieskończoności, co się stanie?

00:06:47.870 --> 00:06:53.210
To będzie dążyć do 0, zgadza się? e do minus...

00:06:53.210 --> 00:06:55.640
dużej liczby, to bardzo, bardzo mała liczba.

00:06:55.640 --> 00:07:00.520
A e do minus jeszcze większej liczby, jest jeszcze mniejszą liczbą.

00:07:00.520 --> 00:07:04.530
To "e do minus nieskończoności" dąży do 0, więc

00:07:04.530 --> 00:07:05.920
ten składnik dąży do 0.

00:07:05.920 --> 00:07:08.850
Ten składnik się nie nie zmienia, ponieważ nie ma tu A, więc

00:07:08.850 --> 00:07:12.420
zostaje po prostu 1/s.

00:07:12.420 --> 00:07:13.400
Proszę bardzo.

00:07:13.400 --> 00:07:16.120
To jest znaczący moment w Waszym życiu.

00:07:16.120 --> 00:07:21.190
Właśnie stawiliście czoła Waszej pierwszej transformacji Laplace'a.

00:07:21.190 --> 00:07:23.350
Pokażę Wam w kolejnych filmikach, że istnieją całe tablice

00:07:23.350 --> 00:07:25.300
transformat Laplace'a i stopniowo

00:07:25.300 --> 00:07:27.570
wszystkie je policzymy.

00:07:27.570 --> 00:07:29.440
Ale na razie, zajmiemy się tymi

00:07:29.440 --> 00:07:30.230
bardziej podstawowymi.

00:07:30.230 --> 00:07:32.180
Ale to może być nasz pierwszy wkład do

00:07:32.180 --> 00:07:34.680
tablic transormat Laplace'a.

00:07:34.680 --> 00:07:39.870
Transformata Laplace'a od f od t równego 1

00:07:39.870 --> 00:07:44.030
jest równa 1/s.

00:07:44.030 --> 00:07:46.430
Zauważmy, że przeszliśmy z funkcji od t, choć nie było

00:07:46.430 --> 00:07:50.460
tu zależności od t, do funkcji od s.

00:07:50.460 --> 00:07:53.520
Zostały mi jakieś 3 minuty, ale nie sądzę, by mi to

00:07:53.520 --> 00:07:56.010
starczyło do zrobienia kolejnej transformaty Laplace'a.

00:07:56.010 --> 00:07:59.040
Zostawię to sobie na następny filmik.

00:07:59.040 --> 00:08:00.660
Do zobaczenia wkrótce.