WEBVTT

00:00:00.510 --> 00:00:03.220
Vi skal bevise,

00:00:03.230 --> 00:00:05.120
at motstående vinkler i et parallellogram er kongruente.

00:00:05.130 --> 00:00:10.840
Vi skal bevise, at CAB er kongruent med BDC.

00:00:10.850 --> 00:00:14.240
Den her vinkelen er lik med den her vinkelen,

00:00:14.250 --> 00:00:16.750
og ABD er kongruent med DCA,

00:00:16.760 --> 00:00:18.080
som er her borte.

00:00:18.090 --> 00:00:21.620
For å bevise det skal vi se

00:00:21.630 --> 00:00:24.290
på de parallelle linjene og transversalene,

00:00:24.300 --> 00:00:26.320
som faktisk bytter roller.

00:00:26.330 --> 00:00:28.710
La oss tegne det litt ut,

00:00:28.720 --> 00:00:33.200
så vi kan se transversalene og de parallelle linjer.

00:00:33.210 --> 00:00:36.570
Man kan selv prøve å bevise det,

00:00:36.580 --> 00:00:39.530
for det handler så og si kun om innvendige vinkler

00:00:39.540 --> 00:00:43.310
og tilsvarende vinkler.

00:00:43.320 --> 00:00:46.810
.

00:00:46.820 --> 00:00:50.300
.

00:00:50.310 --> 00:00:54.600
La oss starte her med vinkel BDC.

00:00:54.610 --> 00:00:58.890
.

00:00:58.900 --> 00:01:04.300
Vinkel BCD er en motsatt innvendig vinkel

00:01:04.310 --> 00:01:07.270
sammen med denne vinkelen her.

00:01:07.280 --> 00:01:09.130
.

00:01:09.140 --> 00:01:13.710
Vi kan kalle dette punktet for E.

00:01:13.720 --> 00:01:21.810
Vinkel CBD er kongruent med vinkel EBD

00:01:25.440 --> 00:01:30.460
på grunn av regelen om motsatte innvendige vinkler.

00:01:30.470 --> 00:01:33.020
Det her er en transversal, og de 2 linjene er parallelle.

00:01:33.030 --> 00:01:36.090
AB eller AE er parallell med CD.

00:01:36.100 --> 00:01:37.560
.

00:01:37.570 --> 00:01:40.330
Hvis vi nå i stedet ser

00:01:40.340 --> 00:01:45.220
BD og AC som de parallelle linjene

00:01:45.230 --> 00:01:52.620
og nå ser AB som transversalen, kan vi se,

00:01:52.630 --> 00:01:56.180
at vinkel EBD nå er kongruent med vinkel BAC,

00:01:56.190 --> 00:01:57.920
fordi de er tilsvarende vinkler.

00:01:59.760 --> 00:02:08.890
Vinkel EBD er altså kongruent med vinkel BAC.

00:02:10.540 --> 00:02:17.780
Vi kan også si CAB, da de er tilsvarende vinkler.

00:02:17.790 --> 00:02:19.930
Hvis den her vinkelen er kongruent med den her vinkelen,

00:02:19.940 --> 00:02:21.250
og den her vinkelen er kongruent med den her,

00:02:21.260 --> 00:02:23.140
er de kongruente med hverandre.

00:02:23.150 --> 00:02:28.650
Vinkel CDB eller BDC

00:02:30.130 --> 00:02:35.430
er kongruent med vinkel CAB.

00:02:36.270 --> 00:02:39.160
Nå har vi bevist første del.

00:02:39.170 --> 00:02:40.910
Vi skal nå bruke samme logikk for å bevise,

00:02:40.920 --> 00:02:43.110
at de her 2 er kongruente.

00:02:43.120 --> 00:02:47.880
Vi skal se på den her som en transversal.

00:02:47.890 --> 00:02:51.840
Vi ser AC som er en transversal til AB og CD.

00:02:51.850 --> 00:02:56.900
Vi laget et nytt punkt her.

00:02:56.910 --> 00:02:58.940
Det kaller vi punkt F.

00:02:58.950 --> 00:03:06.160
Vi vet, at ACD er kongruent med FAC,

00:03:06.170 --> 00:03:16.780
fordi de er motsatte innvendige vinkler.

00:03:16.790 --> 00:03:20.250
Nå endrer vi det, så vi ser AC

00:03:20.260 --> 00:03:23.820
og BD som parallelle linjer og AB som transversalen.

00:03:23.830 --> 00:03:31.150
Vinkel FAC er nå kongruent med vinkel ABD,

00:03:31.160 --> 00:03:33.150
fordi det er tilsvarende vinkler.

00:03:33.160 --> 00:03:38.320
FAC er kongruent med ABD,

00:03:38.330 --> 00:03:40.390
og de tilsvarende vinkler.

00:03:40.400 --> 00:03:43.740
Først så vi AV som transversal til

00:03:43.750 --> 00:03:47.550
AB og CD, som er parallelle.

00:03:47.560 --> 00:03:52.700
Nå er AB transversalen, mens BD og AC er de parallelle linjene.

00:03:52.710 --> 00:03:55.320
Hvis den her er kongruent med den her, og den her er kongruent med den her,

00:03:55.330 --> 00:03:58.270
så er de her 2 kongruente med hverandre.

00:03:58.280 --> 00:04:01.530
Derfor er det motstående vinkler

00:04:01.540 --> 00:04:05.450
kongruente med hverandre

00:04:05.460 --> 00:04:07.390
i et parallellogram.