WEBVTT

00:00:00.015 --> 00:00:02.250
Lad os sige, jeg har en pose og

00:00:02.250 --> 00:00:06.582
jeg lægger nogle grønne terninger i posen

00:00:06.582 --> 00:00:11.505
helt præcist 8 grønne terninger.

00:00:11.505 --> 00:00:15.613
Jeg putter også nogle kugler i posen.

00:00:15.613 --> 00:00:18.408
Lad os sige, jeg putter 9 kugler i.

00:00:18.408 --> 00:00:20.178
Dette er de grønne kugler.

00:00:20.178 --> 00:00:25.106
Jeg putter også gule terninger i posen.

00:00:25.106 --> 00:00:27.795
Jeg putter 5 af dem.

00:00:27.795 --> 00:00:32.664
Jeg putter også gule kugler i posen.

00:00:32.664 --> 00:00:34.830
Lad os sige, vi tager 7 af dem.

00:00:34.830 --> 00:00:36.502
Jeg har dem alle i den samme posen

00:00:36.502 --> 00:00:37.800
og så ryster jeg posen og

00:00:37.800 --> 00:00:43.077
hælder indholdet ud og ser hvilket
objekt der først falder ud af posen.

00:00:43.077 --> 00:00:45.667
Det vi skal se på i denne video er:

00:00:45.667 --> 00:00:48.375
Hvad er sandsynligheden for
at få de forskellige figurer?

00:00:48.375 --> 00:00:52.085
Hvad er for eksempel sandsynligheden for

00:00:52.085 --> 00:00:56.075
at få en terning i hvilken som helst farve?

00:00:56.075 --> 00:00:58.800
Hvad er sandsynligheden
for at få en terning?

00:00:58.800 --> 00:01:00.835
En måde at gøre det på er,

00:01:00.835 --> 00:01:02.767
at finde ud af,

00:01:02.767 --> 00:01:06.387
hvor mange lige sandsynlige udfald er der?

00:01:06.387 --> 00:01:12.392
Vi har 8 + 9 er 17 + 5 er 22 + 7 er 29.

00:01:12.392 --> 00:01:15.894
Vi har altså 29 objekter i posen.

00:01:15.894 --> 00:01:17.063
Gjorde jeg det rigtigt?

00:01:17.063 --> 00:01:19.023
Her er 14, ja, der er 29 objekter.

00:01:19.023 --> 00:01:21.665
Lad os tegne alle de mulige udfald.

00:01:21.665 --> 00:01:27.126
De er repræsenteret af denne firkant.

00:01:27.126 --> 00:01:29.600
Det her er de forskellige mulige objekter.

00:01:29.600 --> 00:01:31.800
Der er 29 objekter.

00:01:31.800 --> 00:01:36.380
Der er 29 lige sandsynlige udfald
i mit eksperiment,

00:01:36.380 --> 00:01:38.520
der kan komme ud af posen,
når jeg tømmer den.

00:01:38.520 --> 00:01:42.335
Hvis vi går ud fra, at der er lige stor
chance for at få en terning og en kugle.

00:01:42.335 --> 00:01:45.517
Hvor mange af dem er terninger?

00:01:45.517 --> 00:01:49.696
Jeg har 8 grønne terninger
og 5 gule terninger.

00:01:49.696 --> 00:01:52.327
Der er 13 terninger i alt.

00:01:52.327 --> 00:01:54.595
Lad os tegne hændelsen terning.

00:01:54.595 --> 00:01:56.467
Der er 13 terninger

00:01:56.467 --> 00:01:58.772
Lad os tegne dem sådan her

00:01:58.772 --> 00:02:03.926
Der er 13 terninger.

00:02:03.926 --> 00:02:06.376
Dette er hændelsen terning.

00:02:06.376 --> 00:02:10.918
Området, i ikke korrekt skala,
repræsenterer hændelsen terning.

00:02:10.918 --> 00:02:13.405
Sandsynligheden for at få en terning er

00:02:13.405 --> 00:02:15.710
antallet af ønskede udfald over…

00:02:15.710 --> 00:02:19.872
Der er 13 mulige terninger, som alle er
lige sandsynlige for at komme ud af posen.

00:02:19.872 --> 00:02:28.067
…over antallet af lige sandsynlige udfald,
som er 29 terninger og kugler.

00:02:28.067 --> 00:02:30.157
Lad mig stille et nyt spørgsmål.

00:02:30.157 --> 00:02:33.633
Hvad er sandsynligheden for at få gul?

00:02:33.633 --> 00:02:36.705
Et gult objekt, en terning eller en kugle.

00:02:36.705 --> 00:02:40.510
Hvor mange objekter opfylder vores krav?

00:02:40.510 --> 00:02:46.394
Vi har 5 plus 7,
så 12 gule objekter i posen.

00:02:46.394 --> 00:02:49.379
Der er 29 lige sandsynlige udfald

00:02:49.379 --> 00:02:51.217
--Jeg bruger samme farve--

00:02:51.217 --> 00:02:57.330
Ud af 29 lige sandsynlige udfald
er der 12 der opfylder vores krav.

00:02:57.330 --> 00:03:01.573
Jeg tegner 12 her.

00:03:02.053 --> 00:03:09.896
Dette er hændelsen af gule objekter

00:03:09.896 --> 00:03:14.169
og der er 12 gule objekter.

00:03:14.186 --> 00:03:19.067
Vi har 12 ud af de i alt 29 udfald.

00:03:19.067 --> 00:03:21.217
Sandsynligheden for at få terning er 13/29.

00:03:21.217 --> 00:03:25.203
Sandsynligheden for at få gul er 12/29.

00:03:25.203 --> 00:03:27.550
Lad os stille et mere
interessant spørgsmål.

00:03:27.550 --> 00:03:32.667
Hvad er sandsynligheden for,
at få en gul terning?

00:03:32.667 --> 00:03:37.290
Jeg viser det med en gul terning,
da farven nu er vigtig.

00:03:37.290 --> 00:03:44.787
Hvad er sandsynligheden for
at få en gul terning?

00:03:44.787 --> 00:03:50.717
Der er 29 lige sandsynlige udfald.

00:03:50.800 --> 00:03:58.160
Ud af de 29 lige sandsynlige udfald
er der 5 gule terninger.

00:03:58.160 --> 00:04:01.110
Sandsynligheden er 5/29.

00:04:01.110 --> 00:04:04.516
Hvor kan vi se det i dette Venn diagram?

00:04:04.516 --> 00:04:07.533
Et Venn diagram er blot en måde
at visualisere sandsynligheder,

00:04:07.533 --> 00:04:13.024
og det er interessant, når hændelser
overlapper eller ikke overlapper.

00:04:13.024 --> 00:04:16.730
Nu skal vi bruge udfald,
der er i den gule hændelse,

00:04:16.730 --> 00:04:18.120
så de er i denne hændelse

00:04:18.120 --> 00:04:19.879
og udfald der er terninger.

00:04:19.879 --> 00:04:25.515
Det område lige her,
hvor de to hændelser overlapper.

00:04:25.515 --> 00:04:28.743
Dette område repræsenterer udfald,

00:04:28.743 --> 00:04:30.957
der både er gule og terninger,

00:04:30.957 --> 00:04:32.991
da de er i begge cirkler.

00:04:32.991 --> 00:04:37.150
Lad mig skrive det herover.

00:04:37.150 --> 00:04:45.593
Der er 5 objekter,
der er både gule og terninger.

00:04:45.593 --> 00:04:49.552
Lad os nu spørge, og det her er nok
det mest interessante at spørge om.

00:04:49.552 --> 00:05:08.381
Hvad er sandsynligheden for
at få gul eller terning i enhver farve?

00:05:08.381 --> 00:05:11.119
Vi ved, nævneren stadig er 29.

00:05:11.119 --> 00:05:14.914
Det er alle de mulige udfald i posen,

00:05:14.914 --> 00:05:18.004
men hvilke af dem opfylder vores krav?

00:05:18.004 --> 00:05:20.087
En måde at anskue det på er

00:05:20.087 --> 00:05:21.666
:

00:05:21.666 --> 00:05:25.467
Der er 12 ting der møder kriteriet om at være gult

00:05:25.467 --> 00:05:27.657
Det er altså hele denne cirkel her

00:05:27.657 --> 00:05:29.667
12 objekter

00:05:29.667 --> 00:05:32.000
.

00:05:32.000 --> 00:05:38.067
Det er antallet af gule udfald.

00:05:38.067 --> 00:05:41.171
og oveni dette kan vi IKKE bare lægge antallet af terninger

00:05:41.171 --> 00:05:43.133
da vi allerede har tilføjet det antal

00:05:43.133 --> 00:05:44.733
vi har allerede tilføjet de 5

00:05:44.733 --> 00:05:47.067
De 5 er altså en del af de 12

00:05:47.067 --> 00:05:48.508
En måde at se det på er

00:05:48.508 --> 00:05:51.933
at der er 7 gule objekter der ikke er terninger

00:05:51.933 --> 00:05:53.067
Der er kuglerne

00:05:53.067 --> 00:05:55.846
Der er 5 objekter der er terninger

00:05:55.846 --> 00:06:00.165
og så er der 8 terninger der IKKE er gule

00:06:00.165 --> 00:06:01.200
Det er en måde at se det på.

00:06:01.200 --> 00:06:03.230
Så når vi tæller disse 12, antallet af gule,

00:06:03.230 --> 00:06:05.133
talte vi alt det her

00:06:05.133 --> 00:06:07.133
Vi kan ikke bare lægge alle terningerne til de 12

00:06:07.133 --> 00:06:09.360
for så ville vi tælle de midterste med igen

00:06:09.360 --> 00:06:12.000
Vi skal altså tælle antallet af terninger

00:06:12.000 --> 00:06:15.000
som er 13

00:06:15.000 --> 00:06:18.467
.

00:06:18.467 --> 00:06:20.733
.

00:06:20.733 --> 00:06:26.264
og trække de midterste fra

00:06:26.264 --> 00:06:27.400
.

00:06:27.400 --> 00:06:30.667
Vi trækker de midterste fra

00:06:30.667 --> 00:06:32.022
altså minus 5

00:06:32.022 --> 00:06:39.400
Det er altså antallet af gule terninger

00:06:39.400 --> 00:06:41.589
Det føles underligt at skrive ordet gul med grønt

00:06:41.589 --> 00:06:43.400
.

00:06:43.400 --> 00:06:44.329
.

00:06:44.329 --> 00:06:47.000
Vi kan også bare gøre det matematisk

00:06:48.730 --> 00:06:50.459
12 plus 13 minus 5 er hvad? Det er 20

00:06:50.459 --> 00:06:54.267
.

00:06:54.267 --> 00:06:58.075
Det er en måde altså 20 ud af 29

00:06:58.075 --> 00:07:00.733
Men hvad der er mere interessant er at

00:07:00.733 --> 00:07:05.400
udtrykke hvad de andre sandsynligheder er

00:07:05.400 --> 00:07:07.800
som vi fandt ud af tidligere i videoen

00:07:07.800 --> 00:07:10.067
.

00:07:10.067 --> 00:07:12.100
Vi kan genskrive den brøk herovre

00:07:12.100 --> 00:07:22.933
som 12/29 plus 13/29 minus 5/29

00:07:22.933 --> 00:07:31.533
og det er det totale antal af gule udfald

00:07:31.533 --> 00:07:35.133
Det her var sandsynligheden for at få en gul

00:07:35.133 --> 00:07:39.200
Det her var antallet af terninger og det totale antal udfald

00:07:39.200 --> 00:07:44.000
Og det her er sandsynligheden for at få en terning

00:07:44.000 --> 00:07:46.267
.

00:07:46.267 --> 00:07:50.867
Og det her var sandsynligheden for at få en gul terning over det totale antal udfald

00:07:50.867 --> 00:07:52.642
og det her var

00:07:52.642 --> 00:07:59.004
minus muligheden for at få en gul og en terning

00:07:59.004 --> 00:07:59.980
jeg kan skrive det på denne måde

00:07:59.980 --> 00:08:03.333
Sandsynligheden for gul, gul skrevet med gul,

00:08:03.333 --> 00:08:10.000
.

00:08:10.000 --> 00:08:12.667
gul og at få en terning

00:08:12.667 --> 00:08:14.067
Så det vi har her

00:08:14.067 --> 00:08:15.000
og man kan lege med tallene

00:08:15.000 --> 00:08:17.267
tallene jeg lige brugte som eksempel.

00:08:17.267 --> 00:08:18.400
For at være mere konkret.

00:08:18.400 --> 00:08:20.867
Men du kan se at det er generaliserbar ting

00:08:20.867 --> 00:08:25.661
Hvis vi har sandsynligheden for et udfald eller et antal af udfald

00:08:25.661 --> 00:08:26.600
lad os omskrive det

00:08:26.600 --> 00:08:29.608
Sandsynligheden og jeg vil være lidt mere generel her

00:08:29.608 --> 00:08:31.733
for det giver os en god ide om sandsynlighed

00:08:31.733 --> 00:08:35.067
sandsynligheden for at få et udfald

00:08:35.067 --> 00:08:40.600
af et særligt objekt, som er en del af A eller en del af B

00:08:40.600 --> 00:08:43.494
er det samme som sandsynligheden for noget i A

00:08:43.494 --> 00:08:47.133
plus sandsynligheden for noget i B

00:08:47.133 --> 00:08:51.467
minus sandsynligheden for at få noget der tilhører både A og B

00:08:51.467 --> 00:08:54.933
minus sandsynligheden for at det er en del af begge.

00:08:54.933 --> 00:08:58.667
Det her er et meget brugbart resultat

00:08:58.667 --> 00:09:00.770
og jeg tror at man sommetider kalder dette for "additionsregler for sandsynlighedsregning"

00:09:00.770 --> 00:09:02.720
Men jeg vil lige vise jer noget der er helt almindelig sund fornuft

00:09:02.720 --> 00:09:06.000
grunden til at man ikke bare kan lægge disse to sandsynligheder sammen

00:09:06.000 --> 00:09:08.067
er at de måske har en fællesmængde

00:09:08.067 --> 00:09:09.533
Der er en mulighed for at få begge dele

00:09:09.533 --> 00:09:11.467
og hvis man bare lægger dem sammen

00:09:11.467 --> 00:09:13.600
ville man tilføje fællesmængden flere gange

00:09:13.600 --> 00:09:15.862
som vi allerede så tidligere i denne video

00:09:15.862 --> 00:09:18.867
Man skal altså huske at trække den ene del af fællesmængden fra

00:09:18.867 --> 00:09:21.133
så man ikke tæller den dobbelt.

00:09:21.133 --> 00:09:23.200
Jeg vil komme med en ide mere

00:09:23.200 --> 00:09:26.600
nogen gange har man ingen fællesmængde

00:09:26.600 --> 00:09:29.000
Lad os sige at det her er

00:09:29.000 --> 00:09:32.067
er en firkant med alle sandsynligheder

00:09:32.067 --> 00:09:35.533
og det her er A

00:09:35.533 --> 00:09:38.479
Det her er udfald der hører til A

00:09:38.479 --> 00:09:40.336
og det her, jeg laver det lige i en anden farve

00:09:40.336 --> 00:09:43.333
Det her er udfald der hører til B

00:09:43.333 --> 00:09:45.867
I denne situation er der ingen fællesmængde

00:09:45.867 --> 00:09:48.800
Der er ikke noget der er en del af A og B

00:09:48.800 --> 00:09:52.667
I denne situation er sandsynligheden for at få noget fra A og B 0

00:09:52.667 --> 00:09:53.850
Der er ingen fællesmængde

00:09:53.850 --> 00:09:58.355
og den type udfald, eller disse to mængder

00:09:58.355 --> 00:10:00.733
kalder man

00:10:00.733 --> 00:10:05.646
"gensidigt udelukkende"

00:10:06.458 --> 00:10:07.271
så hvis de er gensidigt udelukkende

00:10:07.271 --> 00:10:11.219
kan de ikke forekomme på samme tid

00:10:11.219 --> 00:10:15.538
der er altså intet udfald der dækker både A og B

00:10:15.538 --> 00:10:17.333
og hvis ting er gensidigt udelukkende

00:10:20.266 --> 00:10:23.200
så kan man ikke sige at sandsynligheden for A eller B er sandsynlighed A plus sandsynlighed B

00:10:23.200 --> 00:10:24.933
fordi den ikke eksisterer

00:10:24.933 --> 00:10:27.000
men hvis ting ikke er gensidigt udelukkende

00:10:27.000 --> 00:10:29.067
skulle man trække fællesmængden fra

00:10:29.067 --> 00:10:31.800
og det letteste, og den bedste måde at tænke over det på,

00:10:31.800 --> 00:10:35.067
er at man altid skal trække fællemængden fra

00:10:35.067 --> 00:10:37.504
og hvis ting er gensidigt udelukkende

00:10:37.504 --> 99:59:59.999
er sandsynligheden for at få A og B naturligvis 0

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
.