WEBVTT 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 ... eine Unbekannte ... 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 ... und einer Gleichung. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 ... viel komplexere Dinge tun - 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 ... was diese Variable sein kann. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 2. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Das ergit 3. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Werte von x ausrechnen. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 minus 2 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 minus x. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 setzen wir eine 1 ein. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 und das ergibt -2. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 und z gleich 2 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 und z gleich 2 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 welchen Wert diese Variable annimmt. 00:00:00.816 --> 00:00:02.341 Wenn wir mit konkreten Rechnungen zu tun haben ... 00:00:02.341 --> 00:00:04.592 ... sehen wir dort konkrete Zahlen. 00:00:04.592 --> 00:00:07.514 Wenn wir zum Beispiel 23 + 5 sehen, ... 00:00:07.514 --> 00:00:08.715 dann wissen wir was diese Zahlen hier bedeuten ... 00:00:08.715 --> 00:00:10.005 ... und wir können das ausrechnen. 00:00:10.005 --> 00:00:11.661 Das ist 28. 00:00:11.661 --> 00:00:13.898 Oder wenn wir 2 mal 7 haben 00:00:13.898 --> 00:00:17.476 oder 3 dividiert (geteilt) durch 4... 00:00:17.476 --> 00:00:19.059 ... und in all diesen Beispielen wissen wir genau 00:00:19.059 --> 00:00:20.872 ... mit welchen Zahlen wir hier rechnen. 00:00:20.872 --> 00:00:23.776 Wenn wir in das Land der Algebra kommen ... 00:00:23.776 --> 00:00:25.873 - und das hast Du vorher sicherlich schon oft gesehen - 00:00:25.873 --> 00:00:30.051 ... gibt es das Konzept der "Variablen". 00:00:30.051 --> 00:00:31.533 Varialble kann man sich auf ... 00:00:31.533 --> 00:00:32.283 ... unterschiedliche Weise vorstellen. 00:00:32.283 --> 00:00:34.502 Aber letzlich sind es nur Werte oder Ausdrücke (Terme) 00:00:34.502 --> 00:00:36.252 ... die sich ändern können (die "variabel" sind). 00:00:36.252 --> 00:00:38.145 Die Werte in diesen Termen können sich ändern. 00:00:38.145 --> 00:00:42.201 Ein Beispiel 00:00:42.201 --> 00:00:44.781 x plus 5 00:00:44.781 --> 00:00:46.647 Das hier ist ein Ausdruck (ein Term) 00:00:46.647 --> 00:00:48.305 Und dieser Term kann unterschiedliche Werte annehmen 00:00:48.305 --> 00:00:51.466 je nach dem wie der Wert von x ist. 00:00:51.466 --> 00:00:56.656 Wenn also x z.B. den Wert 1 hat, 00:00:56.656 --> 00:01:01.723 dann ergibt x plus 5 00:01:01.723 --> 00:01:06.049 den Wert 1. 00:01:06.049 --> 00:01:07.070 Denn x ist ja gleich 1. 00:01:07.070 --> 00:01:08.321 Also haben wir "1 + 5". 00:01:08.321 --> 00:01:11.101 x + 5 ergibt also 6. 00:01:11.101 --> 00:01:16.821 Wenn x gleich -7 ist 00:01:16.821 --> 00:01:22.183 dann ergibt x + 5 ... 00:01:22.183 --> 00:01:24.120 x ist nun -7 00:01:24.120 --> 00:01:28.842 Dann haben wir -7 +5 00:01:28.842 --> 00:01:29.441 Das heißt also 00:01:29.441 --> 00:01:34.019 das x hier ist eine Variable 00:01:34.019 --> 00:01:37.705 und sein Wert kann sich je nach Kontext ändern. 00:01:37.705 --> 00:01:39.946 Und hier haben wir als Kontext einen Term (einen mathematischen Ausdruck) 00:01:39.946 --> 00:01:42.174 Ein anderer Kontext kann eine Gleichung sein. 00:01:42.174 --> 00:01:44.299 Es ist wichtig den Unterschied zu kennen ... 00:01:44.299 --> 00:01:46.897 zwichen einem Term .... (einem mathematischen Ausdruck) 00:01:46.897 --> 00:01:49.827 Ein Term ist nur ein Ausdruck, 00:01:49.827 --> 00:01:51.734 eine Art Zusammenstellung von Werten, eine Menge oder Anzahl von etwas. 00:01:51.734 --> 00:01:54.327 Das ist ein Term ("expression".) 00:01:54.327 --> 00:01:56.639 Ein Term ist ... 00:01:56.639 --> 00:01:57.976 ... etwas wie das hier ... 00:01:57.976 --> 00:01:59.260 x plus 5. 00:01:59.260 --> 00:02:01.052 Der Wert dieses Ausdrucks kann sich ändern ... 00:02:01.052 --> 00:02:05.745 ... je nachdem 00:02:05.745 --> 00:02:09.058 Und man kann das einfach für verschiedene 00:02:09.058 --> 00:02:11.270 Ein Beispiel für einen anderen Term ... 00:02:11.270 --> 00:02:13.150 ... ist y plus z. 00:02:13.150 --> 00:02:14.340 Nun haben wir nur Variable in diesem Ausdruck. 00:02:14.340 --> 00:02:16.554 Wenn y den Wert 1 hat und z den Wert 2 ... 00:02:16.554 --> 00:02:18.560 ... dann wird das zu 1 plus 2. 00:02:18.560 --> 00:02:21.392 Wenn y den Wert 0 hat und z den Wert -1 ... 00:02:21.392 --> 00:02:24.068 ... dann ergibt das 0 plus -1. NOTE Paragraph 00:02:24.068 --> 00:02:25.897 Diese Ausdrücke kann man alle berechnen... 00:02:25.897 --> 00:02:27.416 ... und man erhält ein einen Wert abhängig ... 00:02:27.416 --> 00:02:30.811 ... davon welchen Wert jede einzelne Variable hat ... 00:02:30.811 --> 00:02:32.327 ... und dadurch diesen Ausdruck festlegt. 00:02:32.327 --> 00:02:34.285 Bei einer Gleichung werden ... 00:02:34.285 --> 00:02:35.472 Terme gleich gesetzt. 00:02:35.472 --> 00:02:38.100 Daher heißt es auch "Gleichung" ("equations".). 00:02:38.100 --> 00:02:40.122 Man setzt zwei Dinge gleich. 00:02:40.122 --> 00:02:42.919 Bei einer Gleichung setzt man einen Ausdruck ... 00:02:42.919 --> 00:02:44.643 dem Ausruck gleich. 00:02:44.643 --> 00:02:47.869 Hier ein Beispiel. 00:02:47.869 --> 00:02:52.062 x plus 3 ergibt gleich 1. 00:02:52.062 --> 00:02:54.459 Und in diesem Fall, wenn eine Gleichung ... 00:02:54.459 --> 00:02:57.883 da steht und es gibt nur ... 00:02:57.883 --> 00:02:59.273 ... dann kann man ausrechnen was "x" sein muss. 00:02:59.273 --> 00:03:01.622 In diesem Beispiel ... 00:03:01.622 --> 00:03:03.210 - das ginge sogar im Kopf - 00:03:03.210 --> 00:03:05.327 Irgendetwas plus 3 ergibt 1? 00:03:05.327 --> 00:03:06.432 Das geht im Kopf. 00:03:06.432 --> 00:03:08.871 -2 plus 3 ergibt 1. 00:03:08.871 --> 00:03:12.033 In diesem Zusammenhang 00:03:12.033 --> 00:03:15.134 schränkt eine Gleichung ein, ... 00:03:15.134 --> 00:03:17.411 Aber das muss nicht immer so einschränkend sein. 00:03:17.411 --> 00:03:18.932 Wie in diesem Beispiel 00:03:18.932 --> 00:03:25.734 x plus y plus z ergibt 5. 00:03:25.734 --> 00:03:27.784 Nun ergibt also dieser Ausdruck 00:03:27.784 --> 00:03:29.368 genau das gleiche wie dieser Ausdruck. 00:03:29.368 --> 00:03:31.645 Und 5 ist hier eben auch ein Ausdruck. 00:03:31.645 --> 00:03:32.901 Und es gibt hier ein paar Einschränkungen. 00:03:32.901 --> 00:03:35.004 Wenn jemand y und z fest legt. 00:03:35.004 --> 00:03:36.314 dann wird dadurch x festgelegt. 00:03:36.314 --> 00:03:38.226 Wenn x und y festgelegt werden, dann . 00:03:38.226 --> 00:03:39.925 ist auch bereits festgelegt, was z sein muss. 00:03:39.925 --> 00:03:42.381 Aber es hängt davon ab, was diese unterschiedlichen Dinge sind. 00:03:42.381 --> 00:03:44.060 Zum Beispiel 00:03:44.060 --> 00:03:51.637 Wenn y gleich 3 setzen 00:03:51.637 --> 00:03:53.393 was wäre dann in diesem Falle x ? 00:03:53.393 --> 00:03:58.102 wenn also y gleich 3 ist 00:03:58.102 --> 00:03:58.608 dann erhalten wir 00:03:58.608 --> 00:04:00.487 auf der linken Seite 00:04:00.487 --> 00:04:02.148 x plus 3 plus 2 00:04:02.148 --> 00:04:04.998 daraus wird x plus 5 00:04:04.998 --> 00:04:06.813 Dieser Teil hier ergibt 5 00:04:06.813 --> 00:04:08.975 x plus 5 ergibt 5 00:04:08.975 --> 00:04:11.198 Somit: "was" plus 5 ergibt 5 ? 00:04:11.198 --> 00:04:12.632 Nun wird x festgelegt auf 00:04:12.632 --> 00:04:14.378 x muss also 0 sein 00:04:14.378 --> 00:04:16.938 x ist gleich 0 00:04:16.938 --> 00:04:18.235 Der wichtige Punkt an dieser Stelle ist 00:04:18.235 --> 00:04:19.789 -du hast in der Zwischenzeit hoffentlich den Unterschied 00:04:19.789 --> 00:04:20.803 zwischen Term (expression) und Gleichung (equation) festgestellt - 00:04:20.803 --> 00:04:21.850 Bei einer Gleichung werden 00:04:21.850 --> 00:04:23.669 zwei Terme gleich gesetzt. 00:04:23.669 --> 00:04:25.370 Was man sich hier also merken sollte 00:04:25.370 --> 00:04:27.994 ist dass eine Variable verschiedene Werte annehmen kann, 00:04:27.994 --> 00:04:31.365 abhängig vom Kontext der Aufgabe. 00:04:31.365 --> 00:04:32.778 Und damit das wirklich gut sitzt ... 00:04:32.778 --> 00:04:35.218 machen wir noch ein paar weitere Übungen... 00:04:35.218 --> 00:04:38.056 ... wo die Variablen verschiedene Werte annehmen. 00:04:38.056 --> 00:04:41.595 Wenn wir zum Beispiel folgenden Ausdruck haben 00:04:41.595 --> 00:04:43.309 Wenn wir folgenden Term haben, 00:04:43.309 --> 00:04:47.799 x hoch ... y 00:04:47.799 --> 00:04:51.955 Wenn x gleich .... 5 ist, 00:04:51.955 --> 00:04:54.311 und y ist gleich 2 00:04:54.311 --> 00:04:55.791 y = 2 00:04:55.791 --> 00:04:58.908 dann ergibt das für unseren Term 00:04:58.908 --> 00:05:01.506 x wird also zu 5 00:05:01.506 --> 00:05:02.888 x wird 5 00:05:02.888 --> 00:05:04.363 y wird zu 2 00:05:04.363 --> 00:05:06.612 Daraus wird also 5 hoch 2 00:05:06.612 --> 00:05:08.154 ausgerechnet ergibt das 00:05:08.154 --> 00:05:09.785 25 00:05:09.785 --> 00:05:11.633 Wenn wir andere Werte einsetzen 00:05:11.633 --> 00:05:14.360 x sei ... 00:05:14.360 --> 00:05:16.292 - ich nehme die gleiche Farbe - 00:05:16.292 --> 00:05:20.965 x sei ... 00:05:20.965 --> 00:05:24.772 und y sei ... 3 00:05:24.772 --> 00:05:27.839 Dann ergibt dieser Ausdruck einen Wert von 00:05:27.839 --> 00:05:30.469 - ich nehme die gleiche Farbe - 00:05:30.469 --> 00:05:32.386 der Ausdruck ergibt also -2 00:05:32.386 --> 00:05:35.376 Das setzen wir nun für x ein 00:05:35.376 --> 00:05:36.705 in diesem Kontext. 00:05:36.705 --> 00:05:38.172 und y ist nun 3 00:05:38.172 --> 00:05:42.080 -2 hoch 3 00:05:42.080 --> 00:05:44.577 das ist (-2) x (-2) x (-2) 00:05:44.577 --> 00:05:46.895 und das ergibt -8 00:05:46.895 --> 00:05:48.567 minus 2 mal minus 2 ergibt plus 4 00:05:48.567 --> 00:05:52.154 mal minus 2 ergibt minus 8 00:05:52.154 --> 00:05:53.367 ergibt minus 8 00:05:53.367 --> 00:05:55.713 Also, abhängig davon, welche Werte Also abhängig von diesen Werten 00:05:55.713 --> 00:05:58.280 -wir könnten hier noch ... 00:05:58.280 --> 00:05:59.681 Wir könnten einen Term wie diesen haben 00:05:59.681 --> 00:06:06.609 Die Wurzel aus x plus y und dann 00:06:06.609 --> 00:06:11.878 Wenn nun x den Wert ... 1 annimmt 00:06:11.878 --> 00:06:16.013 und y habe den Wert 8 00:06:16.013 --> 00:06:18.571 dann berechnet sich dieser Term zu ... 00:06:18.571 --> 00:06:21.422 Überall wo ein x steht 00:06:21.422 --> 00:06:23.008 also eine 1 hier 00:06:23.008 --> 00:06:24.812 und eine 1 da 00:06:24.812 --> 00:06:26.746 und überall wo ein y steht 00:06:26.746 --> 00:06:28.413 setzen wir eine 8 ein. 00:06:28.413 --> 00:06:30.819 In diesem Kontext setzen wir diese Werte ein. 00:06:30.819 --> 00:06:32.087 Also hier steht eine 8. 00:06:32.087 --> 00:06:34.611 Unter der Wurzel steht also 00:06:34.611 --> 00:06:37.821 1 plus 8, das ergibt also die Quadratwurzel von 9. 00:06:37.821 --> 00:06:40.974 Der ganze Ausdruck vereinfacht sich also in diesem Kontext 00:06:40.974 --> 00:06:43.119 wenn wir diese Variablen auf diese Werte festgelegt haben 00:06:43.119 --> 00:06:45.586 - der ganze Ausdruck vereinfacht sich zu 3 00:06:45.586 --> 00:06:46.503 1 plus 8 ergibt 9 00:06:46.503 --> 00:06:48.685 daraus die Quadratwurzel ergibt 3 00:06:48.685 --> 00:06:50.769 und somit haben wir 3 minus 1 00:06:50.769 --> 99:59:59.999 das ergibt ...