WEBVTT

00:00:00.590 --> 00:00:03.690
В предишното видео започнах
с тази матрица ето тук,

00:00:03.690 --> 00:00:06.980
и от самото начало казах, че
линейната обвивка на тази матрица

00:00:06.980 --> 00:00:10.530
е просто линейната обвивка на 
вектор-стълбовете, които тя включва,

00:00:10.530 --> 00:00:11.240
и го записах ето тук.

00:00:11.240 --> 00:00:13.740
Но ние не изяснихме дали
е налице линейна независимост,

00:00:13.740 --> 00:00:15.760
и ако векторите не са 
линейно независими, то тогава

00:00:15.760 --> 00:00:17.050
те не е могат да служат 
за базис на матрицата.

00:00:17.050 --> 00:00:18.880
После продължихме и
намерихме

00:00:18.880 --> 00:00:20.360
нулевото пространство 
на матрицата А.

00:00:20.360 --> 00:00:23.140
Установихме, че нулевото пространство
на матрицата А съдържа повече вектори,

00:00:23.140 --> 00:00:24.860
а не само нулевия вектор.

00:00:24.860 --> 00:00:27.870
Това тук е само линейната обвивка на 
на тези два вектора, което означава,

00:00:27.870 --> 00:00:31.150
че тези стълбове не са
линейно независими.

00:00:31.150 --> 00:00:33.180
Видяхме това преди
няколко урока.

00:00:33.180 --> 00:00:35.720
И ние използвахме тази информация,
че те не са линейно независими,

00:00:35.720 --> 00:00:37.370
за да опитаме да ги направим
линейно независими,

00:00:37.370 --> 00:00:38.830
като премахнем излишните
вектори.

00:00:38.830 --> 00:00:41.610
Отървахме се от този вектор-стълб
и от този, защото

00:00:41.610 --> 00:00:46.980
принципно това са стълбовете,
които са свързани със свободни променливи.

00:00:46.990 --> 00:00:49.500
Успяхме да направим това, като
използвахме една техника ето тук,

00:00:49.500 --> 00:00:53.370
и направихме едната свободна променлива
да е равна на 0, другата

00:00:53.370 --> 00:00:54.830
да е равна на –1, след което

00:00:54.830 --> 00:00:56.140
намерихме стойностите
на водещите променливи.

00:00:56.140 --> 00:00:57.890
След това сложихме втория
да е равен на 9, и другият

00:00:57.890 --> 00:01:00.700
да е равен на –1 и намерихме
водещите променливи.

00:01:00.700 --> 00:01:02.470
Вероятно се досещаш, че
това е процес, който

00:01:02.470 --> 00:01:05.390
може да се обобщи.

00:01:05.390 --> 00:01:07.890
Ако имаш куп свободни променливи,
можеш да приравниш на нула всички тях,

00:01:07.890 --> 00:01:12.210
освен една, и тогава 
тази променлива, която

00:01:12.210 --> 00:01:14.090
не е приравнена на 0, 
я приравняваш на –1.

00:01:14.090 --> 00:01:17.960
Можеш да изразиш това като
сума на водещите променливи,

00:01:17.960 --> 00:01:21.570
като водещите променливи са
функция от свободните променливи.

00:01:21.740 --> 00:01:25.700
По принцип, това е
бърз начин за решение.

00:01:25.700 --> 00:01:28.320
Но сега ще го направим
по-бавно.

00:01:28.320 --> 00:01:34.590
Ако е дадена матрицата А
и искам да намеря базиса

00:01:34.590 --> 00:01:38.220
на векторното пространство,
векторното пространство е просто

00:01:38.220 --> 00:01:41.960
линейната обвивка на тези вектори,
но ако искам линейно независим базис,

00:01:41.960 --> 00:01:44.870
трябва да намеря някакво множество
от тези вектори, което е линейно независимо.

00:01:44.880 --> 00:01:50.010
Мога да преобразувам тази матрица
в ешелонна форма (по редове).

00:01:50.010 --> 00:01:52.500
Когато я преобразувам в
ешелонна форма, което направих ето тук,

00:01:52.500 --> 00:01:57.500
това е ешелонната форма
на матрицата А, тогава

00:01:57.500 --> 00:02:04.360
мога да разгледам променливите,
които са свързани с водещите елементи.

00:02:04.380 --> 00:02:07.360
Значи това е х1.

00:02:07.360 --> 00:02:09.320
Ще сляза малко надолу.

00:02:09.320 --> 00:02:10.479
Това е свързано с х1, нали?

00:02:10.479 --> 00:02:14.680
Когато умножим това по х1,
получаваме този стълб по х1,

00:02:14.680 --> 00:02:19.728
този стълб по х2, този стълб по х3, 
този стълб по х4, ето така.

00:02:19.728 --> 00:02:22.570
Когато имаш една обикновена матрица А,
когато разгледаш твоята матрица,

00:02:22.570 --> 00:02:23.990
всичко е съвсем същото.

00:02:23.990 --> 00:02:28.850
Ако трябва да запишеш А по х равно на 0,
този стълб ще бъде свързан с х1,

00:02:28.850 --> 00:02:30.670
този стълб ще бъде свързан с х2,

00:02:30.670 --> 00:02:33.350
с х3, с х4, по този начин.

00:02:33.350 --> 00:02:36.290
Значи първо я преобразуваш
в ешелонна форма по редове.

00:02:36.290 --> 00:02:39.390
Определяш в кои стълбове има
водещи елементи или

00:02:39.390 --> 00:02:41.415
са свързани с водещи променливи.

00:02:41.415 --> 00:02:44.387
Казваш: "х1 и х2 са свързани 
с водещи променливи,

00:02:44.387 --> 00:02:46.730
или те са водещи променливи,
и те са свързани

00:02:46.730 --> 00:02:48.930
с първите два стълба, така че

00:02:48.930 --> 00:02:55.640
тези първите два стълба ще бъдат
базис на векторното пространство."

00:02:55.640 --> 00:02:57.810
Как получаваме това?

00:02:57.810 --> 00:02:59.660
Да не би да си съчинявам
нещата в движение?

00:02:59.660 --> 00:03:00.750
О, не!

00:03:00.750 --> 00:03:06.650
Всичко следва от факта, че винаги
можеш да конструираш

00:03:06.650 --> 00:03:10.633
ситуация, в която векторите,
свързани със свободни променливи,

00:03:10.633 --> 00:03:15.830
можеш да ги представиш като
линейна комбинация на

00:03:15.830 --> 00:03:18.640
векторите, свързани с водещите
променливи, и ние разгледахме

00:03:18.640 --> 00:03:20.630
специален случай на това
миналия път.

00:03:20.630 --> 00:03:23.540
Един много бърз и
несъвършен начин да го направим,

00:03:23.540 --> 00:03:26.590
не знам дали всъщност е несъвършен,
но просто взехме матрицата,

00:03:26.590 --> 00:03:30.720
преобразувахме я в ешелонна
форма и казахме, че

00:03:30.720 --> 00:03:36.150
този стълб и този стълб са свързани 
със свободните променливи.

00:03:36.310 --> 00:03:40.200
Следователно този стълб и този
стълб трябва да са свързани

00:03:40.200 --> 00:03:41.610
с нашите свободни променливи.

00:03:41.610 --> 00:03:44.910
Множествата на решенията са
същите като за А по х равно на 0,

00:03:44.910 --> 00:03:49.330
или за ешелонната форма на
матрицата А по х, което е равно на 0.

00:03:49.330 --> 00:03:50.040
Те са същите.

00:03:50.040 --> 00:03:51.810
Ако този стълб и този стълб
са свързани

00:03:51.810 --> 00:03:54.970
със свободни променливи, това
се отнася и за този стълб и този стълб,

00:03:54.970 --> 00:03:58.590
което означава, че те могат
да бъдат изразени като внимателно

00:03:58.590 --> 00:04:01.930
избереш стойностита за свободните
променливи

00:04:01.930 --> 00:04:05.730
като линейни комбинации на стълбовете, 
свързани с водещите променливи,

00:04:05.730 --> 00:04:10.140
с водещите елементи, които са
този стълб и този стълб.

00:04:10.140 --> 00:04:14.070
Значи този стълб и този
стълб ще бъдат базис

00:04:14.070 --> 00:04:15.500
на матрицата А, и ние
го видяхме.

00:04:15.500 --> 00:04:17.959
Установихме го ето тук
чак до тук долу.

00:04:17.959 --> 00:04:21.860
[1; 2; 3] и [1; 1; 4]. Ние
свършихме много работа

00:04:21.860 --> 00:04:25.170
и стигнахме до тук, като казахме, 
че това е базис

00:04:25.170 --> 00:04:29.860
на векторната линейна
обвивка на матрицата А.

00:04:29.860 --> 00:04:32.180
След като всичко това е свършено,
да видим дали можем всъщност

00:04:32.180 --> 00:04:36.630
да визуализираме векторното
пространство на матрицата А.

00:04:36.630 --> 00:04:39.840
Имам странното чувство, че може би 
казах векторна линейна обвивка

00:04:39.840 --> 00:04:41.800
няколко пъти, а трябва да е
векторно пространство,

00:04:41.800 --> 00:04:43.310
и как изглежда то?

00:04:43.310 --> 00:04:45.800
Има няколко начина да
разсъждаваме за това

00:04:45.800 --> 00:04:47.480
как изглежда то.

00:04:47.480 --> 00:04:51.990
Единият начин е да кажем:
"Виж, линейната обвивка на това е 2...

00:04:51.990 --> 00:04:53.720
това принадлежи на R3.

00:04:53.720 --> 00:04:56.803
Това е вектор в R3, и това
е вектор в R3.

00:04:56.803 --> 00:04:59.692
Имаме две...
ако си представиш...

00:04:59.700 --> 00:05:07.070
Ще начертая осите х, z...
обикновено се чертаят така.

00:05:07.070 --> 00:05:12.920
Обикновено това е оста у,
това е оста z в R3, ако искам

00:05:12.920 --> 00:05:15.270
да представя тримерно
пространство.

00:05:15.270 --> 00:05:20.050
После вектор [1; 2; 3] може
да изглежда ето така,

00:05:20.050 --> 00:05:23.980
едно, две, едно, две, три,
значи слизаме едно надолу тук,

00:05:23.980 --> 00:05:24.930
после тук три нагоре.

00:05:24.930 --> 00:05:27.900
Значи векторът ще изглежда
ето така в стандартна форма.

00:05:27.900 --> 00:05:29.340
Това е ето това тук.

00:05:29.340 --> 00:05:33.670
Вектор [1; 1; 4] ще бъде
едно, едно и четири нагоре,

00:05:33.670 --> 00:05:36.710
така че ще изглежда като
нещо такова.

00:05:36.710 --> 00:05:38.600
Всъщност е трудно да
ги начертая много добре

00:05:38.600 --> 00:05:40.230
в три измерения, но
ти схващаш идеята.

00:05:40.230 --> 00:05:42.690
Но векторното пространство
е линейната обвивка на тези вектори,

00:05:42.690 --> 00:05:44.630
така че то е всички линейни
комбинации на тези два вектора.

00:05:44.630 --> 00:05:46.860
Всички линейни комбинации
на тези два вектора

00:05:46.860 --> 00:05:49.380
ще създадат равнина,

00:05:49.380 --> 00:05:51.140
която съдържа двата вектора.

00:05:51.140 --> 00:05:53.670
Ако просто съберем тези вектори
в множество комбинации,

00:05:53.670 --> 00:05:55.000
ще получим всеки вектор
в тази равнина.

00:05:55.000 --> 00:05:57.100
Ако просто ги съберем,
ще получим този вектор ето тук.

00:05:57.100 --> 00:05:59.480
Ако съберем този вектор
и два пъти този вектор,

00:05:59.480 --> 00:06:00.550
ще получим някакъв вектор
ето тук.

00:06:00.550 --> 00:06:02.890
Ако ги разглеждаме като
позиционни вектори,

00:06:02.890 --> 00:06:06.490
те образуват равнина в R3.

00:06:06.490 --> 00:06:09.220
Но да видим дали можем да изведем 
уравнението на тази равнина.

00:06:09.220 --> 00:06:10.700
Как може да стане това?

00:06:10.700 --> 00:06:12.990
Знаем, че можем да намерим
уравнението на една равнина

00:06:12.990 --> 00:06:19.980
въз основа на факта, че скаларното 
произведение на нормалния вектор с...

00:06:19.980 --> 00:06:23.490
тук ще запиша нормалния вектор
ето така.

00:06:23.490 --> 00:06:29.440
Скаларното произведение на нормалния 
вектор по някакъв позиционен вектор,

00:06:29.440 --> 00:06:30.870
определящ някаква позиция
в равнината.

00:06:30.870 --> 00:06:37.800
Ще означа това като вектор х минус
произволна точка в равнината

00:06:37.800 --> 00:06:39.020
или произволен позиционен
вектор в равнината.

00:06:39.020 --> 00:06:45.720
Значи мога да напиша, че скаларното произведение
на този вектор минус вектор [1; 2; 3]

00:06:45.720 --> 00:06:47.000
и нормалния вектор
трябва да е равно на 0.

00:06:47.000 --> 00:06:49.140
Можем да използваме тази 
информация, за да намерим

00:06:49.140 --> 00:06:51.270
уравнението на равнината.

00:06:51.270 --> 00:06:52.670
Но кой е нормалният
вектор?

00:06:52.670 --> 00:06:56.660
Как да намерим нормалния
вектор към тази равнина?

00:06:56.660 --> 00:06:59.930
Това ще бъде вектор.

00:06:59.930 --> 00:07:01.590
Да видим мога ли да
начертая това така, че

00:07:01.590 --> 00:07:03.350
да не става объркване.

00:07:03.350 --> 00:07:05.050
Ако равнината изглежда
ето така, нормалният вектор

00:07:05.050 --> 00:07:06.890
трябва да сочи ето така.

00:07:06.890 --> 00:07:09.450
Как мога да създам
нормален вектор?

00:07:09.450 --> 00:07:12.690
Научихме, че взимаме векторното
произведение на два произволни

00:07:12.690 --> 00:07:15.960
вектора в R3, и това векторно
произведение съм дефинирал

00:07:15.960 --> 00:07:20.020
досега само в R3, така че
ще получа вектор, който е нормален

00:07:20.020 --> 00:07:20.680
и към всеки един от тези вектори.

00:07:20.680 --> 00:07:23.830
Да намерим векторното произведение.

00:07:23.830 --> 00:07:26.030
Това е хубав начин да го
разглеждаме, защото всъщност

00:07:26.030 --> 00:07:27.960
това обединява всичко, което
сме учили досега.

00:07:27.960 --> 00:07:31.010
Ще дефинирам нормалния вектор
да е равен на векторното произведение на

00:07:31.010 --> 00:07:36.795
вектор [1; 2; 3] по вектор [1; 1; 4].

00:07:36.795 --> 00:07:41.600
На колко е равно то?

00:07:41.600 --> 00:07:43.450
Първият член, игнорирам това,

00:07:43.450 --> 00:07:45.850
получавам 2 по 4, минус 3 по 1.

00:07:45.850 --> 00:07:47.940
2 по 4 е 8.

00:07:47.940 --> 00:07:50.100
2 по 4, минус 3 по 1.

00:07:50.100 --> 00:07:51.960
8 минус 3.

00:07:51.960 --> 00:07:56.920
Вторият ред, имам 1 по 4,
изкушавам се да умножа

00:07:56.920 --> 00:07:59.150
1 по 4, минус 3 по 1.

00:07:59.150 --> 00:08:00.260
Но ти ги обърни.

00:08:00.260 --> 00:08:07.860
Умножи 3 по 1, което е 3,
минус 1 по 4.

00:08:07.860 --> 00:08:09.090
Правили сме го няколко пъти.

00:08:09.090 --> 00:08:12.030
Може да гледаш отново видеото
за векторно произведение,

00:08:12.030 --> 00:08:12.740
ако това ти изглежда непознато.

00:08:12.740 --> 00:08:16.250
Пренебрегваме средния ред,
и обикновено умножаваме 1 по 4,

00:08:16.250 --> 00:08:19.940
минус 3 по 1, но средния ред
обръщаме.

00:08:19.940 --> 00:08:23.850
Това е дефинирано само за R3,
така че вместо това умножаваш 3 по 1,

00:08:23.850 --> 00:08:25.150
минус 1 по 4.

00:08:25.150 --> 00:08:27.210
И накрая последния ред,
игнорираме го, казваме, че

00:08:27.210 --> 00:08:32.400
1 по 1, което е 1, минус
2 по 1, което е –2.

00:08:32.400 --> 00:08:38.970
И това е равно на вектор
[5; –1; –1],

00:08:38.970 --> 00:08:41.059
който по определение е векторното 
произведение, и аз ти доказах

00:08:41.059 --> 00:08:44.950
няколко пъти, че той е нормален 
и към всеки един от тези вектори.

00:08:44.950 --> 00:08:47.280
Значи той е нормален към
всяка линейна комбинация

00:08:47.280 --> 00:08:49.370
на тези два вектора.

00:08:49.370 --> 00:08:56.280
Сега, когато имаме нашия
нормален вектор, можем да дефинираме

00:08:56.280 --> 00:08:58.630
обичайното уравнение
на равнината.

00:08:58.630 --> 00:09:03.470
Знаем, че нашият нормален
вектор [5; –1; –1],

00:09:03.470 --> 00:09:08.880
който получихме като векторно
произведение на векторите от базиса,

00:09:08.880 --> 00:09:12.450
неговото скаларно произведение
с произволен вектор в тази равнина.

00:09:12.450 --> 00:09:13.665
Ще запиша един
произволен вектор.

00:09:13.665 --> 00:09:16.080
Ще го запиша просто като [х; у; z].

00:09:16.080 --> 00:09:21.840
Значи [х; у; z], според означенията
на осите ето тук.

00:09:21.840 --> 00:09:22.920
Това е оста х.

00:09:22.920 --> 00:09:24.530
[х; у; z].

00:09:24.530 --> 00:09:28.040
[х; у; z] минус... просто
ще избера един от тези вектори.

00:09:28.040 --> 00:09:31.100
Мога да избера всеки от тях – минус [1; 2; 3], 
скаларното произведение

00:09:31.100 --> 00:09:33.840
на тази разлика и нормалния вектор 
трябва да е равно на 0

00:09:33.840 --> 00:09:35.510
Какво е това?

00:09:35.510 --> 00:09:38.100
Това ще е равно на...
ще го напиша малко по-дребно,

00:09:38.100 --> 00:09:45.920
малко по-спретнато –
[5; –1; –1] по (.) –

00:09:45.920 --> 00:09:46.920
какъв ще е този вектор?

00:09:46.920 --> 00:09:54.840
х минус 1, у минус 1, и
z минус 3, трябва да е 0.

00:09:54.840 --> 00:09:56.050
Какво е скаларното произведение?

00:09:56.050 --> 00:10:03.890
Това е 5 по (х – 1), плюс...
или може би трябва да кажа минус 1,

00:10:03.890 --> 00:10:10.340
значи това е плюс –1 по (у – 2),
плюс –1 по (z – 3)

00:10:10.340 --> 00:10:12.410
е равно на 0.

00:10:12.410 --> 00:10:14.860
Това е просто определението
за скаларно произведение.

00:10:14.860 --> 00:10:27.360
Като опростя това, получавам
5х минус 5, минус у, плюс 2, минус z

00:10:27.360 --> 00:10:29.660
плюс 3 е равно на 0.

00:10:29.660 --> 00:10:32.850
2 плюс 3 е 5, минус 5, тези
се унищожават.

00:10:32.850 --> 00:10:34.070
Това е равно на 0.

00:10:34.070 --> 00:10:44.600
И получаваме 
5х – у – z = 0.

00:10:44.600 --> 00:10:48.270
Тази равнина в R3 е векторното 
пространство на матрицата А.

00:10:48.270 --> 00:10:52.250
Така доказахме, че това
действително е равнина в R3.

00:10:52.250 --> 00:10:55.620
Всъщност е логично, че
тази равнина

00:10:55.620 --> 00:10:59.890
пресича началото на
координатната система.

00:10:59.890 --> 00:11:01.740
Ако приравним х, у и z
равно на 0,

00:11:01.740 --> 00:11:03.220
това удовлетворява уравнението.

00:11:03.220 --> 00:11:06.480
Това е логично, защото
казахме, че векторното пространство

00:11:06.480 --> 00:11:09.520
на една матрица трябва да е
валидно подпространство,

00:11:09.520 --> 00:11:13.470
а валидното подпространство трябва
да съдържа нулевия вектор.

00:11:13.470 --> 00:11:18.320
В R3 това е вектор с
координати 0, 0, 0.

00:11:18.320 --> 00:11:23.690
Сега искам да видя дали
можем да получим същия отговор,

00:11:23.690 --> 00:11:29.050
като подходим по 
точно обратния начин.

00:11:29.050 --> 00:11:35.220
Нека да вземем оригиналната
матрица А, която забравихме.

00:11:35.220 --> 00:11:39.460
Аз съм писал върху нея,
но сега ще я копирам и поставя.

00:11:39.460 --> 00:11:45.930
Това е първоначалната
матрица А.

00:11:45.930 --> 00:11:48.562
Копирам я.

00:11:48.562 --> 00:11:50.700
И я поставям.

00:11:50.700 --> 00:11:51.640
Не.

00:11:51.640 --> 00:11:53.900
Не исках това да направя.

00:11:53.900 --> 00:11:57.860
Да видим, оригиналната
матрица А...

00:11:57.860 --> 00:12:01.650
Бях копирал нещо друго.

00:12:01.680 --> 00:12:05.520
Сега ще... не искам
да ти губя времето.

00:12:05.520 --> 00:12:08.570
Едит, копирай, едит, постави.

00:12:08.570 --> 00:12:11.090
Готово и сега ще скролна
малко надолу до място,

00:12:11.090 --> 00:12:13.436
което е сравнително чисто.

00:12:13.436 --> 00:12:15.130
Свалям матрицата А надолу.

00:12:15.130 --> 00:12:18.430
Използвал съм много място.

00:12:18.430 --> 00:12:19.250
Ето така.

00:12:19.250 --> 00:12:23.030
Това е първоначалната
матрица А.

00:12:23.030 --> 00:12:25.030
Сега искам да видя дали
мога да получа този резултат

00:12:25.030 --> 00:12:25.700
по напълно различен начин.

00:12:25.700 --> 00:12:28.310
Получих този резултат, като намерих 
базиса на векторната линейна обвивка,

00:12:28.310 --> 00:12:32.875
като намерих нормалния вектор
чрез векторното произведение

00:12:32.875 --> 00:12:37.800
на двата вектора на базиса, и
после използвах скаларното произведение

00:12:37.800 --> 00:12:40.770
на нормалния вектор с разликата...
този вектор ето тук,

00:12:40.770 --> 00:12:44.730
където взимам произволен вектор
от равнината минус

00:12:44.730 --> 00:12:46.500
един от базисните вектори,

00:12:46.500 --> 00:12:47.380
за да намеря вектор в равнината.

00:12:47.380 --> 00:12:48.780
Това е някакъв вектор в
равнината.

00:12:48.780 --> 00:12:53.200
Значи произволен вектор в равнината,
скаларно умножен по нормалния вектор

00:12:53.200 --> 00:12:57.230
ще бъде равно на нула.

00:12:57.230 --> 00:12:59.260
Всъщност може би трябва
да направя една странична забележка,

00:12:59.260 --> 00:13:02.490
че единствената причина
да мога да кажа, че

00:13:02.490 --> 00:13:04.990
нормалният вектор е векторно
произведение на двата базисни вектора

00:13:04.990 --> 00:13:07.850
е защото знам, че тези два
вектора на базиса

00:13:07.850 --> 00:13:10.980
не само, че определят някаква
точка в равнината...

00:13:10.980 --> 00:13:13.970
да кажем, че този вектор
е този синият вектор.

00:13:13.970 --> 00:13:21.500
Не само, че определят някаква
точка в равнината ето тук,

00:13:21.500 --> 00:13:23.810
но векторът лежи изцяло
в равнината.

00:13:23.810 --> 00:13:24.860
Откъде знам това?

00:13:24.860 --> 00:13:29.950
Защото знам от самото начало,
че векторът [0;0] е част

00:13:29.950 --> 00:13:31.980
от линейната обвивка, нали?

00:13:31.980 --> 00:13:36.000
Знаех, че ако начертая този вектор
в стандартна позиция,

00:13:36.000 --> 00:13:42.265
точката [0; 0; 0] е в линейната обвивка
и знам, че крайната му точка е

00:13:42.265 --> 00:13:45.870
в линейната обвивка, така че
целият вектор е в равнината

00:13:45.870 --> 00:13:48.640
и, по същия начин, този целият
вектор лежи в равнината.

00:13:48.640 --> 00:13:51.260
Така че векторното произведение
на произволен нормален вектор

00:13:51.260 --> 00:13:53.340
към тези вектори или всяка комбинация
от тези вектори ще бъде

00:13:53.340 --> 00:13:56.130
нормална към равнината, и така
получихме този резултат ето тук.

00:13:56.130 --> 00:13:58.820
Но сега ще взема това ето тук
и ще използвам друга дефиниция

00:13:58.820 --> 00:14:00.250
на линейната обвивка на вектор-стълба.

00:14:00.250 --> 00:14:02.950
Другото определение, или едно еквивалентно 
определение за линейна обвивка

00:14:02.950 --> 00:14:13.110
е, че тя съдържа всички валидни решения
на А по х, където х

00:14:13.110 --> 00:14:18.460
принадлежи на Rn.

00:14:18.460 --> 00:14:22.570
Друг начин да мислим за това
е, че можем да го разглеждаме това

00:14:22.570 --> 00:14:37.840
като всички валидни b, за които
А по х е равно на b, и х принадлежи на Rn.

00:14:37.840 --> 00:14:39.340
Това са еквивалентни твърдения.

00:14:39.340 --> 00:14:42.940
Просто дефинирам b като
А по х, така че тези са

00:14:42.940 --> 00:14:43.330
еквивалентни твърдения.

00:14:43.330 --> 00:14:46.350
Но нека да поработим
над това тук.

00:14:46.350 --> 00:14:49.840
Да кажем, че дефинирам
b такова, че то да е

00:14:49.840 --> 00:14:53.070
вектор в R3, нали?

00:14:53.070 --> 00:14:55.320
Вече имаме интуиция за това.

00:14:55.320 --> 00:14:58.015
Нека b...

00:14:58.030 --> 00:15:02.360
Когато умножа А по х, получавам
вектор b, който е равен на [х; у; z].

00:15:02.360 --> 00:15:05.600
Искам да определя за кои
х, у и z мога да получа

00:15:05.600 --> 00:15:06.880
валидни решения.

00:15:06.880 --> 00:15:23.000
Ако взема моя вектор А и
го умножа по...

00:15:23.000 --> 00:15:28.290
всъщност, най-добрият начин
да го направим е... мисля, че

00:15:28.290 --> 00:15:29.340
го използвах току-що.

00:15:29.340 --> 00:15:37.110
Ако решавам уравнението
А по х равно на b, мога

00:15:37.110 --> 00:15:41.290
всъщност да направя
разширена матрица, като имам

00:15:41.290 --> 00:15:46.690
матрицата А и я разширя
с b, и да я преобразувам

00:15:46.690 --> 00:15:49.420
в ешелонна форма, и това
всъщност представлява

00:15:49.420 --> 00:15:50.500
моето множество от решения.

00:15:50.500 --> 00:15:51.420
Да го направим.

00:15:51.420 --> 00:15:55.155
Ако просто разширя тази матрица
ето тук с b,

00:15:55.155 --> 00:15:56.790
записвам х, у, z.

00:15:56.790 --> 00:15:59.030
Това е матрицата А,
разширена с b.

00:15:59.030 --> 00:16:00.390
Това е А, това е b.

00:16:00.390 --> 00:16:04.190
Ще я преобразувам в
ешелонна форма и

00:16:04.190 --> 00:16:09.600
ще намеря множеството 
от решенията.

00:16:09.600 --> 00:16:13.440
Това са х, у и z, които
дефинират валидно b.

00:16:13.440 --> 00:16:15.400
Какво ще получа?

00:16:15.400 --> 00:16:17.710
Първо искам, като ние
вече сме правили това,

00:16:17.710 --> 00:16:22.160
ще запазя първия ред
непроменен.

00:16:22.160 --> 00:16:26.720
1, 1, 1, 1 и после тук е х.

00:16:26.720 --> 00:16:39.750
Сега да заместим втория ред
с втория ред минус първия ред.

00:16:39.750 --> 00:16:41.180
Или всъщност ще го направя така.

00:16:41.180 --> 00:16:43.620
Ще заместя втория ред
с 2 по първия ред

00:16:43.620 --> 00:16:44.715
минус втория ред.

00:16:44.715 --> 00:16:46.770
Значи 2 по първия ред
минус втория ред,

00:16:46.770 --> 00:16:49.550
получаваме 2х минус у ето тук.

00:16:49.550 --> 00:16:53.100
После 2 по 1, минус 2 е 0.

00:16:53.100 --> 00:16:56.330
2 по 1, минус 1 е 1.

00:16:56.330 --> 00:16:59.990
2 по 1, минус 4 е –2.

00:16:59.990 --> 00:17:05.400
2 по 1, минус 3 е –1.

00:17:05.400 --> 00:17:06.820
–2 и –1.

00:17:06.820 --> 00:17:08.260
Добре.

00:17:08.260 --> 00:17:17.930
Сега ще заместя третия ред
с третия ред

00:17:17.930 --> 00:17:20.380
минус 3 по първия ред.

00:17:20.380 --> 00:17:25.690
Значи от третия ред вадим...

00:17:25.690 --> 00:17:27.240
не, ще го направя по следния начин.

00:17:27.240 --> 00:17:34.800
Третия ред минус
3 пъти първия ред.

00:17:34.800 --> 00:17:38.580
Първо ще направя стълб b,
защото помня какво направих.

00:17:38.580 --> 00:17:40.120
Третия ред минус
три пъти първия ред.

00:17:40.120 --> 00:17:42.900
3 минус 3 по 1 е 0.

00:17:42.900 --> 00:17:45.090
4 минус 3 по 1 е 1.

00:17:45.090 --> 00:17:47.710
1 минус 3 по 1 е –2.

00:17:47.710 --> 00:17:57.750
И после 2 минус 3 по 1 е –1.

00:17:57.750 --> 00:18:01.450
Сега мога да преобразувам
в ешелонна форма, но

00:18:01.450 --> 00:18:03.100
вече се случи нещо интересно.

00:18:03.100 --> 00:18:08.380
Ще се опитам още сега
да нулирам третия ред.

00:18:08.380 --> 00:18:11.710
Най-добрият начин да
нулираме третия ред е просто

00:18:11.710 --> 00:18:14.140
да заменим третия ред...

00:18:14.140 --> 00:18:16.350
Значи първия ред...
даже няма да пиша първия ред.

00:18:16.350 --> 00:18:23.400
Вторият ред е 0, 1, –2,
–1 и 2х – у.

00:18:23.400 --> 00:18:25.690
Засега няма да се тревожа
за този първи ред.

00:18:25.690 --> 00:18:28.110
Но сега да заместим третия ред,
просто като искаме да преобразуваме

00:18:28.110 --> 00:18:30.100
в ешелонна форма.

00:18:30.100 --> 00:18:33.370
Да заместим втория ред

00:18:33.370 --> 00:18:34.880
с втория ред минус третия ред.

00:18:34.880 --> 00:18:42.670
Получаваме 2х – у, минус z + 3х.

00:18:42.670 --> 00:18:44.560
Просто взех това минус това.

00:18:44.560 --> 00:18:47.300
Значи минус z + 3х.

00:18:47.300 --> 00:18:49.420
Значи 0 минус 0 е 0.

00:18:49.420 --> 00:18:51.140
1 минус 1 е 0.

00:18:51.140 --> 00:18:56.040
–2 минус –2 е 0,
и това също е 0.

00:18:56.040 --> 00:19:02.110
Значи ще имаме валидно решение
на Ах = b само когато

00:19:02.110 --> 00:19:08.270
това ето тук е 0.

00:19:08.270 --> 00:19:09.830
Какво ще стане, ако
този елемент не е 0?

00:19:09.830 --> 00:19:13.110
Тогава ще имаме куп нули,
които са равни на някакво число,

00:19:13.110 --> 00:19:15.810
което означава, че
няма решение.

00:19:15.810 --> 00:19:19.680
Така че, ако изберем b, когато
този елемент не е равен на 0,

00:19:19.680 --> 00:19:20.800
тогава няма решение.

00:19:20.800 --> 00:19:24.340
Ако този елемент е 5, ако 
избера х, у и z, такива, че

00:19:24.340 --> 00:19:27.820
този израз да е равен на 5,
тогава Ах = b няма да има решение,

00:19:27.820 --> 00:19:30.090
защото ще получим, 
че 0 е равно на 5.

00:19:30.090 --> 00:19:32.840
Значи това трябва да е 0.

00:19:32.840 --> 00:19:40.510
Така 2х минус у, минус z, плюс 3х
трябва да е равно на 0, за да може

00:19:40.510 --> 00:19:49.080
b да е валидно и да принадлежи
на векторното пространство на А,

00:19:49.080 --> 00:19:51.700
за да получим валиден вектор

00:19:51.700 --> 00:19:56.510
като резултат от Ах, или
произведението А по х

00:19:56.510 --> 00:19:58.180
да е валидно за някакво х.

00:19:58.180 --> 00:19:59.670
И на какво е равно това?

00:19:59.670 --> 00:20:09.570
Ако съберем 2х плюс 3х,
получаваме 5х, минус у, минус z,

00:20:09.570 --> 00:20:14.050
което е равно на 0, което е
същият резултат, като този, който

00:20:14.050 --> 00:20:15.710
получихме чрез базисните вектори.

00:20:15.710 --> 00:20:16.550
Казахме: Знаеш ли какво?

00:20:16.550 --> 00:20:19.260
Базисните вектори трябва да принадлежат 
на векторното пространство

00:20:19.260 --> 00:20:21.490
по определение.

00:20:21.490 --> 00:20:25.150
Затова да намерим нормалния вектор
към двата от тях, като

00:20:25.150 --> 00:20:26.230
намерим векторното произведение.

00:20:26.230 --> 00:20:30.070
Направих това и казах, че
векторното произведение по произволен

00:20:30.070 --> 00:20:34.700
валиден вектор в нашето пространство
минус един от базисните вектори

00:20:34.700 --> 00:20:37.320
трябва да е равно на нула, и после
получихме това уравнение.

00:20:37.320 --> 00:20:38.750
Можехме да го направим
и по обратния път.

00:20:38.750 --> 00:20:42.440
Можехме буквално да решим
това уравнение, като приемем, че

00:20:42.440 --> 00:20:43.480
нашето b е равно на това.

00:20:43.480 --> 00:20:47.100
Попитахме: Кои стойности на b 
ще ни дадат валидно решение?

00:20:47.100 --> 00:20:50.620
И едиственото валидно решение
може да се получи, когато този вектор

00:20:50.620 --> 00:20:53.760
е равен на 0, защото останалата
част от този ред става 0.

00:20:53.760 --> 00:20:55.250
И когато сложим това да е 
равно на 0, получаваме

00:20:55.250 --> 00:20:56.900
съвсем същото уравнение.

00:20:56.900 --> 00:21:00.000
Надявам се, че намираш това
за сравнително удовлетворяващо,

00:21:00.000 --> 00:21:03.460
защото успяхме да решим
същата задача от две различни посоки,

00:21:03.460 --> 00:21:05.255
и да получим един и същ резултат,

00:21:05.255 --> 00:21:07.740
което показва красотата
на линейната алгебра, и как

00:21:07.740 --> 00:21:09.970
всичко започва да си пасва.