V elementární aritmetice počítáme s čísly.
Vidíme 23 plus 5 a víme, co tato čísla znamenají,
takže příklad můžeme spočítat.
Výsledek bude 28.
Můžeme říct 2 krát 7.
Nebo řekněme 3 děleno 4.
Ve všech těchto případech víme přesně,
s jakými čísly pracujeme.
Jakmile vstoupíme do světa algebry,
a možná, že jste se s tím už setkali,
začneme počítat s proměnnými.
Proměnné si můžete představit mnoha způsoby,
ale jsou to vlastně jen čísla,
která se ve výrazu mohou měnit.
Hodnota čísla ve výrazech se může měnit.
Takže například pokud napíši: x plus 5.
Toto se nazývá výraz.
Ten může nabýt nějaké hodnoty v závislosti na tom,
jakou hodnotu má 'x'.
Pokud se 'x' rovná 1,
potom v tomto našem výrazu (x plus 5) se bude 'x' rovnat 1,
protože 'x' je teď 1.
Bude to tedy 1 plus 5.
Takže (x plus 5) se bude rovnat 6.
Pokud 'x' bude například -7,
potom (x plus 5) se bude rovnat ...
Když je 'x' rovno -7, tak to bude -7 plus 5, což je -2.
Takže si všimněte, že 'x' je proměnná,
jejíž hodnota se může měnit podle okolností v rámci daného výrazu.
A to stejné bude platit i u rovnic.
Je důležité si uvědomit rozdíl mezi výrazem
Výraz je ve skutečnosti jen tvrzení o hodnotě.
Tvrzení o nějaké hodnotě veličiny.
Takže toto je VÝRAZ.
A výraz vypadá takto.
Vlastně jsme ho před chvilkou používali.
x plus 5
Hodnota tohoto výrazu se bude měnit v závislosti na hodnotě
A mohli byste si vypočítat hodnoty výrazu pro různé hodnoty 'x'.
Další výraz by mohl být třeba (y plus z)
Teď jsou všechny prvky výrazu proměnné.
Pokud y = 1 a z = 2, pak to bude (1 plus 2).
Pokud y = 0 a z = -1, pak to bude (0 plus -1).
Tyto výrazy mohou být vypočítány
a v podstatě udávají hodnotu v závislosti na hodnotách jednotlivých proměnných,
které výraz tvoří.
V rovnicích v podstatě definujete rovnost výrazů.
Právě proto se jim říká "rovnice".
Je tím řečeno, že dvě věci jsou si rovny.
V rovnici uvidíte, že se jeden výraz rovná druhému výrazu.
Například byste mohli tvrdit, že
x + 3 = 1
A v případě, že máte jednu rovnici,
s pouze jednou neznámou,
tak můžete vypočítat čemu se 'x' musí rovnat,
aby rovnice platila.
A mohli byste to zvládnout i z hlavy.
Jaké číslo plus 3 je rovno 1?
To byste z hlavy mohli spočítat.
Pokud mám (-2 plus 3), pak je to 1.
Takže rovnice vlastně omezuje jakých hodnot může naše proměnná nabývat.
Ale nemusí ji nutně omezovat tolik.
Můžete mít třeba
x + y + z = 5
Máte tedy výraz, který se rovná jinému výrazu.
Pětka vpravo je taky výrazem.
A jsou zde nějaká omezení.
Pokud vám někdo řekne, kolik je 'y' a 'z',
tak pak můžete spočítat kolik je 'x'.
Pokud vám někdo řekne, kolik je 'x' a 'y',
pak je tím vlastně určena hodnota 'z'.
Záleží tedy na různých okolnostech.
Například pokud je 'y' je rovné 3
a 'z' je rovné 2.
Kolik pak bude 'x'?
Tedy pokud y = 3 a z = 2,
potom budete mít na levé straně výraz
x + 3 + 2
což je x + 5
pravá strana je 5
x + 5 = 5
Jaké číslo plus 5 se bude rovnat 5?
Teď vidíme, že 'x' nemůže mít libovolnou hodnotu...
x musí být rovno 0.
Ale důležité je,
že jste si snad uvědomili rozdíl mezi VÝRAZEM a ROVNICÍ.
V rovnici v podstatě dáváte dva výrazy do rovnosti.
Důležitá věc, kterou byste si z této lekce měli odnést je,
že proměnná může nabývat různých hodnot v závislosti na příkladu.
A aby se nám to dostalo do hlavy,
tak si spočítáme pár výrazů,
kdy proměnné nabývají různých hodnot.
Například máme-li výraz,
'x' na 'y', tedy mocninu 'x'
pokud 'x' je rovno 5, x = 5
a 'y' je rovno 2
y = 2
potom náš výraz po dosazení bude,
'x' bude 5
x = 5
'y' bude 2
Bude to druhá mocnina 5
nebo-li to bude 25.
Pokud se změní hodnoty,
pokud bychom řekli,
... udělám to stejnou barvou....
pokud bychom řekli 'x' se rovná... 'x' se rovná -2
a 'y' ... a 'y' se rovná 3,
potom tento výraz bude po dosazení odpovídat,
... udělám to touto barvou...
... bude odpovídat -2.
A když to dosadíme za 'x' v této rovnici
a 'y' je teď 3
- 2 na třetí... třetí mocnina -2
to je -2 krát -2 krát -2, což je -8.
-2 krát -2 je +4
krát -2 je -8.
Je to rovno -8.
Vidíte tedy, že v závislosti na těchto hodnotách
a mohli bychom počítat mnohem složitější věci.
Mohli bychom mít výraz jako,
odmocnina z výrazu x plus y mínus x.
Pokud se 'x' rovná,.... řekněme, že 'x' rovná se 1
a 'y'...'y' bude rovno 8.
Potom by tento výraz odpovídal...
... za všechna 'x' dosadíme 1.
Takže bychom tady měli 1
a zde by také byla 1.
A za všechna 'y' bychom dosadili 8.
Zkrátka dosazujeme za proměnné,
takže zde bychom měli 8.
Pod odmocninou bychom pak měli (1 plus 8).
tedy odmocninu z 9, což je 3.
Celý výraz by se po dosazení zjednodušil.
Proměnné se rovnají těmto hodnotám.
A celý tento výraz se tedy zjednoduší na 3
1 plus 8 je 9
a druhá odmocnina 9 je 3
potom bychom tedy měli (3 mínus 1)
což se rovná 2.