9:59:59.000,9:59:59.000 ... eine Unbekannte ... 9:59:59.000,9:59:59.000 ... und einer Gleichung. 9:59:59.000,9:59:59.000 ... viel komplexere Dinge tun - 9:59:59.000,9:59:59.000 ... was diese Variable sein kann. 9:59:59.000,9:59:59.000 2. 9:59:59.000,9:59:59.000 Das ergit 3. 9:59:59.000,9:59:59.000 Werte von x ausrechnen. 9:59:59.000,9:59:59.000 minus 2 9:59:59.000,9:59:59.000 minus x. 9:59:59.000,9:59:59.000 setzen wir eine 1 ein. 9:59:59.000,9:59:59.000 und das ergibt -2. 9:59:59.000,9:59:59.000 und z gleich 2 9:59:59.000,9:59:59.000 und z gleich 2 9:59:59.000,9:59:59.000 welchen Wert diese Variable annimmt. 0:00:00.816,0:00:02.341 Wenn wir mit konkreten Rechnungen zu tun haben ... 0:00:02.341,0:00:04.592 ... sehen wir dort konkrete Zahlen. 0:00:04.592,0:00:07.514 Wenn wir zum Beispiel 23 + 5 sehen, ... 0:00:07.514,0:00:08.715 dann wissen wir was diese Zahlen hier bedeuten ... 0:00:08.715,0:00:10.005 ... und wir können das ausrechnen. 0:00:10.005,0:00:11.661 Das ist 28. 0:00:11.661,0:00:13.898 Oder wenn wir 2 mal 7 haben 0:00:13.898,0:00:17.476 oder 3 dividiert (geteilt) durch 4... 0:00:17.476,0:00:19.059 ... und in all diesen Beispielen wissen wir genau 0:00:19.059,0:00:20.872 ... mit welchen Zahlen wir hier rechnen. 0:00:20.872,0:00:23.776 Wenn wir in das Land der Algebra kommen ... 0:00:23.776,0:00:25.873 - und das hast Du vorher sicherlich schon oft gesehen - 0:00:25.873,0:00:30.051 ... gibt es das Konzept der "Variablen". 0:00:30.051,0:00:31.533 Varialble kann man sich auf ... 0:00:31.533,0:00:32.283 ... unterschiedliche Weise vorstellen. 0:00:32.283,0:00:34.502 Aber letzlich sind es nur Werte oder Ausdrücke (Terme) 0:00:34.502,0:00:36.252 ... die sich ändern können (die "variabel" sind). 0:00:36.252,0:00:38.145 Die Werte in diesen Termen können sich ändern. 0:00:38.145,0:00:42.201 Ein Beispiel 0:00:42.201,0:00:44.781 x plus 5 0:00:44.781,0:00:46.647 Das hier ist ein Ausdruck (ein Term) 0:00:46.647,0:00:48.305 Und dieser Term kann unterschiedliche Werte annehmen 0:00:48.305,0:00:51.466 je nach dem wie der Wert von x ist. 0:00:51.466,0:00:56.656 Wenn also x z.B. den Wert 1 hat, 0:00:56.656,0:01:01.723 dann ergibt x plus 5 0:01:01.723,0:01:06.049 den Wert 1. 0:01:06.049,0:01:07.070 Denn x ist ja gleich 1. 0:01:07.070,0:01:08.321 Also haben wir "1 + 5". 0:01:08.321,0:01:11.101 x + 5 ergibt also 6. 0:01:11.101,0:01:16.821 Wenn x gleich -7 ist 0:01:16.821,0:01:22.183 dann ergibt x + 5 ... 0:01:22.183,0:01:24.120 x ist nun -7 0:01:24.120,0:01:28.842 Dann haben wir -7 +5 0:01:28.842,0:01:29.441 Das heißt also 0:01:29.441,0:01:34.019 das x hier ist eine Variable 0:01:34.019,0:01:37.705 und sein Wert kann sich je nach Kontext ändern. 0:01:37.705,0:01:39.946 Und hier haben wir als Kontext einen Term [br](einen mathematischen Ausdruck) 0:01:39.946,0:01:42.174 Ein anderer Kontext kann eine Gleichung sein. 0:01:42.174,0:01:44.299 Es ist wichtig den Unterschied zu kennen ... 0:01:44.299,0:01:46.897 zwichen einem Term ....[br](einem mathematischen Ausdruck) 0:01:46.897,0:01:49.827 Ein Term ist nur ein Ausdruck, 0:01:49.827,0:01:51.734 eine Art Zusammenstellung von Werten, [br]eine Menge oder Anzahl von etwas. 0:01:51.734,0:01:54.327 Das ist ein Term [br]("expression".) 0:01:54.327,0:01:56.639 Ein Term ist ... 0:01:56.639,0:01:57.976 ... etwas wie das hier ... 0:01:57.976,0:01:59.260 x plus 5. 0:01:59.260,0:02:01.052 Der Wert dieses Ausdrucks kann sich ändern ... 0:02:01.052,0:02:05.745 ... je nachdem 0:02:05.745,0:02:09.058 Und man kann das einfach für verschiedene 0:02:09.058,0:02:11.270 Ein Beispiel für einen anderen Term ... 0:02:11.270,0:02:13.150 ... ist y plus z. 0:02:13.150,0:02:14.340 Nun haben wir nur Variable in diesem Ausdruck. 0:02:14.340,0:02:16.554 Wenn y den Wert 1 hat und z den Wert 2 ... 0:02:16.554,0:02:18.560 ... dann wird das zu 1 plus 2. 0:02:18.560,0:02:21.392 Wenn y den Wert 0 hat und z den Wert -1 ... 0:02:21.392,0:02:24.068 ... dann ergibt das 0 plus -1. 0:02:24.068,0:02:25.897 Diese Ausdrücke kann man alle berechnen... 0:02:25.897,0:02:27.416 ... und man erhält ein einen Wert abhängig ... 0:02:27.416,0:02:30.811 ... davon welchen Wert jede einzelne Variable hat ... 0:02:30.811,0:02:32.327 ... und dadurch diesen Ausdruck festlegt. 0:02:32.327,0:02:34.285 Bei einer Gleichung werden ... 0:02:34.285,0:02:35.472 Terme gleich gesetzt. 0:02:35.472,0:02:38.100 Daher heißt es auch "Gleichung" ("equations".). 0:02:38.100,0:02:40.122 Man setzt zwei Dinge gleich. 0:02:40.122,0:02:42.919 Bei einer Gleichung setzt man einen Ausdruck ... 0:02:42.919,0:02:44.643 dem Ausruck gleich. 0:02:44.643,0:02:47.869 Hier ein Beispiel. 0:02:47.869,0:02:52.062 x plus 3 ergibt gleich 1. 0:02:52.062,0:02:54.459 Und in diesem Fall, wenn eine Gleichung ... 0:02:54.459,0:02:57.883 da steht und es gibt nur ... 0:02:57.883,0:02:59.273 ... dann kann man ausrechnen was "x" sein muss. 0:02:59.273,0:03:01.622 In diesem Beispiel ... 0:03:01.622,0:03:03.210 - das ginge sogar im Kopf - 0:03:03.210,0:03:05.327 Irgendetwas plus 3 ergibt 1? 0:03:05.327,0:03:06.432 Das geht im Kopf. 0:03:06.432,0:03:08.871 -2 plus 3 ergibt 1. 0:03:08.871,0:03:12.033 In diesem Zusammenhang 0:03:12.033,0:03:15.134 schränkt eine Gleichung ein, ... 0:03:15.134,0:03:17.411 Aber das muss nicht immer so einschränkend sein. 0:03:17.411,0:03:18.932 Wie in diesem Beispiel 0:03:18.932,0:03:25.734 x plus y plus z ergibt 5. 0:03:25.734,0:03:27.784 Nun ergibt also dieser Ausdruck 0:03:27.784,0:03:29.368 genau das gleiche wie dieser Ausdruck. 0:03:29.368,0:03:31.645 Und 5 ist hier eben auch ein Ausdruck. 0:03:31.645,0:03:32.901 Und es gibt hier ein paar Einschränkungen. 0:03:32.901,0:03:35.004 Wenn jemand y und z fest legt. 0:03:35.004,0:03:36.314 dann wird dadurch x festgelegt. 0:03:36.314,0:03:38.226 Wenn x und y festgelegt werden, dann . 0:03:38.226,0:03:39.925 ist auch bereits festgelegt, was z sein muss. 0:03:39.925,0:03:42.381 Aber es hängt davon ab, was diese unterschiedlichen Dinge sind. 0:03:42.381,0:03:44.060 Zum Beispiel 0:03:44.060,0:03:51.637 Wenn y gleich 3 setzen 0:03:51.637,0:03:53.393 was wäre dann in diesem Falle x ? 0:03:53.393,0:03:58.102 wenn also y gleich 3 ist 0:03:58.102,0:03:58.608 dann erhalten wir 0:03:58.608,0:04:00.487 auf der linken Seite 0:04:00.487,0:04:02.148 x plus 3 plus 2 0:04:02.148,0:04:04.998 daraus wird x plus 5 0:04:04.998,0:04:06.813 Dieser Teil hier ergibt 5 0:04:06.813,0:04:08.975 x plus 5 ergibt 5 0:04:08.975,0:04:11.198 Somit: "was" plus 5 ergibt 5 ? 0:04:11.198,0:04:12.632 Nun wird x festgelegt auf 0:04:12.632,0:04:14.378 x muss also 0 sein 0:04:14.378,0:04:16.938 x ist gleich 0 0:04:16.938,0:04:18.235 Der wichtige Punkt an dieser Stelle ist 0:04:18.235,0:04:19.789 -du hast in der Zwischenzeit hoffentlich den Unterschied 0:04:19.789,0:04:20.803 zwischen Term (expression) und Gleichung (equation) festgestellt - 0:04:20.803,0:04:21.850 Bei einer Gleichung werden 0:04:21.850,0:04:23.669 zwei Terme gleich gesetzt. 0:04:23.669,0:04:25.370 Was man sich hier also merken sollte 0:04:25.370,0:04:27.994 ist dass eine Variable verschiedene Werte annehmen kann, 0:04:27.994,0:04:31.365 abhängig vom Kontext der Aufgabe. 0:04:31.365,0:04:32.778 Und damit das wirklich gut sitzt ... 0:04:32.778,0:04:35.218 machen wir noch ein paar weitere Übungen... 0:04:35.218,0:04:38.056 ... wo die Variablen verschiedene Werte annehmen. 0:04:38.056,0:04:41.595 Wenn wir zum Beispiel folgenden Ausdruck haben 0:04:41.595,0:04:43.309 Wenn wir folgenden Term haben, 0:04:43.309,0:04:47.799 x hoch ... y 0:04:47.799,0:04:51.955 Wenn x gleich .... 5 ist, 0:04:51.955,0:04:54.311 und y ist gleich 2 0:04:54.311,0:04:55.791 y = 2 0:04:55.791,0:04:58.908 dann ergibt das für unseren Term 0:04:58.908,0:05:01.506 x wird also zu 5 0:05:01.506,0:05:02.888 x wird 5 0:05:02.888,0:05:04.363 y wird zu 2 0:05:04.363,0:05:06.612 Daraus wird also 5 hoch 2 0:05:06.612,0:05:08.154 ausgerechnet ergibt das 0:05:08.154,0:05:09.785 25 0:05:09.785,0:05:11.633 Wenn wir andere Werte einsetzen 0:05:11.633,0:05:14.360 x sei ... 0:05:14.360,0:05:16.292 - ich nehme die gleiche Farbe - 0:05:16.292,0:05:20.965 x sei ... 0:05:20.965,0:05:24.772 und y sei ... 3 0:05:24.772,0:05:27.839 Dann ergibt dieser Ausdruck einen Wert von 0:05:27.839,0:05:30.469 - ich nehme die gleiche Farbe - 0:05:30.469,0:05:32.386 der Ausdruck ergibt also -2 0:05:32.386,0:05:35.376 Das setzen wir nun für x ein 0:05:35.376,0:05:36.705 in diesem Kontext. 0:05:36.705,0:05:38.172 und y ist nun 3 0:05:38.172,0:05:42.080 -2 hoch 3 0:05:42.080,0:05:44.577 das ist (-2) x (-2) x (-2) 0:05:44.577,0:05:46.895 und das ergibt -8 0:05:46.895,0:05:48.567 minus 2 mal minus 2 ergibt plus 4 0:05:48.567,0:05:52.154 mal minus 2 ergibt minus 8 0:05:52.154,0:05:53.367 ergibt minus 8 0:05:53.367,0:05:55.713 Also, abhängig davon, welche Werte [br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br]Also abhängig von diesen Werten 0:05:55.713,0:05:58.280 -wir könnten hier noch ... 0:05:58.280,0:05:59.681 Wir könnten einen Term wie diesen haben 0:05:59.681,0:06:06.609 Die Wurzel aus x plus y und dann 0:06:06.609,0:06:11.878 Wenn nun x den Wert ... 1 annimmt 0:06:11.878,0:06:16.013 und y habe den Wert 8 0:06:16.013,0:06:18.571 dann berechnet sich dieser Term zu ... 0:06:18.571,0:06:21.422 Überall wo ein x steht 0:06:21.422,0:06:23.008 also eine 1 hier 0:06:23.008,0:06:24.812 und eine 1 da 0:06:24.812,0:06:26.746 und überall wo ein y steht 0:06:26.746,0:06:28.413 setzen wir eine 8 ein. 0:06:28.413,0:06:30.819 In diesem Kontext setzen wir diese Werte ein. 0:06:30.819,0:06:32.087 Also hier steht eine 8. 0:06:32.087,0:06:34.611 Unter der Wurzel steht also 0:06:34.611,0:06:37.821 1 plus 8, das ergibt also die Quadratwurzel von 9. 0:06:37.821,0:06:40.974 Der ganze Ausdruck vereinfacht sich also in diesem Kontext 0:06:40.974,0:06:43.119 wenn wir diese Variablen auf diese Werte festgelegt haben 0:06:43.119,0:06:45.586 - der ganze Ausdruck vereinfacht sich zu 3 0:06:45.586,0:06:46.503 1 plus 8 ergibt 9 0:06:46.503,0:06:48.685 daraus die Quadratwurzel ergibt 3 0:06:48.685,0:06:50.769 und somit haben wir 3 minus 1 0:06:50.769,9:59:59.000 das ergibt ...