WEBVTT

00:00:00.664 --> 00:00:04.435
Poprzednio mówiliśmy trochę
o procencie składanym.

00:00:04.535 --> 00:00:09.193
Omówiliśmy przykład
z kapitalizacją roczną, nie ciągłą,

00:00:09.293 --> 00:00:11.447
którą oferuje większość banków;

00:00:11.547 --> 00:00:15.000
chciałem, byście zrozumieli,
że choć zasada jest prosta…

00:00:15.100 --> 00:00:18.409
Co roku dostajecie 10% sumy,
z którą rok zaczynaliście,

00:00:18.509 --> 00:00:23.278
a odsetki są „składane”, bo po roku,
prócz procentu od pierwotnego depozytu

00:00:23.378 --> 00:00:27.662
dostajecie odsetki od odsetek
z poprzednich lat.

00:00:27.762 --> 00:00:29.744
Dlatego to odsetki składane.

00:00:29.844 --> 00:00:33.924
I chociaż zasada jest dość prosta,
z obliczaniem może być kłopot.

00:00:34.024 --> 00:00:39.381
Mając porządny kalkulator,
coś obliczycie (jeśli wiecie, jak),

00:00:39.481 --> 00:00:42.926
ale praktycznie nie da się
zrobić tego w pamięci.

00:00:43.026 --> 00:00:46.138
Pod koniec poprzedniego odcinka
powiedzieliśmy:

00:00:46.238 --> 00:00:50.979
„Jeśli mam 100$ i dostaję 10% rocznie”,
stąd ta jedynka,

00:00:51.079 --> 00:00:55.232
„to kiedy ta suma się podwoi?”.
I napisałem takie równanie.

00:00:55.332 --> 00:00:56.749
Żeby je rozwiązać…

00:00:56.849 --> 00:01:02.624
Jak już mówiłem, większość kalkulatorów
nie obliczy logarytmu o podstawie 1,1.

00:01:02.724 --> 00:01:07.384
Można też napisać: x to
logarytm o podstawie 10 z 2,

00:01:07.484 --> 00:01:10.936
podzielić przez
logarytm o podstawie 1,1 z 2.

00:01:11.036 --> 00:01:14.555
To inny sposób na obliczenie
logarytmu o podstawie 1,1 z 2.

00:01:14.655 --> 00:01:19.721
Mówię to… Przepraszam. To powinien
być logarytm o podstawie 10 z 1,1.

00:01:19.821 --> 00:01:23.859
A większość kalkulatorów ma tylko
funkcję logarytmu o podstawie 10.

00:01:23.959 --> 00:01:26.776
Te wyrażenia są równoważne.

00:01:26.876 --> 00:01:30.395
Aby powiedzieć, kiedy wkład
podwoi się, przy 10% rocznie,

00:01:30.495 --> 00:01:34.087
trzeba by wpisać to w kalkulator,
spróbujmy…

00:01:34.187 --> 00:01:37.430
Spróbujmy od razu. Mamy tu 2,

00:01:37.964 --> 00:01:39.756
wyznaczymy logarytm…

00:01:39.856 --> 00:01:43.103
To jest 0,3 podzielone przez…

00:01:43.203 --> 00:01:46.486
podzielone przez…
W nawiasie, dla jasności.

00:01:46.656 --> 00:01:50.109
Podzielone przez 1,1 i logarytm z tego.

00:01:50.209 --> 00:01:52.268
Zamykam nawias…

00:01:53.022 --> 00:01:58.677
To się równa 7,27 roku.
W przybliżeniu, 7,3 roku.

00:01:58.777 --> 00:02:02.717
To się równa około 7,3 roku.

00:02:02.817 --> 00:02:06.618
Jak widzieliśmy ostatnio,
nie jest to łatwe;

00:02:06.718 --> 00:02:11.080
nawet jeśli rozumiecie wzór,
trudno jest obliczyć to w głowie.

00:02:11.180 --> 00:02:13.049
To prawie niemożliwe.

00:02:13.149 --> 00:02:17.864
Podam wam więc zasadę,
która pozwoli oszacować,

00:02:17.964 --> 00:02:21.502
ile trzeba czasu,
by podwoił się wkład.

00:02:21.602 --> 00:02:22.993
Ta zasada…

00:02:23.123 --> 00:02:26.448
nazywa się regułą 72.

00:02:26.548 --> 00:02:30.000
Czasami to reguła 70 lub reguła 69,

00:02:30.100 --> 00:02:33.212
ale najbardziej typowa
jest reguła 72,

00:02:33.312 --> 00:02:36.397
zwłaszcza gdy mówimy
o kapitalizacji odsetek

00:02:36.497 --> 00:02:39.037
okresowej, a nie ciągłej.

00:02:39.137 --> 00:02:44.048
Tam lepiej sprawdzi się 69 lub 70;
zaraz objaśnię, o co chodzi.

00:02:44.148 --> 00:02:46.022
Odpowiedzmy na to samo pytanie.

00:02:46.122 --> 00:02:51.107
Mam odsetki 10%,
kapitalizowane rocznie.

00:02:52.129 --> 00:02:56.000
Kapitalizowane rocznie.

00:02:56.866 --> 00:02:59.397
10%, kapitalizacja roczna.

00:02:59.497 --> 00:03:04.102
Za pomocą reguły 72 oszacuję,
kiedy mój wkład się podwoi.

00:03:04.202 --> 00:03:06.200
Dosłownie – biorę 72.

00:03:06.647 --> 00:03:09.498
Biorę 72. Stąd nazwa „reguła 72”.

00:03:09.598 --> 00:03:13.120
Dzielę tę liczbę przez stopę
procentową. To jest 10.

00:03:13.220 --> 00:03:15.488
W zapisie dziesiętnym – 0,1.

00:03:15.588 --> 00:03:17.787
10 ze stu. 10%.

00:03:17.887 --> 00:03:22.663
72 podzielić przez 10 to 7,2.

00:03:22.763 --> 00:03:25.589
Kapitalizacja roczna,
więc 7,2 roku.

00:03:25.689 --> 00:03:29.792
Przy 10% z kapitalizacją miesięczną
uzyskalibyśmy 7,2 miesiąca.

00:03:29.892 --> 00:03:31.728
Zatem – 7,2 roku,

00:03:31.828 --> 00:03:36.912
a to bardzo blisko tego,
co wyliczyliśmy skomplikowanym wzorem.

00:03:37.396 --> 00:03:41.541
Podobnie… Powiedzmy, że kapitalizuję…
Rozwiążmy inne zadanie.

00:03:41.641 --> 00:03:48.225
Powiedzmy, że jest 6%.
6%, kapitalizacja roczna.

00:03:49.188 --> 00:03:53.174
Kapitalizacja roczna.

00:03:55.334 --> 00:03:58.794
Stosując regułę 72,

00:03:58.894 --> 00:04:04.575
dzielę 72 przez 6 i uzyskuję…

00:04:04.675 --> 00:04:07.633
6 mieści się w 72 12 razy,

00:04:07.733 --> 00:04:11.131
zatem trzeba będzie 12 lat,
by mój wkład się podwoił.

00:04:11.231 --> 00:04:14.742
Jeśli dostaję 6%
przy kapitalizacji rocznej.

00:04:14.842 --> 00:04:18.971
Wypróbujmy to.
Poprzednio poznaliśmy inny sposób:

00:04:19.072 --> 00:04:25.450
powiedzmy, że x… Rozwiązanie
powinno być bliskie logarytmowi…

00:04:25.550 --> 00:04:30.048
o dowolnej podstawie z dwóch,
podzielonemu przez…

00:04:30.148 --> 00:04:34.154
stąd podwojenie kwoty.
„2” to „2 razy więcej pieniędzy”.

00:04:34.254 --> 00:04:37.939
I dzielimy to przez logarytm
o takiej samej podstawie, 10,

00:04:38.039 --> 00:04:42.122
ale w tym przypadku zamiast
1,1 mamy 1,06.

00:04:42.222 --> 00:04:44.703
Już widać, że będzie trochę trudniej.

00:04:44.803 --> 00:04:46.093
Wyciągnę kalkulator.

00:04:46.975 --> 00:04:50.408
Mamy więc logarytm z dwóch

00:04:50.508 --> 00:04:55.055
podzielony przez 1,06,

00:04:55.155 --> 00:04:56.723
też logarytm,

00:04:57.299 --> 00:05:02.997
a jest to równe 11,89
- czyli jakieś 11,9.

00:05:03.097 --> 00:05:06.967
Po zastosowaniu wymyślnego wzoru
uzyskaliśmy 11,9.

00:05:07.067 --> 00:05:09.963
Jak widzicie, to dobre przybliżenie,

00:05:10.063 --> 00:05:15.118
a ten wzór jest naprawdę
znacznie prostszy niż ten.

00:05:15.218 --> 00:05:17.834
Większość z nas obliczy to w pamięci.

00:05:17.934 --> 00:05:20.412
I można zaimponować znajomym!

00:05:20.512 --> 00:05:24.236
Żeby lepiej zobaczyć,
jak trafna jest ta liczba 72,

00:05:24.336 --> 00:05:27.992
wprowadziłem to
do arkusza kalkulacyjnego.

00:05:28.092 --> 00:05:31.109
Powiedziałem: „Tu mamy
różne stopy procentowe.

00:05:31.209 --> 00:05:33.902
A to czas potrzebny
do podwojenia wkładu.

00:05:34.002 --> 00:05:37.130
Używam tego wzoru,

00:05:37.230 --> 00:05:41.244
by obliczyć dokładną liczbę okresów
potrzebnych do podwojenia środków.

00:05:41.344 --> 00:05:45.141
Jednostką niech będą lata,
przy kapitalizacji rocznej,

00:05:45.241 --> 00:05:48.694
Przy 1% do podwojenia wkładu
trzeba 70 lat.

00:05:48.794 --> 00:05:52.238
Przy 25% wystarczy
nieco ponad trzy lata.

00:05:52.338 --> 00:05:55.094
To jest prawdziwe, poprawne…

00:05:55.323 --> 00:05:56.611
poprawne.

00:05:57.117 --> 00:06:00.513
Zakreślę na niebiesko.

00:06:00.613 --> 00:06:04.437
To jest właściwa liczba.

00:06:04.537 --> 00:06:05.655
Prawdziwa.

00:06:08.627 --> 00:06:11.261
Tu mamy prawdziwe wartości.

00:06:12.099 --> 00:06:13.268
Naniosłem to tutaj.

00:06:13.368 --> 00:06:16.883
Niebieska linia
przedstawia rzeczywiste wyniki.

00:06:16.983 --> 00:06:20.923
Nie naniosłem wszystkich punktów.
Zacząłem od 4%.

00:06:21.023 --> 00:06:22.792
Jeśli weźmiemy 4%…

00:06:22.892 --> 00:06:26.031
trzeba 17,6 roku,
by wkład się podwoił.

00:06:26.131 --> 00:06:31.813
4% - to 17,6 roku na podwojenie.
To ten punkt na niebieskiej linii.

00:06:31.913 --> 00:06:34.321
Przy 5% trzeba…

00:06:34.421 --> 00:06:38.640
trzeba 14 lat, by wkład się podwoił.

00:06:38.740 --> 00:06:40.497
To także pokazuje,

00:06:40.597 --> 00:06:44.607
że każdy procent ma znaczenie
w przypadku odsetek składanych.

00:06:44.707 --> 00:06:48.021
Przy 2% trzeba 35 lat,
by wkład się podwoił.

00:06:48.121 --> 00:06:51.991
1% to 70 lat. Pieniądze
podwajają się dwa razy szybciej.

00:06:52.091 --> 00:06:54.506
To ważne, zwłaszcza gdy myślicie

00:06:54.606 --> 00:06:57.494
o podwojeniu,
lub nawet potrojeniu wkładu.

00:06:57.594 --> 00:06:59.254
A teraz – na czerwono…

00:06:59.354 --> 00:07:01.326
tutaj, na czerwono,

00:07:01.426 --> 00:07:04.809
napisałem,
ile przewiduje reguła 72.

00:07:04.909 --> 00:07:09.824
Jeśli weźmiecie 72 i podzielicie
przez 1%, to uzyskacie 72.

00:07:09.924 --> 00:07:12.727
72 podzielone przez 4 to 18.

00:07:12.827 --> 00:07:15.722
Reguła 72 mówi,

00:07:15.822 --> 00:07:19.135
że trzeba 18 lat, by wkład
podwoił się przy stopie 4%.

00:07:19.235 --> 00:07:24.015
A rzeczywista odpowiedź to 17,7 lat.
Bardzo blisko!

00:07:24.115 --> 00:07:27.193
To właśnie zakreślam na czerwono.

00:07:27.866 --> 00:07:31.279
Jak widzicie,
przedstawiłem to na wykresie.

00:07:31.379 --> 00:07:33.128
Krzywe są blisko siebie.

00:07:33.228 --> 00:07:35.520
Przy niskich stopach procentowych

00:07:35.620 --> 00:07:39.739
przy niskich stopach, czyli tutaj,

00:07:39.839 --> 00:07:41.589
reguła 72…

00:07:41.689 --> 00:07:45.420
Reguła 72 lekko,
nieznacznie przeszacowuje,

00:07:45.520 --> 00:07:47.378
ile potrwa podwajanie wkładu.

00:07:47.478 --> 00:07:53.060
A przy wyższych stopach procentowych
ten czas jest lekko niedoszacowany.

00:07:53.160 --> 00:07:57.518
Zastanawiacie się, czy 72
to naprawdę najlepsza liczba?

00:07:57.618 --> 00:08:00.753
Ja to przemyślałem.
Jeśli weźmiemy stopę procentową

00:08:00.853 --> 00:08:03.671
i pomnożymy ją
przez czas podwajania się wkładu…

00:08:03.771 --> 00:08:07.386
Tu są wyniki. Przy niskich
stopach procentowych działa 69.

00:08:07.486 --> 00:08:10.103
Przy bardzo wysokich sprawdzi się 78.

00:08:10.203 --> 00:08:13.934
Ale 72 to całkiem niezłe przybliżenie.

00:08:14.034 --> 00:08:19.995
Bardzo dobrze się sprawdziło
od 4% do 25%.

00:08:20.095 --> 00:08:24.732
Z takimi stopami na ogół będzie mieć
do czynienia większość z was.

00:08:24.832 --> 00:08:28.191
Oby się wam przydał
ten prosty sposób wyliczania,

00:08:28.291 --> 00:08:30.212
kiedy podwoi się wkład.

00:08:30.312 --> 00:08:33.068
Jeszcze jeden przykład,
dla zabawy. Mam…

00:08:33.168 --> 00:08:36.899
Mam… nie wiem… 4…
nie, to już robiłem.

00:08:36.999 --> 00:08:39.964
Powiedzmy, że mam 9%

00:08:41.171 --> 00:08:45.908
z kapitalizacją roczną.
Kiedy pieniądze się podwoją?

00:08:46.008 --> 00:08:49.972
72 podzielone przez 9

00:08:50.072 --> 00:08:55.127
to 8 lat. Trzeba ośmiu lat, 
żeby wkład się podwoił.

00:08:55.227 --> 00:08:56.798
A prawdziwa odpowiedź…

00:08:56.898 --> 00:09:00.281
To była przybliżona,
przy użyciu reguły 72.

00:09:00.381 --> 00:09:04.809
Prawdziwa odpowiedź
przy 9% to 8,04 roku.

00:09:04.909 --> 00:09:09.407
Licząc w pamięci, dokonaliśmy
bardzo dobrego przybliżenia!