Στο προηγούμενο βίντεο μιλήσαμε λίγο για τον ανατοκιζόμενο
επιτόκιο. Στο παράδειγμά μας το επιτόκιο ανατοκιζόταν κάθε
χρόνο και όχι συνεχώς, όπως θα βλέπαμε ότι συμβαίνει σε
πολλές τράπεζες.
Ήθελα να σας κάνω να καταλάβετε ότι η βασική
ιδέα είναι απλή.
Κάθε χρόνο παίρνετε 10% από τα χρήματα που είχατε
στην αρχή του κάθε έτους.
Και λέγεται ανατοκισμός επειδή την επόμενη χρονιά θα πάρετε
χρήματα από τόκους όχι απλά της αρχικής σας κατάθεσης,
αλλά επίσης των τόκων που έχετε κερδίσει από προηγούμενα χρόνια.
Για αυτό λέγεται ανατοκιζόμενο επιτόκιο. Και παρ' ότι η ιδέα
είναι αρκετά απλή, είδαμε ότι οι μαθηματικές πράξεις μπορούν
να γίνουν αρκετά περίπλοκες.
Αν έχετε μία καλή αριθμοπμηχανή και ξέρετε να την χρησιμοποιείτε,
θα μπορείτε να λύσετε αρκετές από αυτές τις πράξεις.
Αλλα είναι σχεδόν απίθανο να το κάνετε με το μυαλό σας.
Για παράδειγμα, στο τέλος του προηγούμενου βίντεο είπαμε
ότι αν είχα εκατό δολλάρια,
και ανατοκίζω με 10% τον χρόνο, σε αυτό αναφέρετε αυτό το 1,
πόσο χρόνο θα μου πάρει για να διπλασιάσω τα χρήματά μου
και να καταλήξω με αυτή την εξισωση?
Και για να λύσω αυτή την εξίσωση, οι περισσότερες αριθμομηχανές
δεν έχουν λογάριθμο με βάση 1.1.
Και το έχω δείξει σε άλλα βίντεο, ότι θα μπορούσατε
να πείτε ότι το x είναι ίσο με τον λογάριθμο του 2 με βάση το 10,
διαιρούμενο με τον λογάριθμο του 2 με βάση το 1.1.
Αυτός είναι ένας άλλος τρόπος για να υπολογίσετε τον λογάριθμο του 2 με βάση 1.1.
Αυτό θα μπορούσε να είναι ο λογάριθμος του 1.1 με βάση το 10.
Το λέω αυτό γιατί οι περισσότερες αριθμομηχανές έχουν
λειτουργία λογαρίθμου με βάση το 10.
Και αυτό με αυτό είναι ισοδύναμα.
Το έχω αποδείξει αυτό σε άλλα βίντεο.
Οπότε πόσο καιρό θα πάρει για να διπλασιαστούν τα χρήματά
μου με 10% τον χρόνο?
Θα χρειαστεί να το εισάγετε σε μια αριθμομηχανή.
Και ας το δοκιμάσουμε.
Ας το δοκιμάσουμε εδώ.
Θα έχουμε 2, και θα υπολογίσουμε τον λογάριθμό του,
ο οποίος είναι 0.3, και θα το διαιρέσουμε με 1.1,
και ο λογάριθμις αυτού,
και κλείνουμε την παρένθεση,
είναι ίσος με 7.27 χρόνια.
Χοντρικά 7.3 χρόνια.
Οπότε είναι περίπου ίσο με 7.3 χρόνια.
Και όπως είδαμε στο προηγούμενο βίντεο, και αυτό δεν είναι
απαραίτητα εύκολο να στηθεί, αλλά ακόμα και αν καταλαβαίνεται τα μαθηματικά,
δεν είναι εύκολο να το υπολογίσετε με το μυαλό σας.
Είναι κυριολεκτικά σχεδόν αδύνατο να το κάνετε με το μυαλό σας.
Οπότε, αυτό που θέλω να σας δείξω, είναι ένας κανόνας για να
προσεγγίζετε αυτή την ερώτηση.
Πόσο καιρό θα σας πάρει για να διπλασιαστούν τα χρήματά σας?
Και αυτός ο κανόνας ονομάζεται ο κανόνας του 72.
Κάποιες φορές είναι ο κανόνας του 70 ή ο κανόνας του 69.
Αλλά ο κανόνας του 72 τείνει να είναι ο πιο χαρακτηριστικός,
ειδικά όταν μιλάτε για ανατοκισμό πάνω σε καθορισμένα
χρονικά διαστήματα.
Ίσως όχι συνεχόμενο ανατοκισμό.
Με συνεχόμενο ανατοκισμό θα είστε πιο κοντά στο 69 ή το 70.
Αλλά θα σας δέιξω τι εννοώ σε λίγο.
Οπότε για να απαντήσουμε την ίδια ερώτηση, ας πούμε ότι έχω
10% ετήσιο ανατοκισμό.
Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του 72, ρωτάω, πόσο καιρό θα
μου πάρει για να διπλασιάσω τα χρήματά μου?
Παίρνω κυριολεκτικά 72, για αυτό λέγεται και ο κανόνας του 72,
το διαιρώ με το ποσοστό,
το ποσοστό εδώ είναι 10,
η δεκαδική του αναπαράσταση είναι το 0.1,
αλλά είναι 10 ανα 100 μονάδες,
οπότε είναι 72 δια 10,
και παίρνω 7.2, σε ετήσια βάση, δηλαδή 7.2 χρόνια.
Αν το 10% ανατοκιζόταν μηνιαία, το αποτέλεσμα θα
ήταν 7.2 μήνες.
Οπότε 7.2 χρόνια, το οποίο είναι πάρα πολύ κοντά στο αποτέλεσμα
που πήραμε κάνοντας όλα αυτά τα περίπλοκα μαθηματικά.
Παρομοίως, αν πούμε ότι ανατοκίζω,
ας κάνουμε ένα άλλο πρόβλημα,
ας πούμε ότι έχω 6% ετήσιο ανατοκισμό.
Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του 72, διαιρώ το 72 με το 6.
Το 6 χωράει στο 72, 12 φορές.
Οπότε θα μου πάρει 12 χρόνια για να διπλασιάσω τα χρήματά μου,
αν παίρνω 6% ετήσιο ανατοκιζόμενο επιτόκιο.
Ας δούμε αν δουλεύει αυτό.
Μάθαμε την προηγούμενη φορά ότι ο άλλος τρόπος για να το λύσουμε αυτό
θα ήταν να πούμε x, η απάντηση σε αυτό θα ήταν κοντά στον
λογάριθμο του 2 με βαση οτιδήποτε - από αυτό παίρνουμε τον
διπλασιασμό των χρημάτων μας, το 2 σημαίνει 2 φορές τα
χρήματά μας - διαιρούμενο με τον λογάριθμο του,
στην περίπτωση αυτή αντί του 1.1 θα είναι του 1.06 με βάση το 10.
Οπότε μπορείτε να δείτε ότι είναι λίγο πιο δύσκολο.
Ας βγάλουμε έξω την αριθμομηχανή μας.
Οπότε έχουμε τον λογάριθμο του 2 δια τον λογάριθμο του 1.06,
το οποίο είναι ίσο με 11.89.
Δηλαδή περίπου 11.9.
Οπότε αφού κάνουμε όλα περίπλοκα μαθηματικά θα πάρουμε 11.9.
Για άλλη μία φορά βλέπετε ότι αυτό είναι μία πολύ καλή προσέγγιση,
και αυτά τα μαθηματικά είναι αρκετά πιο απλά από αυτά.
Και νομίζω ότι οι περισσότεροι από εμάς μπορούμε να το κάνουμε αυτό με το μυαλό μας.
Αυτός είναι λοιπόν ένας καλός τρόπος για να εντυπωσιάσετε άλλους ανθρώπους.
Για να πάρετε μία καλύτερη αίσθηση του πόσο καλός είναι αυτός ο αριθμός 72,
αυτό που έκανα είναι μία απεικόνιση σε ένα υπολογιστικό φύλλο.
Και είπα, εντάξει, εδώ είναι διαφορετικά επιτόκια.
Αυτός είναι ο πραγματικός χρόνος που θα μου πάρει για να διπλασιάσω.
Οπότε χρησιμοποιώ αυτόν τον τύπο εδώ για να υπολογίσω
τον ακριβή χρόνο που θα μου πάρει για να διπλασιάσω.
Ας υποθέσουμε ότι είναι σε χρόνια, αν ανατοκίζουμε ετήσια.
Συνεπώς, αν είστε στο 1%, θα σας πάρει 70 χρόνια
για να διπλασιάσετε τα χρήματά σας.
Στο 25%, θα σας πάρει κάτι περισσότερο από 3 χρόνια
για να διπλασιάσετε τα χρήματά σας.
Αυτός είναι ο σωστός αριθμός, και θα τον
σημειώσω με μπλε χρώμα.
Οπότε αυτό είναι πραγματικό.
Και το έχω καταγράψει εδώ, επίσης.
Αν δείτε την μπλε γραμμή, αυτή είναι η πραγματική.
Και δεν έχω απεικονίσει τα πάντα.
Νομίζω ξεκίνησα από το 4%.
Οπότε αν δείτε το 4%, θα σας πάρει 17.6 χρόνια
για να διπλασιάσετε τα χρήματά σας.
Συνεπώς με 4%, θα χρειαστεούν 17.6 χρόνια για να διπλασιάσετε τα χρήματά σας.
Αυτή είναι η τελεία εδώ, στο μπλε.
Με 5%, θα σας πάρει 14 χρόνια για να διπλασιάσετε τα χρήματά σας.
Αυτό θα σας δώσει μία εκτίμηση ότι κάθε ποσοστό
έχει σημασία όταν έχετε ανατοκιζόμενο επιτόκιο.
Όταν έχετε 2%, θα σας πάρει 35 χρόνια για να
διπλασιάσετε τα χρήματά σας.
Με 1% θα σας πάρει 70 χρόνια.
Θα διπλασιάσετε τα χρήματά σας στον μισό χρόνο.
Είναι πολύ σημαντικό, ειδικά αν σκέφτεστε να διπλασιάσετε τα
χρήματά σας, η ακόμα και να τα τριπλασιάσετε.
Τώρα με κόκκινο, λέω, τι προβλέπει ο κανόνας του 72?
Οπότε αν πάρετε 72 και το διαιρέσετε με το 1%, θα πάρετε 72.
Αν πάρετε 72 και το διαιρέσετε με το 4 θα πάρετε 18.
Ο κανόνας του 72 λέει ότι θα σας πάρει 18 χρόνια για να διπλασιάσετε τα χρήματά σας
με επιτόκιο 4%, όταν η πραγματική απάντηση
είναι 17.7 χρόνια.
Είναι αρκετά κοντά λοιπόν.
Αυτό είναι που είναι σε κόκκινο εδώ.
Το έχω απεικονίσει λοιπόν εδώ.
Οι καμπύλες είναι αρκετά κοντά.
Για χαμηλά επιτόκια, όπως τα επιτόκια αυτά εδώ,
ο κανόνας του 72, ελαφρά υπερεκτιμά το πόσο θα σας πάρει
για να διπλασιάσετε τα χρήματά σας.
Και όσο πηγάινουμε προς υψηλότερα επιτόκια, ελαφρά
υποεκτιμά το πόσο θα σας πάρει για να διπλασιάσετε τα χρήματά σας.
Είναι τελικά το 72 το καλύτερο νούμερο?
Εγώ έκανα το εξής.
Αν πάρετε το επιτόκιο και το πολλαπλασιάσετε με τον
πραγματικό χρόνο διπλασιασμού,
θα πάρετε διάφορα νούμερα.
Για χαμηλά επιτόκια το 69 δουλεύει μία χαρά.
Για υψηλά επιτόκια το 78 δουλεύει μία χαρά.
Αν το δείτε έτσι, το 72 μοιάζει με μία πολύ καλή
προσέγγιση.
Μπορείτε να δείτε ότι ταίριαξε πολύ καλά σε επιτόκια από το
4% εώς το 25%.
Τα οποία είναι τα επιτόκια που οι περισσότεροι από εμάς θα
αντιμετωπίσουμε στις ζωές μας.
Ελπίζω να το βρήκατε χρήσιμο αυτό.
Είναι ένας πολύ εύκολος τρόπος για να δείτε πόσο γρήγορα θα
καταφέρετε να διπλασιάσετε τα χρήματά σας.
Ας κάνουμε άλλο ένα, για πλάκα.
Ας πούμε ότι έχω ένα ετήσιο ανατοκιζόμενο επιτόκιο 9%.
Πόσο καιρό θα μου πάρει να διπλασιάσω τα χρήματά μου?
Λοιπόν, διαιρόντας το 72 με το 9 μας δίνει 8 χρονια.
Θα μου πάρει 8 χρόνια για να διπλασιάσω τα χρήματά μου.
Και η πραγματική απάντηση - αυτή ήταν η προσεγγιστική χρησιμποιώντας
τον κανόνα του 72 - είναι 8.04 χρόνια με επιτόκιο 9%.
Οπότε για μία ακόμη φορά, με το μυαλό μας μπορέσαμε να κάνουμε μία
πολύ καλή προσέγγιση.