1
00:00:00,000 --> 00:00:02,000
Ha alap számtannal foglalkozunk

2
00:00:02,000 --> 00:00:04,000
látjuk a konkrét számokat.

3
00:00:04,000 --> 00:00:07,000
Látjuk hogy 23 + 5.

4
00:00:07,000 --> 00:00:08,000
Tudjuk milyen számokról van szó

5
00:00:08,000 --> 00:00:10,000
és tudunk számolni velük.

6
00:00:10,000 --> 00:00:11,000
Ez 28 lesz.

7
00:00:11,000 --> 00:00:13,000
Mondhatjuk hogy 2 szorozva 7.

8
00:00:13,000 --> 00:00:17,000
Mondhatjuk hogy 3 osztva 4.

9
00:00:17,000 --> 00:00:19,000
És minden ilyen esetben pontosan tudjuk

10
00:00:19,000 --> 00:00:20,000
milyen számokkal van dolgunk.

11
00:00:20,000 --> 00:00:23,000
Ahogy kezdünk belépni az algebra világába

12
00:00:23,000 --> 00:00:25,000
és valószínűleg ezt már tapasztaltátok is valamennyire,

13
00:00:25,000 --> 00:00:30,000
változók ötletével is egyre többet találkozunk.

14
00:00:30,000 --> 00:00:31,000
És a változók, sokféleképpen

15
00:00:31,000 --> 00:00:32,000
gondolhatunk rájuk de

16
00:00:32,000 --> 00:00:34,000
igazából csak értékek és kifejezések

17
00:00:34,000 --> 00:00:36,000
melyek változhatnak.

18
00:00:36,000 --> 00:00:38,000
Ezekben a kifejezésekben az értékek változhatnak.

19
00:00:38,000 --> 00:00:42,000
Például, ha azt mondom,

20
00:00:42,000 --> 00:00:44,000
x plusz 5

21
00:00:44,000 --> 00:00:46,000
ez egy kifejezés itt.

22
00:00:46,000 --> 00:00:48,000
Ez felvehet egy értéket

23
00:00:48,000 --> 00:00:51,000
attól függően hogy mennyi az x értéke.

24
00:00:51,000 --> 00:00:56,000
Ha x egyenlő 1,

25
00:00:56,000 --> 00:01:01,000
akkor x plusz 5, a kifejezésünk itt,

26
00:01:01,000 --> 00:01:06,000
x egyenlő lesz 1.

27
00:01:06,000 --> 00:01:07,000
Mert most x az 1.

28
00:01:07,000 --> 00:01:08,000
Akkor az lesz hogy 1 plusz 5.

29
00:01:08,000 --> 00:01:11,000
Tehát x plusz 5 egyenlő 6.

30
00:01:11,000 --> 00:01:16,000
Ha x egyenlő, nem is tudom, mínusz 7

31
00:01:16,000 --> 00:01:22,000
akkor x plusz 5 az egyenlő lesz,

32
00:01:22,000 --> 00:01:24,000
nos most az x az mínusz 7.

33
00:01:24,000 --> 00:01:28,000
Az egyenlő lesz mínusz 7 plusz 5 ami negatív 2.

34
00:01:28,000 --> 00:01:29,000
Tehát figyeljük meg.

35
00:01:29,000 --> 00:01:34,000
x itt egy változó,

36
00:01:34,000 --> 00:01:37,000
és az értéke attól függően változik hogy mi az összefüggés.

37
00:01:37,000 --> 00:01:39,000
És ez egy kifejezés összefüggésein belül van.

38
00:01:39,000 --> 00:01:42,000
És ugyanígy láthatjuk egy egyenlet keretein belül is.

39
00:01:42,000 --> 00:01:44,000
Nagyon fontos hogy észrevegyük a különbséget

40
00:01:44,000 --> 00:01:46,000
kifejezés és egyenlet között.

41
00:01:46,000 --> 00:01:49,000
Egy kifejezés csak bizonyos értékek ismertetése,

42
00:01:49,000 --> 00:01:51,000
ismertetése egy bizonyos mennyiségnek.

43
00:01:51,000 --> 00:01:54,000
Ez tehát egy kifejezés.

44
00:01:54,000 --> 00:01:56,000
Egy kifejezés olyas valami féle,

45
00:01:56,000 --> 00:01:57,000
mint amilyet itt is láttunk.

46
00:01:57,000 --> 00:01:59,000
x + 5

47
00:01:59,000 --> 00:02:01,000
Az értéke a kifejezésnek változni fog

48
00:02:01,000 --> 00:02:05,000
attól függően, hogy mennyi ennek a változónak az értéke.

49
00:02:05,000 --> 00:02:09,000
És kiértékelhetjük x-nek különböző értékeire.

50
00:02:09,000 --> 00:02:11,000
Egy másik kifejezés lehetne például

51
00:02:11,000 --> 00:02:13,000
nem is tudom, y + z.

52
00:02:13,000 --> 00:02:14,000
Itt mindegyik változó.

53
00:02:14,000 --> 00:02:16,000
Ha y az 1 és z az 2,

54
00:02:16,000 --> 00:02:18,000
Akkor ez 1 + 2 lesz.

55
00:02:18,000 --> 00:02:21,000
Ha y az 0 és z az -1,

56
00:02:21,000 --> 00:02:24,000
akkor ez 0 + (-1) lesz.

57
00:02:24,000 --> 00:02:25,000
Ezek mint kiértékelhetők

58
00:02:25,000 --> 00:02:27,000
és végül adnak nekünk egy értéket

59
00:02:27,000 --> 00:02:30,000
a változók értékétől függően, amely

60
00:02:30,000 --> 00:02:32,000
változók a kifejezést alkotják.

61
00:02:32,000 --> 00:02:34,000
Egy egyenletnél lényegében kifejezéseket

62
00:02:34,000 --> 00:02:35,000
teszünk egyenlővé.

63
00:02:35,000 --> 00:02:38,000
Ezért hívjuk őket 'egyenletnek',

64
00:02:38,000 --> 00:02:40,000
egyenlővé teszünk két dolgot.

65
00:02:40,000 --> 00:02:42,000
Egy egyenletnél két kifejezést

66
00:02:42,000 --> 00:02:44,000
fogunk látni melyek egymással egyenlőek.

67
00:02:44,000 --> 00:02:47,000
Tehát például, mondhatjuk hogy

68
00:02:47,000 --> 00:02:52,000
x + 3 = 1

69
00:02:52,000 --> 00:02:54,000
És ebben a helyzetben mikor van egy egyenletünk

70
00:02:54,000 --> 00:02:57,000
ahol csak egy ismeretlen van,

71
00:02:57,000 --> 00:02:59,000
már tulajdonképpen ki is találhatjuk

72
00:02:59,000 --> 00:03:01,000
mennyinek kell lennie x-nek itt.

73
00:03:01,000 --> 00:03:03,000
Akár fejben is kiszámolható.

74
00:03:03,000 --> 00:03:05,000
Mennyi plusz 3 egyenlő 1?

75
00:03:05,000 --> 00:03:06,000
Ez megy fejben is.

76
00:03:06,000 --> 00:03:08,000
Ha van -2 + 3 egyenlő 1.

77
00:03:08,000 --> 00:03:12,000
Ebben a összefüggésben az egyenlet bekorlátozza

78
00:03:12,000 --> 00:03:15,000
hogy melyik értéket veheti fel a változó.

79
00:03:15,000 --> 00:03:17,000
De nem kell hogy ennyire bekorlátozza.

80
00:03:17,000 --> 00:03:18,000
Ha nézzük például a

81
00:03:18,000 --> 00:03:25,000
x + y + z = 5

82
00:03:25,000 --> 00:03:27,000
Van egy kifejezésünk ami egyenlő

83
00:03:27,000 --> 00:03:29,000
ezzel a másik kifejezéssel.

84
00:03:29,000 --> 00:03:31,000
5 is csak egy kifejezés itt.

85
00:03:31,000 --> 00:03:32,000
És vannak bizonyos korlátok.

86
00:03:32,000 --> 00:03:35,000
Ha valaki megmondja hogy mennyi az y és z

87
00:03:35,000 --> 00:03:36,000
akkor meg fogjuk kapni az x-et.

88
00:03:36,000 --> 00:03:38,000
Ha valaki megmondja hogy mennyi x és y

89
00:03:38,000 --> 00:03:39,000
akkor ez már bekorlátozza a z-t is.

90
00:03:39,000 --> 00:03:42,000
De attól függ hogy alakulnak a különböző értékek.

91
00:03:42,000 --> 00:03:44,000
Tehát például

92
00:03:44,000 --> 00:03:51,000
ha mondjuk y =3 és z = 2

93
00:03:51,000 --> 00:03:53,000
akkor mennyi lesz x ebben a helyzetben?

94
00:03:53,000 --> 00:03:58,000
tehát y = 3 és z = 2

95
00:03:58,000 --> 00:03:58,000
akkor az annyi mint

96
00:03:58,000 --> 00:04:00,000
a bal oldali kifejezés lesz

97
00:04:00,000 --> 00:04:02,000
x + 3 + 2

98
00:04:02,000 --> 00:04:04,000
az x + 5 lesz

99
00:04:04,000 --> 00:04:06,000
ez a rész itt 5 lesz

100
00:04:06,000 --> 00:04:08,000
x + 5 = 5

101
00:04:08,000 --> 00:04:11,000
és így akkor mennyi + 5 = 5?

102
00:04:11,000 --> 00:04:12,000
Most így bekorlátozzuk

103
00:04:12,000 --> 00:04:14,000
x értékét,

104
00:04:14,000 --> 00:04:16,000
x-nek egyenlőnek kell lennie nullával.

105
00:04:16,000 --> 00:04:18,000
De az a fontos dolog itt, hogy

106
00:04:18,000 --> 00:04:19,000
rájöjjünk mi a különbség

107
00:04:19,000 --> 00:04:20,000
kifejezés és egyenlet között.

108
00:04:20,000 --> 00:04:21,000
Egy egyenletnél

109
00:04:21,000 --> 00:04:23,000
két kifejezést teszünk egyenlővé.

110
00:04:23,000 --> 00:04:25,000
A fontos dolog amit meg kell érteni itt,

111
00:04:25,000 --> 00:04:27,000
hogy egy változó különböző értékeket vehet fel

112
00:04:27,000 --> 00:04:31,000
attól függően hogy a feladat hogyan szól.

113
00:04:31,000 --> 00:04:32,000
És hogy érthetővé váljon az egész,

114
00:04:32,000 --> 00:04:35,000
értékeljünk ki pár kifejezést,

115
00:04:35,000 --> 00:04:38,000
a változók különböző értékeinél.

116
00:04:38,000 --> 00:04:41,000
Tehát például, ha van a kifejezésünk

117
00:04:41,000 --> 00:04:43,000
Tehát például, ha van a kifejezésünk

118
00:04:43,000 --> 00:04:47,000
x az y hatványon,

119
00:04:47,000 --> 00:04:51,000
ha x egyenlő 5

120
00:04:51,000 --> 00:04:54,000
és y egyenlő 2

121
00:04:54,000 --> 00:04:55,000
és y egyenlő 2

122
00:04:55,000 --> 00:04:58,000
akkor a kifejezésünk itt azt az értéket veszi fel hogy

123
00:04:58,000 --> 00:05:01,000
nos x az most 5 lesz.

124
00:05:01,000 --> 00:05:02,000
nos x az most 5 lesz.

125
00:05:02,000 --> 00:05:04,000
y az most 2 lesz.

126
00:05:04,000 --> 00:05:06,000
Tehát ez így 5 a másodikon lesz.

127
00:05:06,000 --> 00:05:08,000
Vagy a 25 értéket fogja ez a kifejezés felvenni.

128
00:05:08,000 --> 00:05:09,000
Vagy a 25 értéket fogja ez a kifejezés felvenni.

129
00:05:09,000 --> 00:05:11,000
Ha megváltoztatjuk az értékeket,

130
00:05:11,000 --> 00:05:14,000
ha mondjuk, x

131
00:05:14,000 --> 00:05:16,000
hadd csináljam ugyanazzal a színnel.

132
00:05:16,000 --> 00:05:20,000
Ha mondjuk x egyenlő -2

133
00:05:20,000 --> 00:05:24,000
és y egyenlő 3

134
00:05:24,000 --> 00:05:27,000
akkor ez a kifejezés

135
00:05:27,000 --> 00:05:30,000
hadd írjam ezzel a színnel

136
00:05:30,000 --> 00:05:32,000
akkor ez a kifejezés,

137
00:05:32,000 --> 00:05:35,000
-2, ez az amit be fogunk helyettesíteni x-re

138
00:05:35,000 --> 00:05:36,000
most ebben az összefüggésben,

139
00:05:36,000 --> 00:05:38,000
és y pedig most 3.

140
00:05:38,000 --> 00:05:42,000
-2 a harmadikon

141
00:05:42,000 --> 00:05:44,000
ami -2 szorozva -2 szorozva -2

142
00:05:44,000 --> 00:05:46,000
ami -8.

143
00:05:46,000 --> 00:05:48,000
-2 szorozva -2 = plusz 4

144
00:05:48,000 --> 00:05:52,000
szorozva -2-vel újra az egyenlő -8.

145
00:05:52,000 --> 00:05:53,000
szorozva -2-vel újra az egyenlő -8.

146
00:05:53,000 --> 00:05:55,000
Tehát látjuk hogy attól függően hogy melyek ezek az értékek

147
00:05:55,000 --> 00:05:58,000
már csinálhatnánk bonyolultabb dolgokat is.

148
00:05:58,000 --> 00:05:59,000
Nézhetnénk olyan kifejezést mint,

149
00:05:59,000 --> 00:06:06,000
négyzetgyök alatt x + y majd mínusz x, ilyesmit.

150
00:06:06,000 --> 00:06:11,000
Ha x egyenlő, mondjuk legyen x egyenlő 1

151
00:06:11,000 --> 00:06:16,000
és y legyen egyenlő 8

152
00:06:16,000 --> 00:06:18,000
akkor ez a kifejezés egyenlő lenne

153
00:06:18,000 --> 00:06:21,000
minden alkalommal mikor x-t látunk egy egyest kell a helyére rakni.

154
00:06:21,000 --> 00:06:23,000
Tehát itt egy egyes lenne.

155
00:06:23,000 --> 00:06:24,000
És itt is egy egyes lenne.

156
00:06:24,000 --> 00:06:26,000
És minden alkalommal mikor y-t látunk,

157
00:06:26,000 --> 00:06:28,000
egy nyolcast kellene beírnunk.

158
00:06:28,000 --> 00:06:30,000
És ebben az összefüggésben, ezeket a változókat adjuk meg

159
00:06:30,000 --> 00:06:32,000
tehát itt 8 lesz.

160
00:06:32,000 --> 00:06:34,000
Tehát a gyökjel alatt lenne 1 + 8.

161
00:06:34,000 --> 00:06:37,000
Tehát a 9 négyzetgyökét vennénk, ami 3.

162
00:06:37,000 --> 00:06:40,000
Tehát ebben az értelmezésben minden leegyszerűsödne.

163
00:06:40,000 --> 00:06:43,000
Ha ezeket az értékeke helyettesítenénk be a változók helyére

164
00:06:43,000 --> 00:06:45,000
ez az egész kifejezés 3-ra egyszerűsödne.

165
00:06:45,000 --> 00:06:46,000
1 plusz 8 az 9

166
00:06:46,000 --> 00:06:48,000
és ennek a négyzetgyöke 3

167
00:06:48,000 --> 00:06:50,000
és lenne akkor 3 mínusz 1

168
00:06:50,000 --> 99:59:59,999
ami pedig egyenlő 2.