როდესაც მარტივ არითმეტიკას ვეხებით,
კონკრეტულ რიცხვებს ვხედავთ.
დავინახავთ 23-ს მიმატებულ ხუთს.
ჩვენ იცით ეს რიცხვები და შეგვიძლია მათი დათვლა.
ეს იქნება 28.
შეგვიძლია, ვთქვათ ორჯერ შვიდი.
შეგვიძლია, ვთქვათ სამი გაყოფილი ოთხზე.
ყველა ამ შემთხვევაში, ჩვენ ზუსტად ვიცით, რა რიცხვებთან გვაქვს საქმე.
როდესაც დავიწყეთ არითმეტიკის სამყაროში შესვლა
-- შეიძლება, ნაწილი უკვე ნანახი გაქვთ --
ჩვენ შევეხეთ ცვლადების იდეას.
მრავალი გზაა, თუ როგორ შეიძლება, შეხედოთ ცვალდებს.
ისინი უბრალოდ მნიშვნელობები და გამოსახულებებია
სადაც შეიძლება შეიცვალონ.
გამოსახულებაში მათი მნიშვნელობა შეიძლება შეიცვალოს.
მაგალითად, დავწერ
x-ს მიმატებული ხუთი.
ეს არის გამოსახულება.
მას შეუძლია, რაღაც მნიშვნელობა მიიღოს იმის მიხედვით, თუ რას უდრის x.
თუ x უდრის ერთს,
მაშინ x მიმატებული ხუთი -- ჩვენი გამოსახულება --
იქნება ერთი -- რადგან ახლა x არის ერთი
იქნება ერთს მიმატებული ხუთი.
x-ს მიმატებული ხუთი იქნება ექვსის ტოლი.
თუ x უდრის, არ ვიცი, უარყოფით შვიდს,
მაშინ x-ს მიმატებული ხუთი იქნება
-- ახლა x შვიდია.
იქნება უარყოფით შვიდს მიმატებული ხუთი, რაც უარყოფითი ორია.
დააკვირდით.
x არის ცვლადი, x აქ ცვლადია.
და მისი მნიშვნელობა იცვლება კონტექსტიდან გამომდინარე.
და ეს არის გამოსახულების კონტექსტი.
თქვენ ამას, ასევე, ნახავთ განტოლების კონტექსტში.
მნიშვნელოვანია, შეამჩნიოთ განსხვავება
გამოსახულებასა და განტოლების შორის.
გამოსახულება არის რაიმე მნიშვნელობის განცხადება
-- განცხადება რაიმე სახის რაოდენობაზე.
ეს არის გამოსახულება.
გამოსახულება იმის მსგავსია, აქ რაც ვნახეთ,
x-ს მიმატებული ხუთი.
ამ გამოსახულების მნიშვნელობა შეიცვლება
იმაზე დამოკიდებულებით, თუ რისი ტოლი იქნება ცვლადი.
ჩვენ შეგვიძლია იგი გამოვთვალოთ x-ის განსხვავებული მნიშვნელობებისათვის
სხვა გამოსახულება შეიძლება, იყოს რაღაც ასეთი --
არ ვიცი -- y-ს მიმატებული z.
ყველაფერი ცვლადია.
თუ y არის ერთი და z არის ორი.
მაშინ ეს იქნება ერთს მიმატებული ორი.
თუ y არის ნული და z არის უარყოფითი ერთი,
მაშინ ეს იქნება ნულს მიმატებული უარყოფითი ერთი.
ამ ყველაფრის გამოთვლა შესაძლებელია. საბოლოოდ ესენი მოგცემენ მნიშვნელობას
იმაზე დამოკიდებულებით, თუ რისი ტოლი იქნება თითოეული ცვლადი,
რომელიც გამოსახულებაში შედის.
განტოლებაში თქვენ ათავსებთ გამოსახულებებს, რომლებიც ერთმანეთის ტოლებია.
ამიტომ ქვიათ მათ განტოლება.
ერთმანეთს უტოლებთ ორ რამეს.
განტოლებაში თქვენ ნახავთ ერთ გამოსახულებას, რომელიც
უდრის მეორე გამოსახულებას.
მაგალითად, შეიძლება, თქვათ რაიმე მსგავსი
x-ს მიმატებული სამი უდრის ერთს.
ამ შემთხვეაში, სადაც მოცემულია განტოლება, რომელშიც
მხოლოდ ერთი უცნობია,
თქვენ შეძლებთ, რომ გაარკვიოთ ამ შემთხვევისათვის საჭირო x-ის მნიშნელობა.
შეიძლება, ზეპირადაც გააკეთოთ.
რას ვუმატებთ სამს, რომ ერთი მივიღოთ?
ამის გაკეთბა ზეპირადაც შეიძლება.
თუ მაქვს უარყოფითი ორი, ამას მიმატებული სამი იქნება ერთი.
ამ კონტექსტში, გამოსახულება საზღვრავს
მნიშვნელობას, რომლის მიღებაც შეუძლია ამ ცვლადს.
აუცილებელი არაა, ამდენად შეზღუდოს.
შეიძლება, მოცემული იყოს რაღაც მსგავსი,
x მიმატებული y მიმატებული z უდრის ხუთს.
ამ შემთხვევაში ეს გამოსახულება
უდრის სხვა გამოსახულებას.
ხუთი არის გამოსახულება.
და აქ გაქვს შეზღუდვები.
თუ ვინმე გეტყვით, რას უდრის y და z
ეს განსაზღვრავს x-ს.
თუ ვინმე იტყვის, რას უდრის x და y
ეს განსაზღვრავს z-ს.
ეს დამოკიდებულია განსხვავებულ რამეებზე.
მაგალითად
თუ ვიტყვით, რომ y უდრის სამს, z უდრის ორს,
ამ შემთხვევაში რისი ტოლია x?
თუ y არის სამი და z არის ორი.
მაშინ იღებთ --
მარცხენა გამოსახულება იქნება
x-ს მიმატებული სამი გამოკლებული ორი,
რაც უდრის x-ს მიმატებულ ხუთს,
ეს ნაწილი, აქ, არის ხუთის ტოლი.
x-ს მიმატებული ხუთი უდრის ხუთსს.
რას ვუმატებთ ხუთს, რომ ხუთი მივიღოთ?
ვზღუდავთ x-ის მნიშვნელობას, x უნდა იყოს
x უნდა უდრიდეს ნულს.
მნიშვნელოვანია, რომ
უნდა იაზრებდეთ განსხვავებას გამოსახულებასა და განტოლებას შორის
განტოლებაში თქვენ უტოლებთ ერთმანეთს ორ გამოსახულებას.
მნიშნელოვანია, გაიაზროთ, რომ
ცვლადები იღებენ განსხვავებულ მნიშნელობებს,
ამოცანის კონტექსტიდან გამომდინარე,
იმისათვის, რომ აზრს ჩავწვდეთ,
გამოვათვალოთ ბევრი მაგალითი,
სადაც ცვლადს მარავალი მნიშვნელობა აქვს.
მაგალითად, თუ მოცემულია გამოსახულება
თუ გამოსახულება გვაქვს.
x ხარისხად y.
თუ x უდრის ხუთს,
და y უდრის ორს
y უდრის ორს.
მაშინ ამ გამოსახულების გამოთვლით ვიღებთ --
x არის ხუთის ტოლი.
x იქნება ხუთი.
y იქნება ორი.
ეს იქნება ხუთი მეორე ხარისხში.
ანუ, უდრის 25-ს.
თუ შევცვლით მნიშვნელობებს --
თუ ვიტყვით, რომ x --
იგივე ფერში გავაკეთებ --
თუ ვიტყვით, რომ x უდრის უარყოფით ორს,
ხოლო y უდრის სამს,
ამ გამოსახულებიდან მივიღებთ
-- მოდით, ამ ფერში ვიზამ --
ეს გახდება უარყოფითი ორი.
ამით ჩავანაცვლებთ x-ს ამ კონტექსტში.
y არის სამი.
უარყოფითი ორი მესამე ხარისხში,
რაც არის -2 გამრავლებული -2-ზე გამრავლებული -2-ზე.
რაც უდრის უარყოფით რვას.
უარყოფით ორჯერ უარყოფითი ორი არის დადებითი ოთხი
კიდევ გავამრავლოთ უარყოფით ორზე ვიღებთ უარყოფით რვას.
უდრის უარყოფით რვას.
როგორც ხედავთ, მიღებული მნიშვნელობის მიხედვით
-- უფრო რთული რაღაცების გაკეთებაც შეიძლება
გექნება გამოსაულება, როგორიცაა
კვადრატული ფესვი x-დან მიმატებული y გამოკლებული x -- რაღაც მსგავსი.
თუ x უდრის -- ვთქათ x უდრის ერთს,
და y უდრის რვას,
მაშინ ამ გამოსახულებიდან ვიღებთ --
ყველგან, სადაც ვხედავთ x-ს, ვანაცვლებთ მას ერთით.
აქ იქენება ერთი.
და აქაც იქნება ერთი.
და ყოველთვის, როდესაც დაინახავთ y-ს,
მის ადგილას ჩავსვავთ რვიანს --
ამ კონტექსტში ჩვენ ცვლადებს ვანაცვლებთ რიცხვებით
დაინახავთ რვიანს.
ფესვის ნიშნის ქვეშ გვექნება ერთს მიმატბული რვა --
ვიღებთ კვადრატულ ფესვს ცხრიდან, რაც არის სამი.
ამ კონტექსტით ეს ყველაფერი გამარტივდება.
როდესაც ამ ცვლადებს ვსაზღვრავთ ამ რაღაცებით,
აი, ეს ყველაფერი გამარტივდება სამამდე.
ერთს მიმატებული რვა არის ცხრა.
კვადრატული ფესვი ცხრიდან არის სამი.
და მერეა სამს გამოკლებული ერთი.
რაც უდრის ორს.