0:00:00.596,0:00:02.341
Όταν εχουμε να κανουμε με βασική αριθμητικη,

0:00:02.341,0:00:04.592
βλέπουμε τους συγκεκριμένους αριθμούς εκει.

0:00:04.592,0:00:07.514
Θα δούμε 23 + 5.

0:00:07.514,0:00:08.715
Γνωρίζουμε ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί εδω περα

0:00:08.715,0:00:10.005
και μπορούμε να τους υπολογίσουμε .

0:00:10.005,0:00:11.661
Αυτο θα είναι 28.

0:00:11.661,0:00:13.898
Μπορουμε να πουμε 2 x 7.

0:00:13.898,0:00:17.476
Θα μπορούσαμε να πουμε 3 διαιρούμενο με το 4 (3/4).

0:00:17.476,0:00:19.059
Και σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, γνωρίζουμε ακριβώς

0:00:19.059,0:00:20.872
με τι αριθμούς ασχολουμαστε.

0:00:20.872,0:00:23.776
Καθως αρχιζουμε να μπαίνουμε στον κόσμο της Άλγεβρας -

0:00:23.776,0:00:25.873
(και ίσως το έχετε ήδη δεί λιγακι.)

0:00:25.873,0:00:30.051
- αρχίζουμε να ασχολούμαστε με την ιδέα των μεταβλητων.

0:00:30.051,0:00:31.533
Και για τους μεταβλητες,υπάρχουν πολοί τρόποι

0:00:31.533,0:00:32.283
να τους φανταστούμε.

0:00:32.283,0:00:34.502
Αλλα στην πραγματικότητα είναι απλά τιμές και παραστάσεις

0:00:34.502,0:00:36.252
που μπορούν να αλλάξουν.

0:00:36.252,0:00:38.145
Οι τιμές σ'αυτές τις παραστάσεις μπορουν να αλλάξουν

0:00:38.145,0:00:42.201
Για παράδειγμα, άν γράψω

0:00:42.201,0:00:44.781
x + 5

0:00:44.781,0:00:46.647
αυτό εδώ είναι μια παράσταση.

0:00:46.647,0:00:48.305
Αυτο μπορεί να πάρει καποια τιμή, ανάλογα με

0:00:48.305,0:00:51.466
ανάλογα με το τη τιμή ειναι το x.

0:00:51.466,0:00:56.656
Αν το x είναι ίσο με 1

0:00:56.656,0:01:01.723
τότε x + 5 - η παράσταση μας εδώ περα -

0:01:01.723,0:01:06.049
Θα πρέπει να ισούται με 1.

0:01:06.049,0:01:07.070
Επειδι τώρα το x είναι 1

0:01:07.070,0:01:08.321
αυτό εδω θα γινει 1 + 5.

0:01:08.321,0:01:11.101
Έτσι x + 5 θα είναι ίσο με 6. (χ+5=6)

0:01:11.101,0:01:16.821
Εάν το x ισούται με, δεν ξερω ισως, -7, (χ=-7)

0:01:16.821,0:01:22.183
τότε το x + 5, θα είναι ίσο με -

0:01:22.183,0:01:24.120
τωρα το x είναι -7, οποτε

0:01:24.120,0:01:28.842
αυτό θα είναι -7 + 5, που μας κανει -2.

0:01:28.842,0:01:29.441
Παρατηρήστε ότι

0:01:29.441,0:01:34.019
το x εδώ είναι μια μεταβλητή, η καλυτερα ειναι η μεταβλητη,

0:01:34.019,0:01:37.705
και η τιμή του μπορεί να αλλάξει ανάλογως του περιεχομενου.

0:01:37.705,0:01:39.946
Και εδώ είναι το πλαίσιο μιας παράστασης.

0:01:39.946,0:01:42.174
Επίσης θα το δείτε αυτο και στο πλαίσιο μιας εξίσωσης.

0:01:42.174,0:01:44.299
Είναι σημαντικό να κάνουμε αυτη τη διακριση

0:01:44.299,0:01:46.897
μεταξύ μιας παράστασης και μιας εξισωσης.

0:01:46.897,0:01:49.827
Μια παράσταση είναι απλά μια "δήλωση" αξιας -

0:01:49.827,0:01:51.734
μια δήλωση ενώς είδους ποσότητας.

0:01:51.734,0:01:54.327
Αυτή λοιπόν είναι μια παράσταση.

0:01:54.327,0:01:56.639
Μια παράσταση θα ήταν κάτι σαν

0:01:56.639,0:01:57.976
κι'αυτο που είδαμε εδώ:

0:01:57.976,0:01:59.260
x + 5

0:01:59.260,0:02:01.052
Η τιμή της παράστασης αυτής θα αλλάζει

0:02:01.052,0:02:05.745
ανάλογα με την τιμή αυτης της μεταβλητης.

0:02:05.745,0:02:09.058
Και θα μπορούσατε να την υπολογίσετε για διαφορες τιμες του χ.

0:02:09.058,0:02:11.270
Μια άλλη παράσταση θα μπορούσε να είναι..

0:02:11.270,0:02:13.150
ισως...y + z.

0:02:13.150,0:02:14.340
Τώρα όλα είναι μεταβλητές.

0:02:14.340,0:02:16.554
Εάν το y είναι 1 και το z είναι 2,

0:02:16.554,0:02:18.560
τότε έχουμε 1 + 2.

0:02:18.560,0:02:21.392
Εάν το y είναι 0 και το z είναι -1,

0:02:21.392,0:02:24.068
τότε έχουμε 0 + (-1).

0:02:24.068,0:02:25.897
Ολα αυτά μπορούν να υπολογιστούν

0:02:25.897,0:02:27.423
και ουσιαστικά θα σας δωσουν μία τιμή

0:02:27.423,0:02:30.811
αναλογα με την τιμή της κάθε μια απο τις μεταβλητες

0:02:30.811,0:02:32.327
που αποτελούν την παρασταση.

0:02:32.327,0:02:34.285
Σε μια εξίσωση, ουσιαστικά ρυθμίζετε τις παραστασεις

0:02:34.285,0:02:35.472
να ειναι ισες μεταξύ τους.

0:02:35.472,0:02:38.100
Για αυτο το λόγο λέγονται και «εξισώσεις».

0:02:38.100,0:02:40.122
Εξισώνετε δύο πράγματα.

0:02:40.122,0:02:42.919
Σε μια εξίσωση θα δείτε μία παράσταση

0:02:42.919,0:02:44.643
να ισούται με μια άλλη παράσταση.

0:02:44.643,0:02:47.869
Έτσι για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να έχουμε

0:02:47.869,0:02:52.062
x + 3 = 1

0:02:52.062,0:02:54.459
Και σε αυτή την περίπτωση που έχετε μια εξίσωση,

0:02:54.459,0:02:57.883
με μόνο έναν αγνωστω,

0:02:57.883,0:02:59.273
θα μπορούσατε να βρειτε

0:02:59.273,0:03:01.622
τι πρεπει να ειναι το x σε αυτή την περίπτωση.

0:03:01.622,0:03:03.210
Και μπορεί πιθανον να το βρείτε με το μυαλό σας.

0:03:03.210,0:03:05.327
Κατι + 3 ισούται με 1; (__+ 3 = 1;)

0:03:05.327,0:03:06.432
Μπορείτε να το βρείτε με το μυαλό.

0:03:06.432,0:03:08.871
Εάν έχω -2, 2 + 3, είναι ίσο με 1. (-2+3=1)

0:03:08.871,0:03:12.033
Έτσι σ'αυτο το πλαίσιο, η εξισωση αρχίζει να περιοριζη

0:03:12.033,0:03:15.134
την τιμη που μπορεί να παρει η μεταβλητη

0:03:15.134,0:03:17.411
Αλλα δεν εχει περιοριστεί πολυ

0:03:17.411,0:03:18.932
Θα μπορούσαμε να έχουμε

0:03:18.932,0:03:25.734
x + y + z = 5

0:03:25.734,0:03:27.784
Τώρα αυτή η παράσταση είναι

0:03:27.784,0:03:29.368
ίση με συτη την άλλη παράσταση.

0:03:29.368,0:03:31.645
το 5 είναι απλώς μια παράσταση εδώ περα

0:03:31.645,0:03:32.901
και υπάρχουν ορισμένοι περιορισμοί.

0:03:32.901,0:03:35.004
Εάν κάποιος μας πει τι είναι το y και το z

0:03:35.004,0:03:36.314
τοτε αυτο περιοριζει το τι θα έιναι το x.

0:03:36.314,0:03:38.226
Εάν κάποιος μας πει τι ειναι το x και το y

0:03:38.226,0:03:39.925
τοτε αυτό περιορίζει τι θα είναι το z.

0:03:39.925,0:03:42.381
Αλλά αυτό εξαρτάται από το τι θα είναι τα διαφορα πραγματα.

0:03:42.381,0:03:44.060
Για παράδειγμα,

0:03:44.060,0:03:51.637
Εάν είχαμε πει ότι y = 3, και z = 2,

0:03:51.637,0:03:53.393
τότε ποιό θα ηταν το x σ'αυτή την περίπτωση?

0:03:53.393,0:03:58.102
Αν y = 3, και z = 2,

0:03:58.102,0:03:58.608
τότε θα έχουμε -

0:03:58.608,0:04:00.487
η παράσταση αριστερά θα είναι

0:04:00.487,0:04:02.148
x + 3 + 2

0:04:02.148,0:04:04.998
που κάνει x + 5

0:04:04.998,0:04:06.813
Και αυτό το κομμάτι εδω περα θα είναι 5

0:04:06.813,0:04:08.975
x + 5 = 5

0:04:08.975,0:04:11.198
καποιός αριθμός + 5 = 5 ?

0:04:11.198,0:04:12.632
Τώρα περιοριζουμε το x να ειναι -

0:04:12.632,0:04:14.378
x θα πρεπει να είναι -

0:04:14.378,0:04:16.938
ίσο με το 0. (x = 0)

0:04:16.938,0:04:18.235
Αλλά το σημαντικό σημείο εδώ,

0:04:18.235,0:04:19.789
ας ελπίσουμε ότι καταλάβατε την διαφορά

0:04:19.789,0:04:20.803
μεταξύ μιας παράστασης και μια εξίσωσης.

0:04:20.803,0:04:21.850
Σε μια εξίσωση, ουσιαστικά ,

0:04:21.850,0:04:23.669
εξισώνετε δύο παραστάσεις.

0:04:23.669,0:04:24.973
Το σημαντικό να θυμάστε εδώ

0:04:25.373,0:04:27.620
είναι ότι μια μεταβλητή μπορεί να λάβει διαφορες τιμες

0:04:27.989,0:04:31.365
διαφορετικες τιμες ανάλογα με το πρόβλημα.

0:04:31.365,0:04:32.778
Και για να μπώ στην ουσία,

0:04:32.778,0:04:35.218
ας υπολογίσουμε μερικές παραστάσεις

0:04:35.218,0:04:38.056
οταν οι μεταβλητές έχουν διαφορετικές τιμές.

0:04:38.056,0:04:41.595
Έτσι για παράδειγμα, αν είχαμε την έκφραση

0:04:41.595,0:04:43.309
αν είχαμε την έκφραση,

0:04:43.309,0:04:47.799
x στη δύναμη y

0:04:47.799,0:04:51.955
αν x είναι ίσο με 5,

0:04:51.955,0:04:54.311
και y είναι ίσο με 2

0:04:54.311,0:04:55.791
y είναι ίσο με 2.

0:04:55.791,0:04:58.908
τότε η έκφραση μας εδώ θα μας κάνει

0:04:58.908,0:05:01.506
το x ισο με 5

0:05:01.506,0:05:02.888
το x λοιπον θα είναι τώρα 5

0:05:02.888,0:05:04.363
και το y θα είναι 2

0:05:04.363,0:05:06.612
ετσι θα είναι 5 στην 2η δύναμη

0:05:06.612,0:05:08.154
το οποιο θα μας κάνει

0:05:08.154,0:05:09.785
25.

0:05:09.785,0:05:11.633
Εάν αλλάξουμε τις τιμές,

0:05:11.633,0:05:14.360
Εάν λέγαμε, x...

0:05:14.360,0:05:16.292
(Ας το κάνω με το ίδιο χρώμα.)

0:05:16.292,0:05:20.965
Εάν λεγαμε το x να είναι ίσο με το 2,

0:05:20.965,0:05:24.772
και το y ίσο με 3,

0:05:24.772,0:05:27.839
τότε αυτή η παράσταση θα κανει,

0:05:27.839,0:05:30.469
(ας αλλάξω χρώμα )

0:05:30.469,0:05:32.386
Θα μας κάνει -2

0:05:32.386,0:05:35.376
(Αυτό θα αντικαταστήσουμε στο x τωρα,

0:05:35.376,0:05:36.705
για την περίπτωση αυτή)

0:05:36.705,0:05:38.172
και το y ειναι τώρα 3

0:05:38.172,0:05:42.080
-2 στην τρίτη δύναμη...

0:05:42.080,0:05:44.577
που είναι -2 επι -2 επι -2

0:05:44.577,0:05:46.895
που είναι -8

0:05:46.895,0:05:48.567
-2 επι -2 = + 4

0:05:48.567,0:05:52.154
x - 2 και πάλι ισούται με -8

0:05:52.154,0:05:53.367
είναι ίσο με -8

0:05:53.367,0:05:55.713
Έτσι βλέπετε οτι ανάλογα με το τι είναι οι τιμές τους

0:05:55.713,0:05:58.280
(και θα μπορούσαμε να κάνουμε πιο περιπλοκα πραγματα)

0:05:58.280,0:05:59.681
Θα μπορούσαμε να έχουμε μια έκφραση όπως,

0:05:59.681,0:06:06.609
την τετραγωνική ρίζα του x + y και μετα μειον x ...καπως ετσι

0:06:06.609,0:06:11.878
Αν x είναι ίσο, ας πουμε με 1

0:06:11.878,0:06:16.013
και y είναι ίσο με 8

0:06:16.013,0:06:18.571
τότε αυτή η παράσταση θα έκανε

0:06:18.571,0:06:21.422
(Κάθε φορά που βλέπουμε ένα x, πρεπει να βαζουμε 1)

0:06:21.422,0:06:23.008
Έτσι θα έχουμε 1 εδω.

0:06:23.008,0:06:24.812
Και θα έχετε επισης ένα 1 εκεί πέρα.

0:06:24.812,0:06:26.746
Και κάθε φορά που θα δείτε ένα y.

0:06:26.746,0:06:28.413
θα μπορείτε να βάλετε ένα 8 στη θέση του.

0:06:28.413,0:06:30.819
και στο πλαίσιο αυτό, ορίζουμε αυτές τις μεταβλητές

0:06:30.819,0:06:32.087
Έτσι, θα μπορείτε να δείτε ένα 8.

0:06:32.087,0:06:34.611
Κάτω από μια ρίζα, θα είχαμε ένα 1+8

0:06:34.611,0:06:37.821
έτσι θα έχετε την ρίζα του 9, που ειναι 3.

0:06:37.821,0:06:40.974
Ετσι το όλα πραγμα θα απλούστευόταν σε αυτό το πλαίσιο.

0:06:40.974,0:06:43.119
Αν θέσουμε αυτές τις μεταβλητές να είναι ετσι,

0:06:43.119,0:06:45.586
τοτε ολο αυτό το πράγμα θα απλούστευόταν σε 3

0:06:45.586,0:06:46.503
1 συν 8 είναι 9,

0:06:46.503,0:06:48.685
που έχει ρίζα το 3.

0:06:48.685,0:06:50.769
Και στη συνέχεια θα είχαμε 3-1

0:06:50.769,0:06:54.436
που είναι ίσο με 2.