0:00:00.292,0:00:04.448
I den grundlæggende aritmetik regner vi med reelle tal.

0:00:04.592,0:00:07.514
Det kan eksempelvis være 23 plus 5.

0:00:07.514,0:00:10.022
Det er velkendte tal, og vi kan let regne ud, hvad det giver.

0:00:10.099,0:00:11.661
Det giver 28.

0:00:11.661,0:00:13.898
Vi kan også udregne 2 gange 7.

0:00:13.898,0:00:17.476
Vi kan sige 3 divideret med 4.

0:00:17.476,0:00:20.812
I alle disse tilfælde ved vi præcis, [br]hvilke tal vi regner med.

0:00:20.872,0:00:23.776
Når vi bevæger os ind i den algebraiske verden,

0:00:23.776,0:00:25.873
som man måske allerede så småt er introduceret til,

0:00:25.873,0:00:30.051
skal man arbejde med variable.

0:00:30.051,0:00:32.225
Der er flere måder at tænke på variable på,

0:00:32.283,0:00:34.502
men de er i virkeligheden symboler,

0:00:34.502,0:00:36.252
som kan have forskellige værdier.

0:00:36.252,0:00:38.145
Værdierne af sådanne udtryk kan ændres.

0:00:38.145,0:00:42.201
Vi kan eksempelvis skrive

0:00:42.201,0:00:44.781
x plus 5.

0:00:44.781,0:00:46.647
Det er et algebraisk udtryk,

0:00:46.647,0:00:48.305
som kan have forskellige værdier,

0:00:48.305,0:00:51.466
fordi det afhænger af værdien for x.

0:00:51.466,0:00:56.656
Hvis x er lig med 1,

0:00:56.656,0:01:01.723
hvad er x plus 5 så lig med?[br]

0:01:02.924,0:01:04.125
Det er vores udtryk.

0:01:04.125,0:01:07.070
Når vi sætter 1 ind på x's plads, får vi

0:01:07.070,0:01:08.321
1 plus 5.

0:01:08.321,0:01:11.101
I det tilfælde er x plus 5 altså lig med 6.

0:01:11.101,0:01:16.821
Hvis x er lig med minus 7.

0:01:16.821,0:01:22.183
så er x plus 5 lig med,

0:01:22.183,0:01:24.120
minus 7 plus 5.

0:01:24.120,0:01:28.842
Det giver minus 2.

0:01:28.842,0:01:32.010
Læg mærke til, at x er en variabel.

0:01:32.010,0:01:34.019
x er en variabel,

0:01:34.019,0:01:37.705
og dens værdi kan ændres.

0:01:37.705,0:01:39.946
Den indgår i et udtryk.

0:01:39.946,0:01:42.174
Vi kommer også til at se variable i forbindelse med ligninger.

0:01:42.174,0:01:46.760
Det er faktisk vigtigt at skelne mellem udtryk og ligninger.

0:01:46.897,0:01:51.688
Et udtryk er nogle værdier,[br]som kan udregnes.

0:01:51.734,0:01:54.327
Vi kan skrive nogle udtryk her.

0:01:54.327,0:01:56.639
Vi har allerede set et eksempel på et algebraisk udtryk i den her video.

0:01:56.639,0:01:57.976
Vi har set på x plus 5.

0:01:57.976,0:01:59.260
x plus 5 er et udtryk.

0:01:59.260,0:02:03.559
Værdien af dette udtryk ændres, når værdien af x ændres,

0:02:03.559,0:02:05.745
fordi x er den variable.

0:02:05.745,0:02:09.058
Vi kan udregnet udtrykket for forskellige værdier af x.

0:02:09.058,0:02:11.270
Lad os se på et andet eksempel på et udtryk.

0:02:11.270,0:02:13.150
y plus z er også et udtryk.

0:02:13.150,0:02:14.340
Nu er der kun variable i udtrykket.

0:02:14.340,0:02:16.554
Hvis y er 1, og z er 2,

0:02:16.554,0:02:18.560
så er udtrykket lig med 1 plus 2.

0:02:18.560,0:02:21.392
Hvis y er 0, og z er minus 1,

0:02:21.392,0:02:24.068
så er udtrykket lig med 0 plus minus 1.

0:02:24.068,0:02:25.897
Vi kan udregne dem alle,

0:02:25.897,0:02:27.416
og de giver en værdi,

0:02:27.416,0:02:30.811
der afhænger af værdierne for hver af de to variable,

0:02:30.811,0:02:32.327
som indgår i udtrykket.

0:02:32.327,0:02:35.423
I en ligning er to udtryk sat lig med hinanden.

0:02:35.472,0:02:38.100
Det er derfor de kaldes ligninger.

0:02:38.100,0:02:40.122
Vi sætter to udtryk lig med hinanden.

0:02:40.122,0:02:44.611
I en ligning er et udtryk altså lig med et andet udtryk.

0:02:44.643,0:02:51.914
Vi kunne eksempelvis have ligningen[br]x plus 3 er lig med 1.

0:02:52.062,0:02:54.459
I dette tilfælde har vi en ligning med kun en variabel.

0:02:54.459,0:02:57.883
[br]Vi siger også, at det er en ligning med en ukendt.

0:02:57.883,0:02:59.273
Vi kan faktisk finde ud af,

0:02:59.273,0:03:01.622
hvad x skal være for, at ligningen er opfyldt.

0:03:01.622,0:03:03.210
Vi kan gætte os til svaret.

0:03:03.210,0:03:05.327
Et eller andet tal plus 3 er lig med 1?

0:03:05.327,0:03:06.432
Hvad kan det tal mon være?

0:03:06.432,0:03:08.871
Hvis vi har minus 2 og lægger 3 til, [br]er det lig med 1.

0:03:08.871,0:03:12.033
Ligningen sætter altså nogle begrænsninger for,

0:03:12.033,0:03:15.134
hvilken værdi den variable kan have.

0:03:15.134,0:03:17.411
Det behøver dog ikke nødvendigvis kun være en værdi.

0:03:17.411,0:03:18.932
Vi kan have et udtryk som,

0:03:18.932,0:03:25.734
x plus y plus z er lig med 5.

0:03:25.734,0:03:29.307
I den her ligning er et udtryk igen sat lig med et andet udtryk.

0:03:29.368,0:03:31.645
5 kan her opfattes som et udtryk,

0:03:31.645,0:03:32.901
og der er nogle begrænsninger.

0:03:32.901,0:03:35.004
Hvis nogen fortæller os, hvad y og z er,

0:03:35.004,0:03:36.314
kan vi udregne værdien af x.

0:03:36.314,0:03:38.226
Hvis nogen fortæller os, hvad x og y er,

0:03:38.226,0:03:39.925
kan vi udregne værdien af z.

0:03:39.925,0:03:42.781
Svaret afhænger dog af, hvilke værdier variablerne har.

0:03:42.860,0:03:51.637
Vi kan eksempelvis sige, at y er 3, og z er 2.

0:03:51.637,0:03:53.393
Hvad er x så?

0:03:53.393,0:03:57.255
Hvis y er 3, og z er 2,

0:03:57.255,0:04:00.361
så kan vi regne ud, at udtrykket til venstre bliver:

0:04:00.487,0:04:04.870
x plus 3 plus 2. Det er det samme som x plus 5.

0:04:04.998,0:04:06.813
Den højre side forbliver bare 5.

0:04:06.813,0:04:08.975
x plus 5 er altså lig med 5.

0:04:08.975,0:04:11.198
Et eller andet tal plus 5 er lig med 5?

0:04:11.198,0:04:14.862
Nu er x begrænset til en enkelt værdi.Hvad kan x være?

0:04:14.908,0:04:16.938
x kan kun være 0.

0:04:16.938,0:04:19.050
Det vigtigste er, at vi indser,

0:04:19.050,0:04:20.712
hvad forskellen mellem et udtryk og en ligning er.

0:04:20.803,0:04:23.650
En ligning er to udtryk, som er sat lig med hinanden.

0:04:23.669,0:04:31.291
En vigtig pointe er, at en variabel kan have forskellige værdier.

0:04:31.365,0:04:35.162
For at gøre det helt klart, så lad os udregne nogle udtryk,

0:04:35.218,0:04:38.056
hvor de variable har forskellige værdier.

0:04:38.056,0:04:43.195
Vi har udtrykket

0:04:43.309,0:04:47.799
x opløftet i y.

0:04:47.799,0:04:51.955
Hvis x er lig med 5,

0:04:51.955,0:04:54.311
og y er lig med 2.

0:04:54.311,0:04:55.791
kan vi finde værdien af vores udtryk.

0:04:55.791,0:04:58.908
Hvad er værdien af udtrykket?

0:04:58.908,0:05:02.859
x er 5.

0:05:02.888,0:05:04.363
y er 2.

0:05:04.363,0:05:06.612
Det er altså det samme som x i anden.

0:05:06.612,0:05:08.154
Det kan vi udregne.

0:05:08.154,0:05:09.785
Det giver 25.

0:05:09.785,0:05:11.633
Lad os prøve at ændre de variables værdier.

0:05:11.633,0:05:14.360
Det bruger vi en anden farve til.

0:05:14.360,0:05:16.292
x er nu lig med minus 2,

0:05:16.292,0:05:20.965
og y er lig med 3.

0:05:20.965,0:05:24.772
Vi kan igen udregne værdien

0:05:24.772,0:05:30.331
af vores udtryk.

0:05:30.469,0:05:34.032
Vi skriver minus 2 på x's plads.

0:05:34.032,0:05:36.606
x er nu lig med minuz 2.

0:05:36.705,0:05:38.172
y er 3.

0:05:38.172,0:05:42.080
Vi har derfor minus 2 i tredje.

0:05:42.080,0:05:44.577
Det er det samme som minus 2 gange minus 2 [br]gange minus 2.

0:05:44.577,0:05:46.895
Det er minus 8.

0:05:46.895,0:05:48.567
MInus 2 gange minus 2 er plus 4.

0:05:48.567,0:05:52.154
Plus 4 gange minus 2 er lig med minus 8.

0:05:52.154,0:05:53.367
Det hele er altså lig med minus 8.

0:05:53.367,0:05:55.713
Udtrykkets værdi afhænger af de variables værdier.

0:05:55.713,0:05:58.280
Vi kan også regne nogle endnu sværere udtryk.

0:05:58.280,0:05:59.681
Vi kan tage dette udtryk

0:05:59.681,0:06:06.609
kvadratroden af x plus y, og derefter minus x.

0:06:06.609,0:06:11.878
Vi siger, at x er lig med 1,

0:06:11.878,0:06:16.013
og y er lig med 8.

0:06:16.013,0:06:18.571
Vi kan nu udregne udtrykket.

0:06:18.571,0:06:21.422
Hver gang vi ser et x, indsætter vi 1 i stedet for x,

0:06:21.422,0:06:23.008
Vi har et 1-tal der,

0:06:23.008,0:06:24.812
og vi har et 1-tal til sidst.

0:06:24.812,0:06:26.746
Hver gang vi har et y,

0:06:26.746,0:06:28.413
indsætter vi 8.

0:06:28.413,0:06:30.819
Vi kender værdierne af de variable, og indsætter dem i udtrykket.

0:06:30.819,0:06:32.087
Vi indsætter 8 i stedet for y.

0:06:32.087,0:06:34.611
Under kvadratrodstegnet har vi 1 plus 8.

0:06:34.611,0:06:37.821
Kvadratroden af 9 er 3,

0:06:37.821,0:06:40.974
så vi kan reducere i det her tilfælde.

0:06:40.974,0:06:43.119
Når vi indsætter værdierne for de to variable,

0:06:43.119,0:06:45.586
reduceres kvadratroden til 3,

0:06:45.586,0:06:46.503
fordi 1 plus 8 er 9,

0:06:46.503,0:06:48.685
og kvadratroden af 9 er 3.

0:06:48.685,0:06:50.769
Nu står der 3 minus 1.

0:06:50.769,0:06:52.941
Det er lig med 2.

0:06:52.941,0:06:54.141
Vi er færdige.