V předchozím videu jsme se podívali na to,
co to je složené úročení a jako příklad jsme si uvedli úrok,
který se připisuje každoročně, ne průběžně, jako se to běžně dělá v bankách.
Co bych však chtěl zdůraznit je to,
že i když se jedná o jednoduchý princip...
každý rok dostanete 10 % z toho, co jste měli začátkem onoho roku.
To znamená, že další rok dostanete
10 % nejen z vašeho původního vkladu, ale i z toho úroku,
který vám byl připsán v předchozích letech.
Právě proto tento typ úročení nazýváme složené.
...a i když se jedná o jednoduchý princip,
viděli jsme, že u počítání se můžeme trošku zapotit.
S dobrou kalkulačkou sice některé příklady spočítat lze, pokud víte jak,
ale spočítat je v hlavě je téměř nemožné.
Například na konci předchozího videa jsme měli příklad,
kde jsme úročili 100 dolarů s úrokem 10 % ročně...
od toho tady máme tuhle jedničku
...a otázkou bylo, "za jak dlouho se těch původních 100 dolarů zdvojí?"
a skončili jsme s touto rovnici.
Jelikož většina kalkulaček neumí počítat logaritmy při základu 1,1,
abychom tuto rovnici vyřešili, můžeme si tento výraz přepsat na
x se rovná dekadickému logaritmu ze 2 děleno dekadickým logaritmem z 1,1.
Je to pouze jiný způsob výpočtu logaritmu při základu 1,1 ze 2.
OPRAVOVÁNÍ CHYBY
Tohle zmiňuji, protože většina kalkulaček umí počítat s dekadickými logaritmy.
Tyhle dva výrazy jsou ekvivalentní, což už jsem dokázal v jiných videích.
Takže abychom dovedli říci, za jak dlouho se nám při úroku 10 % za rok
zdvojí původní vklad, zadáme tento výraz do kalkulačky...
tady si to spočítáme
...takže máme logaritmus ze 2, což je 0,3, a to vydělíme logaritmem z 1,1,
a to se rovná 7,27, takže zhruba 7,3 roky.
Tohle se rovná zhruba 7,3 rokům.
A jak jsme si řekli v předchozím videu,
odvodit tenhle výraz není úplně snadné, ale i když rozumíte všem těmto krokům,
vůbec není jednoduché výsledek spočítat v hlavě.
Je to dokonce skoro nemožné.
Takže to, co vám chci ukázat, je způsob, jak odhadnout odpověď na tuhle otázku,
"Jak dlouho vám bude trvat, než zdvojnásobíte svůj vklad?"
Tomuhle způsobu říkáme pravidlo 72, popřípadě pravidlo 70 nebo 69.
Obvykle však narazíte na název pravidlo 72,
především když se jedná o úročení po několik celých úrokovacích období.
U průběžného úročení je to spíše ono pravidlo 69 nebo 70.
Hned vám vysvětlím, co to všechno znamená.
Takže abychom odpověděli na onu otázku,
řekněme, že máme úrokovou sazbu 10 % a úrokovací období 1 rok.
MOŽNÁ ÚPLNĚ VYNECHAT?
Jednoduše vezmu 72 (proto pravidlo 72), vydělím ho úrokovou sazbou v procentech,
tedy v tomto případě vydělím 72 číslem 10. 10 % by se obvykle napsalo jako 0,1,
ale jelikož dělím sazbou v procentech, tak to číslo nechám, jak je.
Takže 72 děleno 10, a to se rovná 7,2 roky.
Kdyby se nám peníze úročily měsíčně, tak by to bylo 7,2 měsíce.
Každopádně, vyšlo nám 7,2 roky a to je proklatě blízko oněm 7,3 rokům,
které nám vyšly předtím, kdy jsme se s tím museli složitě počítat.
Půjdeme na další příklad.
Řekněme, že máme úrokovou sazbu 6 % a úrokovací období 1 rok.
Abychom použili pravidlo 72, jednoduše vydělíme 72 číslem 6
a dostaneme číslo 12.
Tudíž bude trvat 12 let, než se nám zdvojnásobí původní vklad
při sazbě 6 % a úrokovacím období 1 rok.
Zkontrolujeme si to.
Minule jsme se naučili jiný způsob, jak takovýto příklad spočítat,
a to sice, že si položíme logaritmus při libovolném základu ze 2...
ze 2 proto, že chceme zDVOJnásobit náš vklad
...a ten vydělíme logaritmem při tom samém základu z...
a v tomhle případě to nebude 1,1, ale 1,06
...a jak už můžete vidět, tenhle způsob je o něco složitější.
Vezmeme si kalkulačku a zadáme
logaritmus ze 2 děleno logaritmus z 1,06. To vyjde 11,89, zhruba 11,9.
Po všem tomhle složitém počítání nám tedy vyjde 11,9.
Opět se můžete přesvědčit, že se jedná o velmi dobrý odhad.
A spočítat to vlevo je výrazně jednodušší, než se počítat s tím vpravo,
dokonce bych řekl, že to vlevo většina lidí zvládne spočítat v hlavě...
možná byste takhle mohli zkusit na někoho zapůsobit//MOŽNÁ VYNECHAT?
...a abychom se ještě utvrdili v tom, jak šikovné tohle pravidlo je,
tak jsem si připravil tuhle tabulku.
Úplně vlevo jsou různé úrokové sazby.
Ve druhém sloupci zleva je doba, za kterou se mi skutečně zdvojnásobí vklad.
K tomu jsem použil tu rovnici s logaritmy, abych zjistil, jak přesně dlouhá bude doba
ke zdvojení původního vkladu.
V tomhle případě úročíme ročně, takže jednotka je jeden rok.
Tedy při sazbě 1% by nám zdvojení vkladu trvalo nějakých 70 let,
při sazbě 25 % by nám to trvalo jen něco málo přes 3 roky.
V tom druhém sloupci tedy máme skutečnou dobu, označím ho modře.
Také jsem si k tomu vytvořil graf, modrá křivka spojuje skutečné hodnoty.
Nezakreslil jsem tam úplně všechno, začal jsem až u sazby 4 %.
Při sazbě 4 % bude trvat 17,6 let, než se náš vklad zdvojnásobí.
Při sazbě 4 % je to 17,6 let, je to tenhle modrý bod úplně vlevo.
Při sazbě 5 % bude trvat 14 let, než se náš vklad zdvojnásobí.
Tohle vám také pomůže si uvědomit, že když jde o složené úročení,
každé procento sazby je znát.
Při sazbě 2 % to trvá 35 let, při sazbě 1% to trvá 70 let,
váš vklad se vám při 2 % zdvojí v poloviční době než při 1 %.
Je to tedy opravdu důležitá věc, zvláště, když chcete svůj vklad výrazně znásobit.
Jdeme dál, ve třetím sloupci zleva, označím si ho červeně,
jsem si zapsal odhady, které jsem získal použitím pravidla 72.
Tudíž když 72 vydělíme 1 %, dostaneme 72.
Když 72 vydělíme 4 %, dostaneme 18.
Pravidlo 72 nám říká, že bude trvat 18 let, než se zdvojnásobí náš vklad.
při úrokové sazbě 4 %.
Ve skutečnosti to bude trvat 17,7 let, což je ovšem opravdu blízko.
Tyto odhady jsem tedy označil červeně.
Z těchto hodnot jsem také vytvořil křivku a můžeme vidět, že si jsou velmi podobné.
Pro nízké úrokové sazby platí, že
pravidlo 72 lehce nadhodnocuje dobu ke zdvojení vkladu,
kdežto u vyšších sazeb ji naopak lehce podhodnocuje.
Kdybyste měli pochybnosti o tom, jestli je 72 skutečně to nejlepší číslo,
k tomu jsem připravil ten poslední sloupec.
Vynásobíme úrokovou sazbu a skutečný čas ke zdvojení (modrá)
a vyjde nám několik různých čísel.
Pro nízké sazby se pohybujeme okolo 69, pro hodně vysoké okolo 78.
Celkově je však poměrně dobrý odhad právě 72.
Můžeme vidět, že 72 funguje dobře jak u sazby 4 %, tak u sazby 25 %.
Většina z nás se většinu života bude potýkat právě s takovými sazbami.
Snad se vám tohle bude hodit,
je to vážně snadný způsob jak zjistit, za jak dlouho se nám zdvojí vklad.
Zkusíme ještě jeden příklad.
Máme úrokovou sazbu 9 % s úrokovacím obdobím 1 rok.
Za jak dlouho se nám zdvojí náš vklad?
Jednoduše, 72 děleno 9 se rovná 8 let,
za 8 let se nám zdvojí náš vklad.
Tohle byl jen odhad pomocí pravidla 72, skutečná hodnota je 8,04 let.
Opět jsme tedy byli schopni z hlavy udělat velmi přesný odhad.