0:00:00.960,0:00:02.980
Przedstawię Wam teraz ideę

0:00:02.980,0:00:05.460
transformaty Laplace'a.

0:00:05.460,0:00:09.930
Jest to jedno z najbardziej użytecznych pojęć,

0:00:09.930,0:00:13.840
o których będziecie się uczyć; nie tylko w równaniach różniczkowych,

0:00:13.840,0:00:15.100
ale i w całej matematyce.

0:00:15.100,0:00:18.050
Zwłaszcza jeśli zamierzacie studiować kierunki techniczne,

0:00:18.050,0:00:20.610
zobaczycie, że transformata Laplace'a, oprócz tego, że przydaje się

0:00:20.610,0:00:25.480
w rozwiązywaniu równań różniczkowych, to pozwala też zamieniać

0:00:25.480,0:00:30.210
dziedzinę funkcji i przejść od opisywania kształtu fali zależnością od czasu

0:00:30.210,0:00:33.170
do opisu w terminach częstości. No i pomaga zbadać

0:00:33.170,0:00:34.740
i zrozumieć mnóstwo zjawisk.

0:00:34.740,0:00:36.480
Na razie jednak nie będę w to się wgłębiał.

0:00:36.480,0:00:38.920
Zacznę od pokazania Wam, co to jest.

0:00:38.920,0:00:40.170
Transformata Laplace'a.

0:00:42.960,0:00:45.100
Wpierw pokażę Wam jak to działa, a jak już oswoicie się trochę

0:00:45.100,0:00:48.330
z rachunkami, to po paru następnych filmikach

0:00:48.330,0:00:52.220
dopiero zobaczycie w jaki sposób można jej używać

0:00:52.220,0:00:53.180
do rozwiązywania równań różniczkowych.

0:00:53.180,0:00:55.200
Właściwie to zaczniemy od rozwiązania paru równań, które

0:00:55.200,0:00:56.800
już wcześniej rozwiązaliśmy innymi metodami.

0:00:56.800,0:00:59.470
A potem będziemy przechodzić do coraz to

0:00:59.470,0:01:01.000
trudniejszych zagadnień.

0:01:01.000,0:01:02.890
Więc cóż to jest ta transformata Laplace'a?

0:01:02.890,0:01:08.575
Transformatę Laplace'a oznaczamy literą L, jak

0:01:08.575,0:01:12.056
Laverne z "Laverne&Shirley".

0:01:12.056,0:01:15.040
(Pewnie jesteście za młodzi, by to znać, ale ja na tym

0:01:15.040,0:01:16.860
serialu się wychowałem.

0:01:16.860,0:01:20.690
Właściwie nawet, gdy ja byłem dzieckiem, to już chyba szły powtórki.)

0:01:20.690,0:01:22.770
Transformata Laplace'a jakiejś funkcji f.

0:01:22.770,0:01:25.170
Z reguły mówimy f od t,

0:01:25.170,0:01:26.590
zamiast f od x.

0:01:26.590,0:01:30.120
Bo w wielu rónaniach różniczkowych

0:01:30.120,0:01:32.190
i zastosowaniach, naprawdę zastępuję się

0:01:32.190,0:01:34.360
zależność od czasu.

0:01:34.360,0:01:35.630
zależnością od częstotliwości.

0:01:35.630,0:01:37.300
Nie martwcie się o to na razie.

0:01:37.300,0:01:40.180
Jeśli Was to myli.

0:01:40.180,0:01:43.020
Transformata Laplace'a funkcji od t.

0:01:43.020,0:01:47.820
Ona przekształca tę funkcję w pewną inną funkcję od s.

0:01:47.820,0:01:49.410
i jak to robi?

0:01:49.410,0:01:53.150
Pozwólcie, że użyję matematycznego zapisu,

0:01:53.150,0:01:56.460
które pewnie wiele Wam nie powie.

0:01:56.460,0:01:57.800
Więc co ona przekształca?

0:01:57.800,0:01:59.630
Ja myślę o tym, jako o

0:01:59.630,0:02:00.870
funkcji od funkcji.

0:02:00.870,0:02:05.220
Funkcja przekształca jeden zbiór (w każdym razie,

0:02:05.220,0:02:08.009
w tym, czym się zajmujemy) jeden zbiór liczb

0:02:08.009,0:02:09.060
w inny.

0:02:09.060,0:02:11.990
Transformata przekształca jeden zbiór funkcji

0:02:11.990,0:02:13.100
w inny zbiór funkcji.

0:02:13.100,0:02:14.140
Zdefiniuję to.

0:02:14.140,0:02:23.310
Transformata Laplace'a, dla naszych celów, jest zdefiniowana jako

0:02:23.310,0:02:24.510
całka niewłaściwa.

0:02:24.510,0:02:27.790
Wiem, że właściwie nie robiłem jeszcze całek niewłaściwych,

0:02:27.790,0:02:29.890
ale wyjaśnię je za chwilę.

0:02:29.890,0:02:36.430
Całka niewłaściwa od 0 do nieskończoności, z e do

0:02:36.430,0:02:43.605
-st, razy f od t, czyli to od czego bierzemy

0:02:43.605,0:02:49.170
transformate Laplace'a, po dt.

0:02:49.170,0:02:51.190
To może Was zniechęcać i wydawać się

0:02:51.190,0:02:54.120
zagmatwane, ale zrobię teraz kilka przykładów.

0:02:54.120,0:02:55.660
Więc czym jest transformata Laplace'a?

0:02:55.660,0:02:57.950
Powiedzmy, że f od t jest równe 1.

0:02:57.950,0:03:00.300
Czym jest transformata laplace'a od 1?

0:03:04.180,0:03:07.660
Jeśli f od t jest równe 1, jest to po prostu stała funkcja

0:03:07.660,0:03:14.280
od czasu. To będzie równe... właściwie to napiszę, dokładnie tak

0:03:14.280,0:03:15.130
jak napisałem tutaj.

0:03:15.130,0:03:18.910
To jest całka niewłaściwa od zera do nieskończoności od

0:03:18.910,0:03:24.640
e do -st razy 1.

0:03:24.640,0:03:29.000
Nie muszę tego dopisywać, ale tutaj jest razy 1, po dt.

0:03:29.000,0:03:32.270
Wiem, że pewnie teraz zastanawiacie się nad tą

0:03:32.270,0:03:34.480
nieskończonością, ale zajmiemy się tym za chwilę.

0:03:34.480,0:03:35.620
Właściwie, to zajmimy się tym teraz.

0:03:35.620,0:03:40.660
To jest to samo co granica,

0:03:40.660,0:03:48.870
powiedzmy, że A dąży do nieskończoności, całka od

0:03:48.870,0:03:57.400
0 do A, e do -st, dt.

0:03:57.400,0:03:59.410
Jeśli macie już trochę wprawy, to

0:03:59.410,0:04:01.640
mogliście zgadnąć, że to jest to samo.

0:04:01.640,0:04:04.560
Bo, oczywiście, nie można obliczać dla nieskońoności, ale

0:04:04.560,0:04:07.410
można wziąć granicę przy czymś, co niej dąży.

0:04:07.410,0:04:09.880
Weźmy funckję pierwotną i obliczmy

0:04:09.880,0:04:12.730
tę niewłaściwą całkę oznaczoną, czyli

0:04:12.730,0:04:13.810
tę całkę niewłaściwą.

0:04:13.810,0:04:17.300
Jaka jest funkcja pierwotna od e do -st

0:04:17.300,0:04:19.339
po dt?

0:04:19.339,0:04:28.625
Jest to -1/s e do -st, zgadza się?

0:04:28.625,0:04:30.640
Jeśli mi nie wierzycie, to to zróżniczkujcie.

0:04:30.640,0:04:32.070
Wyjdzie -s razy to,

0:04:32.070,0:04:34.500
to się skróci i zostanie Wam po prorstu e do

0:04:34.500,0:04:36.455
-st. W porządku.

0:04:39.720,0:04:42.410
Wymażę to tutaj, ten znak równości.

0:04:42.410,0:04:45.890
Ponieważ przyda mi się więcej miejsca.

0:04:45.890,0:04:51.430
Weźmiemy granicę, przy A dążącym do nieskończoności.

0:04:51.430,0:04:53.330
Nie trzeba tego robić zawsze, ale to jest pierwszy

0:04:53.330,0:04:54.650
raz, kiedy mamy doczynienia z całkami niewłaściwymi.

0:04:54.650,0:04:57.270
Pomyślałem, że mogę Wam przypomnieć, że

0:04:57.270,0:04:59.340
wtedy bierzemy granicę.

0:04:59.340,0:05:01.030
Spójrzmy na funkcję pierwotną.

0:05:01.030,0:05:04.960
Teraz musimy obliczyć ją w A, odjąć wartość funkcji pierwotnej

0:05:04.960,0:05:06.050
w zerze,

0:05:06.050,0:05:08.740
i wtey wziąć granicę od tego co nam wyjdzie,

0:05:08.740,0:05:09.710
przy A dążącym do nieskończości.

0:05:09.710,0:05:17.490
To się równa granicy przy A dążącym do nieskończości.

0:05:17.490,0:05:17.750
OK.

0:05:17.750,0:05:24.550
Jeśli najpeirw podstawimy tu A, dostaniemy -1/s.

0:05:24.550,0:05:26.960
Pamiętajcie, że patrzymy na t,

0:05:26.960,0:05:30.220
bo całkowaliśmy względem t.

0:05:30.220,0:05:36.630
e do -sA, zgadza się?

0:05:36.630,0:05:38.650
To się dzieje, gdy podstawiam tu A.

0:05:38.650,0:05:41.350
minus

0:05:41.350,0:05:44.970
Co się dzieje, gdy podstawię tu t równe 0?

0:05:44.970,0:05:47.830
Gdy t równe 0, to staje się e do -s razy 0.

0:05:47.830,0:05:49.320
To wyrażenie jest równe 1.

0:05:49.320,0:05:51.190
I zostaje po prostu -1/s.

0:05:57.800,0:05:58.450
W porządku.

0:05:58.450,0:06:01.000
Przewinę trochę w dół.

0:06:01.000,0:06:02.490
Pisałem trochę większymi literami niż chciałem,

0:06:02.490,0:06:03.770
ale to nie przeszkadza.

0:06:03.770,0:06:10.160
Więc to będzie granica, gdy A dąży do nieskończoności,

0:06:10.160,0:06:20.640
z -1/s e do -sA minus minus 1/s.

0:06:20.640,0:06:24.780
czyli plus 1/s.

0:06:24.780,0:06:26.170
Więc czym jest ta granica przy A dążącym do nieskończoności?

0:06:26.170,0:06:28.150
Jak się zachowuje ten składnik?

0:06:28.150,0:06:34.350
Przy A dążącym do nieskończoności, jeśli założymy, że s jest większe

0:06:34.350,0:06:37.810
od 0, a tak teraz założymy.

0:06:37.810,0:06:39.000
Właściwie, to mogę to zapisać.

0:06:39.000,0:06:41.950
Załóżmy, że s jest większe od 0.

0:06:41.950,0:06:45.320
Jeśli założymy, że s jest większe od 0, wtedy przy A

0:06:45.320,0:06:47.870
dążącym do nieskończoności, co się stanie?

0:06:47.870,0:06:53.210
To będzie dążyć do 0, zgadza się? e do minus...

0:06:53.210,0:06:55.640
dużej liczby, to bardzo, bardzo mała liczba.

0:06:55.640,0:07:00.520
A e do minus jeszcze większej liczby, jest jeszcze mniejszą liczbą.

0:07:00.520,0:07:04.530
To "e do minus nieskończoności" dąży do 0, więc

0:07:04.530,0:07:05.920
ten składnik dąży do 0.

0:07:05.920,0:07:08.850
Ten składnik się nie nie zmienia, ponieważ nie ma tu A, więc

0:07:08.850,0:07:12.420
zostaje po prostu 1/s.

0:07:12.420,0:07:13.400
Proszę bardzo.

0:07:13.400,0:07:16.120
To jest znaczący moment w Waszym życiu.

0:07:16.120,0:07:21.190
Właśnie stawiliście czoła Waszej pierwszej transformacji Laplace'a.

0:07:21.190,0:07:23.350
Pokażę Wam w kolejnych filmikach, że istnieją całe tablice

0:07:23.350,0:07:25.300
transformat Laplace'a i stopniowo

0:07:25.300,0:07:27.570
wszystkie je policzymy.

0:07:27.570,0:07:29.440
Ale na razie, zajmiemy się tymi

0:07:29.440,0:07:30.230
bardziej podstawowymi.

0:07:30.230,0:07:32.180
Ale to może być nasz pierwszy wkład do

0:07:32.180,0:07:34.680
tablic transormat Laplace'a.

0:07:34.680,0:07:39.870
Transformata Laplace'a od f od t równego 1

0:07:39.870,0:07:44.030
jest równa 1/s.

0:07:44.030,0:07:46.430
Zauważmy, że przeszliśmy z funkcji od t, choć nie było

0:07:46.430,0:07:50.460
tu zależności od t, do funkcji od s.

0:07:50.460,0:07:53.520
Zostały mi jakieś 3 minuty, ale nie sądzę, by mi to

0:07:53.520,0:07:56.010
starczyło do zrobienia kolejnej transformaty Laplace'a.

0:07:56.010,0:07:59.040
Zostawię to sobie na następny filmik.

0:07:59.040,0:08:00.660
Do zobaczenia wkrótce.