Lad os sige, jeg har en pose og
jeg lægger nogle grønne terninger i posen
helt præcist 8 grønne terninger.
Jeg putter også nogle kugler i posen.
Lad os sige, jeg putter 9 kugler i.
Dette er de grønne kugler.
Jeg putter også gule terninger i posen.
Jeg putter 5 af dem.
Jeg putter også gule kugler i posen.
Lad os sige, vi tager 7 af dem.
Jeg har dem alle i den samme posen
og så ryster jeg posen og
hælder indholdet ud og ser hvilket objekt der først falder ud af posen.
Det vi skal se på i denne video er:
Hvad er sandsynligheden for at få de forskellige figurer?
Hvad er for eksempel sandsynligheden for
at få en terning i hvilken som helst farve?
Hvad er sandsynligheden for at få en terning?
En måde at gøre det på er,
at finde ud af,
hvor mange lige sandsynlige udfald er der?
Vi har 8 + 9 er 17 + 5 er 22 + 7 er 29.
Vi har altså 29 objekter i posen.
Gjorde jeg det rigtigt?
Her er 14, ja, der er 29 objekter.
Lad os tegne alle de mulige udfald.
De er repræsenteret af denne firkant.
Det her er de forskellige mulige objekter.
Der er 29 objekter.
Der er 29 lige sandsynlige udfald i mit eksperiment,
der kan komme ud af posen, når jeg tømmer den.
Hvis vi går ud fra, at der er lige stor chance for at få en terning og en kugle.
Hvor mange af dem er terninger?
Jeg har 8 grønne terninger og 5 gule terninger.
Der er 13 terninger i alt.
Lad os tegne hændelsen terning.
Der er 13 terninger
Lad os tegne dem sådan her
Der er 13 terninger.
Dette er hændelsen terning.
Området, i ikke korrekt skala, repræsenterer hændelsen terning.
Sandsynligheden for at få en terning er
antallet af ønskede udfald over…
Der er 13 mulige terninger, som alle er lige sandsynlige for at komme ud af posen.
…over antallet af lige sandsynlige udfald, som er 29 terninger og kugler.
Lad mig stille et nyt spørgsmål.
Hvad er sandsynligheden for at få gul?
Et gult objekt, en terning eller en kugle.
Hvor mange objekter opfylder vores krav?
Vi har 5 plus 7, så 12 gule objekter i posen.
Der er 29 lige sandsynlige udfald
--Jeg bruger samme farve--
Ud af 29 lige sandsynlige udfald er der 12 der opfylder vores krav.
Jeg tegner 12 her.
Dette er hændelsen af gule objekter
og der er 12 gule objekter.
Vi har 12 ud af de i alt 29 udfald.
Sandsynligheden for at få terning er 13/29.
Sandsynligheden for at få gul er 12/29.
Lad os stille et mere interessant spørgsmål.
Hvad er sandsynligheden for, at få en gul terning?
Jeg viser det med en gul terning, da farven nu er vigtig.
Hvad er sandsynligheden for at få en gul terning?
Der er 29 lige sandsynlige udfald.
Ud af de 29 lige sandsynlige udfald er der 5 gule terninger.
Sandsynligheden er 5/29.
Hvor kan vi se det i dette Venn diagram?
Et Venn diagram er blot en måde at visualisere sandsynligheder,
og det er interessant, når hændelser overlapper eller ikke overlapper.
Nu skal vi bruge udfald, der er i den gule hændelse,
så de er i denne hændelse
og udfald der er terninger.
Det område lige her, hvor de to hændelser overlapper.
Dette område repræsenterer udfald,
der både er gule og terninger,
da de er i begge cirkler.
Lad mig skrive det herover.
Der er 5 objekter, der er både gule og terninger.
Lad os nu spørge, og det her er nok det mest interessante at spørge om.
Hvad er sandsynligheden for at få gul eller terning i enhver farve?
Vi ved, nævneren stadig er 29.
Det er alle de mulige udfald i posen,
men hvilke af dem opfylder vores krav?
En måde at anskue det på er
:
Der er 12 ting der møder kriteriet om at være gult
Det er altså hele denne cirkel her
12 objekter
.
Det er antallet af gule udfald.
og oveni dette kan vi IKKE bare lægge antallet af terninger
da vi allerede har tilføjet det antal
vi har allerede tilføjet de 5
De 5 er altså en del af de 12
En måde at se det på er
at der er 7 gule objekter der ikke er terninger
Der er kuglerne
Der er 5 objekter der er terninger
og så er der 8 terninger der IKKE er gule
Det er en måde at se det på.
Så når vi tæller disse 12, antallet af gule,
talte vi alt det her
Vi kan ikke bare lægge alle terningerne til de 12
for så ville vi tælle de midterste med igen
Vi skal altså tælle antallet af terninger
som er 13
.
og trække de midterste fra
.
Vi trækker de midterste fra
altså minus 5
Det er altså antallet af gule terninger
Det føles underligt at skrive ordet gul med grønt
.
Vi kan også bare gøre det matematisk
12 plus 13 minus 5 er hvad? Det er 20
.
Det er en måde altså 20 ud af 29
Men hvad der er mere interessant er at
udtrykke hvad de andre sandsynligheder er
som vi fandt ud af tidligere i videoen
.
Vi kan genskrive den brøk herovre
som 12/29 plus 13/29 minus 5/29
og det er det totale antal af gule udfald
Det her var sandsynligheden for at få en gul
Det her var antallet af terninger og det totale antal udfald
Og det her er sandsynligheden for at få en terning
.
Og det her var sandsynligheden for at få en gul terning over det totale antal udfald
og det her var
minus muligheden for at få en gul og en terning
jeg kan skrive det på denne måde
Sandsynligheden for gul, gul skrevet med gul,
.
gul og at få en terning
Så det vi har her
og man kan lege med tallene
tallene jeg lige brugte som eksempel.
For at være mere konkret.
Men du kan se at det er generaliserbar ting
Hvis vi har sandsynligheden for et udfald eller et antal af udfald
lad os omskrive det
Sandsynligheden og jeg vil være lidt mere generel her
for det giver os en god ide om sandsynlighed
sandsynligheden for at få et udfald
af et særligt objekt, som er en del af A eller en del af B
er det samme som sandsynligheden for noget i A
plus sandsynligheden for noget i B
minus sandsynligheden for at få noget der tilhører både A og B
minus sandsynligheden for at det er en del af begge.
Det her er et meget brugbart resultat
og jeg tror at man sommetider kalder dette for "additionsregler for sandsynlighedsregning"
Men jeg vil lige vise jer noget der er helt almindelig sund fornuft
grunden til at man ikke bare kan lægge disse to sandsynligheder sammen
er at de måske har en fællesmængde
Der er en mulighed for at få begge dele
og hvis man bare lægger dem sammen
ville man tilføje fællesmængden flere gange
som vi allerede så tidligere i denne video
Man skal altså huske at trække den ene del af fællesmængden fra
så man ikke tæller den dobbelt.
Jeg vil komme med en ide mere
nogen gange har man ingen fællesmængde
Lad os sige at det her er
er en firkant med alle sandsynligheder
og det her er A
Det her er udfald der hører til A
og det her, jeg laver det lige i en anden farve
Det her er udfald der hører til B
I denne situation er der ingen fællesmængde
Der er ikke noget der er en del af A og B
I denne situation er sandsynligheden for at få noget fra A og B 0
Der er ingen fællesmængde
og den type udfald, eller disse to mængder
kalder man
"gensidigt udelukkende"
så hvis de er gensidigt udelukkende
kan de ikke forekomme på samme tid
der er altså intet udfald der dækker både A og B
og hvis ting er gensidigt udelukkende
så kan man ikke sige at sandsynligheden for A eller B er sandsynlighed A plus sandsynlighed B
fordi den ikke eksisterer
men hvis ting ikke er gensidigt udelukkende
skulle man trække fællesmængden fra
og det letteste, og den bedste måde at tænke over det på,
er at man altid skal trække fællemængden fra
og hvis ting er gensidigt udelukkende
er sandsynligheden for at få A og B naturligvis 0
.