Przedstawię Wam teraz ideę
transformaty Laplace'a.
Jest to jedno z najbardziej użytecznych pojęć,
o których będziecie się uczyć; nie tylko w równaniach różniczkowych,
ale i w całej matematyce.
Zwłaszcza jeśli zamierzacie studiować kierunki techniczne,
zobaczycie, że transformata Laplace'a, oprócz tego, że przydaje się
w rozwiązywaniu równań różniczkowych, to pozwala też zamieniać
dziedzinę funkcji i przejść od opisywania kształtu fali zależnością od czasu
do opisu w terminach częstości. No i pomaga zbadać
i zrozumieć mnóstwo zjawisk.
Na razie jednak nie będę w to się wgłębiał.
Zacznę od pokazania Wam, co to jest.
Transformata Laplace'a.
Wpierw pokażę Wam jak to działa, a jak już oswoicie się trochę
z rachunkami, to po paru następnych filmikach
dopiero zobaczycie w jaki sposób można jej używać
do rozwiązywania równań różniczkowych.
Właściwie to zaczniemy od rozwiązania paru równań, które
już wcześniej rozwiązaliśmy innymi metodami.
A potem będziemy przechodzić do coraz to
trudniejszych zagadnień.
Więc cóż to jest ta transformata Laplace'a?
Transformatę Laplace'a oznaczamy literą L, jak
Laverne z "Laverne&Shirley".
(Pewnie jesteście za młodzi, by to znać, ale ja na tym
serialu się wychowałem.
Właściwie nawet, gdy ja byłem dzieckiem, to już chyba szły powtórki.)
Transformata Laplace'a jakiejś funkcji f.
Z reguły mówimy f od t,
zamiast f od x.
Bo w wielu rónaniach różniczkowych
i zastosowaniach, naprawdę zastępuję się
zależność od czasu.
zależnością od częstotliwości.
Nie martwcie się o to na razie.
Jeśli Was to myli.
Transformata Laplace'a funkcji od t.
Ona przekształca tę funkcję w pewną inną funkcję od s.
i jak to robi?
Pozwólcie, że użyję matematycznego zapisu,
które pewnie wiele Wam nie powie.
Więc co ona przekształca?
Ja myślę o tym, jako o
funkcji od funkcji.
Funkcja przekształca jeden zbiór (w każdym razie,
w tym, czym się zajmujemy) jeden zbiór liczb
w inny.
Transformata przekształca jeden zbiór funkcji
w inny zbiór funkcji.
Zdefiniuję to.
Transformata Laplace'a, dla naszych celów, jest zdefiniowana jako
całka niewłaściwa.
Wiem, że właściwie nie robiłem jeszcze całek niewłaściwych,
ale wyjaśnię je za chwilę.
Całka niewłaściwa od 0 do nieskończoności, z e do
-st, razy f od t, czyli to od czego bierzemy
transformate Laplace'a, po dt.
To może Was zniechęcać i wydawać się
zagmatwane, ale zrobię teraz kilka przykładów.
Więc czym jest transformata Laplace'a?
Powiedzmy, że f od t jest równe 1.
Czym jest transformata laplace'a od 1?
Jeśli f od t jest równe 1, jest to po prostu stała funkcja
od czasu. To będzie równe... właściwie to napiszę, dokładnie tak
jak napisałem tutaj.
To jest całka niewłaściwa od zera do nieskończoności od
e do -st razy 1.
Nie muszę tego dopisywać, ale tutaj jest razy 1, po dt.
Wiem, że pewnie teraz zastanawiacie się nad tą
nieskończonością, ale zajmiemy się tym za chwilę.
Właściwie, to zajmimy się tym teraz.
To jest to samo co granica,
powiedzmy, że A dąży do nieskończoności, całka od
0 do A, e do -st, dt.
Jeśli macie już trochę wprawy, to
mogliście zgadnąć, że to jest to samo.
Bo, oczywiście, nie można obliczać dla nieskońoności, ale
można wziąć granicę przy czymś, co niej dąży.
Weźmy funckję pierwotną i obliczmy
tę niewłaściwą całkę oznaczoną, czyli
tę całkę niewłaściwą.
Jaka jest funkcja pierwotna od e do -st
po dt?
Jest to -1/s e do -st, zgadza się?
Jeśli mi nie wierzycie, to to zróżniczkujcie.
Wyjdzie -s razy to,
to się skróci i zostanie Wam po prorstu e do
-st. W porządku.
Wymażę to tutaj, ten znak równości.
Ponieważ przyda mi się więcej miejsca.
Weźmiemy granicę, przy A dążącym do nieskończoności.
Nie trzeba tego robić zawsze, ale to jest pierwszy
raz, kiedy mamy doczynienia z całkami niewłaściwymi.
Pomyślałem, że mogę Wam przypomnieć, że
wtedy bierzemy granicę.
Spójrzmy na funkcję pierwotną.
Teraz musimy obliczyć ją w A, odjąć wartość funkcji pierwotnej
w zerze,
i wtey wziąć granicę od tego co nam wyjdzie,
przy A dążącym do nieskończości.
To się równa granicy przy A dążącym do nieskończości.
OK.
Jeśli najpeirw podstawimy tu A, dostaniemy -1/s.
Pamiętajcie, że patrzymy na t,
bo całkowaliśmy względem t.
e do -sA, zgadza się?
To się dzieje, gdy podstawiam tu A.
minus
Co się dzieje, gdy podstawię tu t równe 0?
Gdy t równe 0, to staje się e do -s razy 0.
To wyrażenie jest równe 1.
I zostaje po prostu -1/s.
W porządku.
Przewinę trochę w dół.
Pisałem trochę większymi literami niż chciałem,
ale to nie przeszkadza.
Więc to będzie granica, gdy A dąży do nieskończoności,
z -1/s e do -sA minus minus 1/s.
czyli plus 1/s.
Więc czym jest ta granica przy A dążącym do nieskończoności?
Jak się zachowuje ten składnik?
Przy A dążącym do nieskończoności, jeśli założymy, że s jest większe
od 0, a tak teraz założymy.
Właściwie, to mogę to zapisać.
Załóżmy, że s jest większe od 0.
Jeśli założymy, że s jest większe od 0, wtedy przy A
dążącym do nieskończoności, co się stanie?
To będzie dążyć do 0, zgadza się? e do minus...
dużej liczby, to bardzo, bardzo mała liczba.
A e do minus jeszcze większej liczby, jest jeszcze mniejszą liczbą.
To "e do minus nieskończoności" dąży do 0, więc
ten składnik dąży do 0.
Ten składnik się nie nie zmienia, ponieważ nie ma tu A, więc
zostaje po prostu 1/s.
Proszę bardzo.
To jest znaczący moment w Waszym życiu.
Właśnie stawiliście czoła Waszej pierwszej transformacji Laplace'a.
Pokażę Wam w kolejnych filmikach, że istnieją całe tablice
transformat Laplace'a i stopniowo
wszystkie je policzymy.
Ale na razie, zajmiemy się tymi
bardziej podstawowymi.
Ale to może być nasz pierwszy wkład do
tablic transormat Laplace'a.
Transformata Laplace'a od f od t równego 1
jest równa 1/s.
Zauważmy, że przeszliśmy z funkcji od t, choć nie było
tu zależności od t, do funkcji od s.
Zostały mi jakieś 3 minuty, ale nie sądzę, by mi to
starczyło do zrobienia kolejnej transformaty Laplace'a.
Zostawię to sobie na następny filmik.
Do zobaczenia wkrótce.