1
00:00:00,292 --> 00:00:04,448
I den grundlæggende aritmetik regner vi med reelle tal.

2
00:00:04,592 --> 00:00:07,514
Det kan eksempelvis være 23 plus 5.

3
00:00:07,514 --> 00:00:10,022
Det er velkendte tal, og vi kan let regne ud, hvad det giver.

4
00:00:10,099 --> 00:00:11,661
Det giver 28.

5
00:00:11,661 --> 00:00:13,898
Vi kan også udregne 2 gange 7.

6
00:00:13,898 --> 00:00:17,476
Vi kan sige 3 divideret med 4.

7
00:00:17,476 --> 00:00:20,812
I alle disse tilfælde ved vi præcis, 
hvilke tal vi regner med.

8
00:00:20,872 --> 00:00:23,776
Når vi bevæger os ind i den algebraiske verden,

9
00:00:23,776 --> 00:00:25,873
som man måske allerede så småt er introduceret til,

10
00:00:25,873 --> 00:00:30,051
skal man arbejde med variable.

11
00:00:30,051 --> 00:00:32,225
Der er flere måder at tænke på variable på,

12
00:00:32,283 --> 00:00:34,502
men de er i virkeligheden symboler,

13
00:00:34,502 --> 00:00:36,252
som kan have forskellige værdier.

14
00:00:36,252 --> 00:00:38,145
Værdierne af sådanne udtryk kan ændres.

15
00:00:38,145 --> 00:00:42,201
Vi kan eksempelvis skrive

16
00:00:42,201 --> 00:00:44,781
x plus 5.

17
00:00:44,781 --> 00:00:46,647
Det er et algebraisk udtryk,

18
00:00:46,647 --> 00:00:48,305
som kan have forskellige værdier,

19
00:00:48,305 --> 00:00:51,466
fordi det afhænger af værdien for x.

20
00:00:51,466 --> 00:00:56,656
Hvis x er lig med 1,

21
00:00:56,656 --> 00:01:01,723
hvad er x plus 5 så lig med?


22
00:01:02,924 --> 00:01:04,125
Det er vores udtryk.

23
00:01:04,125 --> 00:01:07,070
Når vi sætter 1 ind på x's plads, får vi

24
00:01:07,070 --> 00:01:08,321
1 plus 5.

25
00:01:08,321 --> 00:01:11,101
I det tilfælde er x plus 5 altså lig med 6.

26
00:01:11,101 --> 00:01:16,821
Hvis x er lig med minus 7.

27
00:01:16,821 --> 00:01:22,183
så er x plus 5 lig med,

28
00:01:22,183 --> 00:01:24,120
minus 7 plus 5.

29
00:01:24,120 --> 00:01:28,842
Det giver minus 2.

30
00:01:28,842 --> 00:01:32,010
Læg mærke til, at x er en variabel.

31
00:01:32,010 --> 00:01:34,019
x er en variabel,

32
00:01:34,019 --> 00:01:37,705
og dens værdi kan ændres.

33
00:01:37,705 --> 00:01:39,946
Den indgår i et udtryk.

34
00:01:39,946 --> 00:01:42,174
Vi kommer også til at se variable i forbindelse med ligninger.

35
00:01:42,174 --> 00:01:46,760
Det er faktisk vigtigt at skelne mellem udtryk og ligninger.

36
00:01:46,897 --> 00:01:51,688
Et udtryk er nogle værdier,
som kan udregnes.

37
00:01:51,734 --> 00:01:54,327
Vi kan skrive nogle udtryk her.

38
00:01:54,327 --> 00:01:56,639
Vi har allerede set et eksempel på et algebraisk udtryk i den her video.

39
00:01:56,639 --> 00:01:57,976
Vi har set på x plus 5.

40
00:01:57,976 --> 00:01:59,260
x plus 5 er et udtryk.

41
00:01:59,260 --> 00:02:03,559
Værdien af dette udtryk ændres, når værdien af x ændres,

42
00:02:03,559 --> 00:02:05,745
fordi x er den variable.

43
00:02:05,745 --> 00:02:09,058
Vi kan udregnet udtrykket for forskellige værdier af x.

44
00:02:09,058 --> 00:02:11,270
Lad os se på et andet eksempel på et udtryk.

45
00:02:11,270 --> 00:02:13,150
y plus z er også et udtryk.

46
00:02:13,150 --> 00:02:14,340
Nu er der kun variable i udtrykket.

47
00:02:14,340 --> 00:02:16,554
Hvis y er 1, og z er 2,

48
00:02:16,554 --> 00:02:18,560
så er udtrykket lig med 1 plus 2.

49
00:02:18,560 --> 00:02:21,392
Hvis y er 0, og z er minus 1,

50
00:02:21,392 --> 00:02:24,068
så er udtrykket lig med 0 plus minus 1.

51
00:02:24,068 --> 00:02:25,897
Vi kan udregne dem alle,

52
00:02:25,897 --> 00:02:27,416
og de giver en værdi,

53
00:02:27,416 --> 00:02:30,811
der afhænger af værdierne for hver af de to variable,

54
00:02:30,811 --> 00:02:32,327
som indgår i udtrykket.

55
00:02:32,327 --> 00:02:35,423
I en ligning er to udtryk sat lig med hinanden.

56
00:02:35,472 --> 00:02:38,100
Det er derfor de kaldes ligninger.

57
00:02:38,100 --> 00:02:40,122
Vi sætter to udtryk lig med hinanden.

58
00:02:40,122 --> 00:02:44,611
I en ligning er et udtryk altså lig med et andet udtryk.

59
00:02:44,643 --> 00:02:51,914
Vi kunne eksempelvis have ligningen
x plus 3 er lig med 1.

60
00:02:52,062 --> 00:02:54,459
I dette tilfælde har vi en ligning med kun en variabel.

61
00:02:54,459 --> 00:02:57,883

Vi siger også, at det er en ligning med en ukendt.

62
00:02:57,883 --> 00:02:59,273
Vi kan faktisk finde ud af,

63
00:02:59,273 --> 00:03:01,622
hvad x skal være for, at ligningen er opfyldt.

64
00:03:01,622 --> 00:03:03,210
Vi kan gætte os til svaret.

65
00:03:03,210 --> 00:03:05,327
Et eller andet tal plus 3 er lig med 1?

66
00:03:05,327 --> 00:03:06,432
Hvad kan det tal mon være?

67
00:03:06,432 --> 00:03:08,871
Hvis vi har minus 2 og lægger 3 til, 
er det lig med 1.

68
00:03:08,871 --> 00:03:12,033
Ligningen sætter altså nogle begrænsninger for,

69
00:03:12,033 --> 00:03:15,134
hvilken værdi den variable kan have.

70
00:03:15,134 --> 00:03:17,411
Det behøver dog ikke nødvendigvis kun være en værdi.

71
00:03:17,411 --> 00:03:18,932
Vi kan have et udtryk som,

72
00:03:18,932 --> 00:03:25,734
x plus y plus z er lig med 5.

73
00:03:25,734 --> 00:03:29,307
I den her ligning er et udtryk igen sat lig med et andet udtryk.

74
00:03:29,368 --> 00:03:31,645
5 kan her opfattes som et udtryk,

75
00:03:31,645 --> 00:03:32,901
og der er nogle begrænsninger.

76
00:03:32,901 --> 00:03:35,004
Hvis nogen fortæller os, hvad y og z er,

77
00:03:35,004 --> 00:03:36,314
kan vi udregne værdien af x.

78
00:03:36,314 --> 00:03:38,226
Hvis nogen fortæller os, hvad x og y er,

79
00:03:38,226 --> 00:03:39,925
kan vi udregne værdien af z.

80
00:03:39,925 --> 00:03:42,781
Svaret afhænger dog af, hvilke værdier variablerne har.

81
00:03:42,860 --> 00:03:51,637
Vi kan eksempelvis sige, at y er 3, og z er 2.

82
00:03:51,637 --> 00:03:53,393
Hvad er x så?

83
00:03:53,393 --> 00:03:57,255
Hvis y er 3, og z er 2,

84
00:03:57,255 --> 00:04:00,361
så kan vi regne ud, at udtrykket til venstre bliver:

85
00:04:00,487 --> 00:04:04,870
x plus 3 plus 2. Det er det samme som x plus 5.

86
00:04:04,998 --> 00:04:06,813
Den højre side forbliver bare 5.

87
00:04:06,813 --> 00:04:08,975
x plus 5 er altså lig med 5.

88
00:04:08,975 --> 00:04:11,198
Et eller andet tal plus 5 er lig med 5?

89
00:04:11,198 --> 00:04:14,862
Nu er x begrænset til en enkelt værdi.Hvad kan x være?

90
00:04:14,908 --> 00:04:16,938
x kan kun være 0.

91
00:04:16,938 --> 00:04:19,050
Det vigtigste er, at vi indser,

92
00:04:19,050 --> 00:04:20,712
hvad forskellen mellem et udtryk og en ligning er.

93
00:04:20,803 --> 00:04:23,650
En ligning er to udtryk, som er sat lig med hinanden.

94
00:04:23,669 --> 00:04:31,291
En vigtig pointe er, at en variabel kan have forskellige værdier.

95
00:04:31,365 --> 00:04:35,162
For at gøre det helt klart, så lad os udregne nogle udtryk,

96
00:04:35,218 --> 00:04:38,056
hvor de variable har forskellige værdier.

97
00:04:38,056 --> 00:04:43,195
Vi har udtrykket

98
00:04:43,309 --> 00:04:47,799
x opløftet i y.

99
00:04:47,799 --> 00:04:51,955
Hvis x er lig med 5,

100
00:04:51,955 --> 00:04:54,311
og y er lig med 2.

101
00:04:54,311 --> 00:04:55,791
kan vi finde værdien af vores udtryk.

102
00:04:55,791 --> 00:04:58,908
Hvad er værdien af udtrykket?

103
00:04:58,908 --> 00:05:02,859
x er 5.

104
00:05:02,888 --> 00:05:04,363
y er 2.

105
00:05:04,363 --> 00:05:06,612
Det er altså det samme som x i anden.

106
00:05:06,612 --> 00:05:08,154
Det kan vi udregne.

107
00:05:08,154 --> 00:05:09,785
Det giver 25.

108
00:05:09,785 --> 00:05:11,633
Lad os prøve at ændre de variables værdier.

109
00:05:11,633 --> 00:05:14,360
Det bruger vi en anden farve til.

110
00:05:14,360 --> 00:05:16,292
x er nu lig med minus 2,

111
00:05:16,292 --> 00:05:20,965
og y er lig med 3.

112
00:05:20,965 --> 00:05:24,772
Vi kan igen udregne værdien

113
00:05:24,772 --> 00:05:30,331
af vores udtryk.

114
00:05:30,469 --> 00:05:34,032
Vi skriver minus 2 på x's plads.

115
00:05:34,032 --> 00:05:36,606
x er nu lig med minuz 2.

116
00:05:36,705 --> 00:05:38,172
y er 3.

117
00:05:38,172 --> 00:05:42,080
Vi har derfor minus 2 i tredje.

118
00:05:42,080 --> 00:05:44,577
Det er det samme som minus 2 gange minus 2 
gange minus 2.

119
00:05:44,577 --> 00:05:46,895
Det er minus 8.

120
00:05:46,895 --> 00:05:48,567
MInus 2 gange minus 2 er plus 4.

121
00:05:48,567 --> 00:05:52,154
Plus 4 gange minus 2 er lig med minus 8.

122
00:05:52,154 --> 00:05:53,367
Det hele er altså lig med minus 8.

123
00:05:53,367 --> 00:05:55,713
Udtrykkets værdi afhænger af de variables værdier.

124
00:05:55,713 --> 00:05:58,280
Vi kan også regne nogle endnu sværere udtryk.

125
00:05:58,280 --> 00:05:59,681
Vi kan tage dette udtryk

126
00:05:59,681 --> 00:06:06,609
kvadratroden af x plus y, og derefter minus x.

127
00:06:06,609 --> 00:06:11,878
Vi siger, at x er lig med 1,

128
00:06:11,878 --> 00:06:16,013
og y er lig med 8.

129
00:06:16,013 --> 00:06:18,571
Vi kan nu udregne udtrykket.

130
00:06:18,571 --> 00:06:21,422
Hver gang vi ser et x, indsætter vi 1 i stedet for x,

131
00:06:21,422 --> 00:06:23,008
Vi har et 1-tal der,

132
00:06:23,008 --> 00:06:24,812
og vi har et 1-tal til sidst.

133
00:06:24,812 --> 00:06:26,746
Hver gang vi har et y,

134
00:06:26,746 --> 00:06:28,413
indsætter vi 8.

135
00:06:28,413 --> 00:06:30,819
Vi kender værdierne af de variable, og indsætter dem i udtrykket.

136
00:06:30,819 --> 00:06:32,087
Vi indsætter 8 i stedet for y.

137
00:06:32,087 --> 00:06:34,611
Under kvadratrodstegnet har vi 1 plus 8.

138
00:06:34,611 --> 00:06:37,821
Kvadratroden af 9 er 3,

139
00:06:37,821 --> 00:06:40,974
så vi kan reducere i det her tilfælde.

140
00:06:40,974 --> 00:06:43,119
Når vi indsætter værdierne for de to variable,

141
00:06:43,119 --> 00:06:45,586
reduceres kvadratroden til 3,

142
00:06:45,586 --> 00:06:46,503
fordi 1 plus 8 er 9,

143
00:06:46,503 --> 00:06:48,685
og kvadratroden af 9 er 3.

144
00:06:48,685 --> 00:06:50,769
Nu står der 3 minus 1.

145
00:06:50,769 --> 00:06:52,941
Det er lig med 2.

146
00:06:52,941 --> 00:06:54,141
Vi er færdige.