WEBVTT 00:00:00.530 --> 00:00:03.220 I denne videoen vil du få en innføring i 00:00:03.220 --> 00:00:14.190 Pythagoras' læresetning, som er morsom nok i seg selv. 00:00:14.190 --> 00:00:16.930 Men etterhvert som du lærer mer matematikk vil du se at den er 00:00:16.930 --> 00:00:21.570 en av hjørnestenene blant læresetninger i matte. 00:00:21.570 --> 00:00:24.920 Den er nyttig i geometri og den er på en måte ryggraden 00:00:24.920 --> 00:00:26.750 til trigonometri. 00:00:26.750 --> 00:00:29.200 Du vil også bruke den til å regne ut avstander 00:00:29.200 --> 00:00:30.510 mellom punkter. 00:00:30.510 --> 00:00:33.810 Så det er viktig å være sikker på at vi kan dette. 00:00:33.810 --> 00:00:35.570 Nok prat fra min side. 00:00:35.570 --> 00:00:38.320 La meg fortelle deg hva Pythagoras' læresetning er. 00:00:38.320 --> 00:00:43.290 Hvis vi har en trekant, og det er en rettvinklet 00:00:43.290 --> 00:00:49.110 trekant, som betyr at en av de tre vinklene i 00:00:49.110 --> 00:00:51.520 trekanten må være 90 grader. 00:00:51.520 --> 00:00:54.580 Du viser at den er 90 grader ved å tegne denne 00:00:54.580 --> 00:00:55.930 lille boksen akkurat her. 00:00:55.930 --> 00:00:58.830 Så, denne her er-- la meg gjøre dette i en annen 00:00:58.830 --> 00:01:05.550 farge-- en 90 graders vinkel. 00:01:05.550 --> 00:01:09.930 Eller, vi kan kalle det en rett vinkel. 00:01:09.930 --> 00:01:13.390 Og en trekant som har en rett vinkel i seg 00:01:13.390 --> 00:01:15.850 kalles en rettvinklet trekant. 00:01:15.850 --> 00:01:21.700 Så dette kalles en rettvinklet trekant. 00:01:21.700 --> 00:01:25.440 Nå, med Pythagoras' læresetning, hvis vi kjenner til to sider 00:01:25.440 --> 00:01:28.980 av en rettvinklet trekant, kan vi alltid finne ut 00:01:28.980 --> 00:01:30.920 den tredje siden. 00:01:30.920 --> 00:01:34.310 Og før jeg viser deg hvordan du gjør det, la meg gi deg enda 00:01:34.310 --> 00:01:36.560 et begrep. 00:01:36.560 --> 00:01:43.230 Den lengste siden i en rettvinklet trekant, er siden som er motsatt 00:01:43.230 --> 00:01:46.690 av vinkelen som er 90 grader-- eller motsatt av den rette vinkelen. 00:01:46.690 --> 00:01:49.650 I dette tilfellet er det siden som er her. 00:01:49.650 --> 00:01:51.285 Dette er den lengste siden. 00:01:51.285 --> 00:01:55.020 Og måten å finne ut hvor den rette vinkelen er, 00:01:55.020 --> 00:01:58.060 er at den på en måte åpner seg mot den lengste siden 00:01:58.060 --> 00:02:00.150 Denne lengste siden kalles hypotenusen. 00:02:00.150 --> 00:02:03.130 Dette er bra å vite, fordi vi vil referere til den flere ganger. 00:02:12.560 --> 00:02:17.090 La oss si jeg har en trekant som ser slik ut. 00:02:17.090 --> 00:02:19.390 La meg tegne den litt bedre. 00:02:19.390 --> 00:02:22.130 La oss si jeg har en trekant som ser slik ut. 00:02:22.130 --> 00:02:24.010 Og at denne vinkelen her 00:02:24.010 --> 00:02:25.390 er 90 grader 00:02:25.390 --> 00:02:29.860 I dette tilfellet er dette hypotenusen, fordi den 00:02:29.860 --> 00:02:33.410 er motsatt av 90 graders vinkelen. 00:02:33.410 --> 00:02:34.880 Det er den lengste siden. 00:02:34.880 --> 00:02:36.670 La meg gjøre det en gang til, slik at vi blir gode på 00:02:36.670 --> 00:02:39.420 å kjenne igjen hypotenusen. 00:02:39.420 --> 00:02:44.050 La oss si at dette er min trekant, og at 90 00:02:44.050 --> 00:02:45.790 graders vinkelen er her. 00:02:45.790 --> 00:02:47.710 Og jeg tror du kan dette allerede. 00:02:47.710 --> 00:02:49.620 Du går mot den den åpner seg mot. 00:02:49.620 --> 00:02:51.530 Dette er hypotenusen. 00:02:51.530 --> 00:02:53.200 Dette er den lengste siden. 00:02:53.200 --> 00:02:57.940 Når du har funnet hypotenusen-- og la oss si 00:03:00.400 --> 00:03:02.050 at den har lengden C. 00:03:02.050 --> 00:03:03.980 Nå skal vi lære hva Pythagoras' 00:03:03.980 --> 00:03:05.210 læresetning forteller oss. 00:03:05.210 --> 00:03:08.680 La oss si at C er lik lengden på hypotenusen. 00:03:08.680 --> 00:03:11.630 La oss kalle denne C-- denne siden er C. 00:03:11.630 --> 00:03:17.910 La oss kalle siden her borte A. 00:03:17.910 --> 00:03:21.890 Og la oss kalle siden her borte B. 00:03:21.890 --> 00:03:28.620 Pythagoras' læresetgning forteller oss at A i andre-- 00:03:28.620 --> 00:03:32.880 lengden av en av de korte sidene i andre-- pluss 00:03:32.880 --> 00:03:36.890 lengden av den andre korte siden i andre vil være 00:03:36.890 --> 00:03:41.370 lik lengden på hypotenusen i andre. 00:03:41.370 --> 00:03:43.740 La oss gjøre dette med en ekte problemstilling, og du vil se 00:03:43.740 --> 00:03:45.820 at dette egentlig ikke er så ille. 00:03:45.820 --> 00:03:49.820 La oss si at jeg har en trekant som ser slik ut. 00:03:49.820 --> 00:03:51.050 La meg tegne den. 00:03:51.050 --> 00:03:54.210 La oss si at dette er min trekant. 00:03:54.210 --> 00:03:57.160 Den ser omtrent slik ut. 00:03:57.160 --> 00:04:00.560 Og la oss si at de forteller oss at dette er den rette vinkelen. 00:04:00.560 --> 00:04:02.940 At denne lengden her-- la meg gjøre dette i andre 00:04:02.940 --> 00:04:06.830 farger-- denne lengden her er 3, og denne 00:04:06.830 --> 00:04:09.170 lengden her er 4. 00:04:09.170 --> 00:04:14.490 Og at de vil vi skal finne ut hva lengden her er. 00:04:14.490 --> 00:04:17.130 Det første du må gjøre, før du bruker 00:04:17.130 --> 00:04:19.660 Pythagoras' læresetning, er å være sikker på at du har fått 00:04:19.660 --> 00:04:20.710 hypotenusen riktig. 00:04:20.710 --> 00:04:23.350 Du må vite hva du skal løse det for. 00:04:23.350 --> 00:04:26.120 Og i dette tilfellet skal vi løse det for hypotenusen. 00:04:26.120 --> 00:04:30.440 Og vi vet det fordi denne siden, er den som er 00:04:30.440 --> 00:04:33.310 motsatt av den rette vinkelen. 00:04:33.310 --> 00:04:36.540 Hvis vi ser på Pythagoras' læresetning, så er dette C. 00:04:36.540 --> 00:04:38.160 Dette er den lengste siden. 00:04:38.160 --> 00:04:41.920 Nå er vi klare til å bruke Pythagoras' læresetning. 00:04:41.920 --> 00:04:48.070 Den forteller oss at 4 i andre-- en av de korteste sidene-- pluss 00:04:48.070 --> 00:04:53.260 3 i andre-- en annen av de korteste sidene opphøyd i andre-- 00:04:53.260 --> 00:04:56.080 skal være lik den lengste siden opphøyd i andre-- 00:04:56.080 --> 00:05:00.590 hypotenusen i andre-- skal være lik C i andre. 00:05:00.590 --> 00:05:02.310 Også løser vi den for C. 00:05:02.310 --> 00:05:06.380 4 i andre er det samme som 4 ganger 4. 00:05:06.380 --> 00:05:08.460 Det er 16. 00:05:08.460 --> 00:05:11.910 Og 3 i andre er det samme som 3 ganger 3. 00:05:11.910 --> 00:05:13.810 Som er 9. 00:05:13.810 --> 00:05:18.580 Og det skal være lik C i andre. 00:05:18.580 --> 00:05:20.610 Så hva er 16 pluss 9? 00:05:20.610 --> 00:05:22.480 Det er 25. 00:05:22.480 --> 00:05:25.195 Så 25 er lik C i andre. 00:05:25.195 --> 00:05:29.020 Da kan vi ta den positive roten av begge sider. 00:05:29.020 --> 00:05:30.960 Egentlig, hvis du ser på det rent matematisk, så kunne det 00:05:30.960 --> 00:05:33.160 være minus 5 også. 00:05:33.160 --> 00:05:34.870 Men vi har med avstander å gjøre, så vi bryr oss bare 00:05:34.870 --> 00:05:37.050 den positive roten. 00:05:37.050 --> 00:05:41.170 Du tar roten av begge sider og 00:05:41.170 --> 00:05:44.280 du får at 5 er lik C. 00:05:44.280 --> 00:05:50.260 Eller, lengden på den lengste siden er lik 5. 00:05:50.260 --> 00:05:52.640 Du kan bruke Pythagoras' læresetning, så lenge vi har 00:05:52.640 --> 00:05:54.620 to av sidene. Du kan da uansett 00:05:54.620 --> 00:05:55.690 finne ut hva den tredje er. 00:05:55.690 --> 00:05:59.300 Så la oss gjøre enda en her borte. 00:05:59.300 --> 00:06:10.670 La oss si at vår trekant ser slik ut. 00:06:10.670 --> 00:06:12.610 Og at dette er den rette vinkelen. 00:06:12.610 --> 00:06:17.820 La oss si at denne siden har en lengde på 12, og la oss si 00:06:17.820 --> 00:06:21.080 at denne siden har en lengde på 6. 00:06:21.080 --> 00:06:27.210 Og vi ønsker å finne ut hva lengden på denne her borte er. 00:06:27.210 --> 00:06:29.870 Som jeg sa, det første du må gjøre er å 00:06:29.870 --> 00:06:31.350 finne hypotenusen. 00:06:31.350 --> 00:06:34.130 Og det er siden som er motsatt av den rette vinkelen. 00:06:34.130 --> 00:06:35.550 Den rette vinkelen er her. 00:06:35.550 --> 00:06:37.650 Du går motsatt fra den rette vinkelen. 00:06:37.650 --> 00:06:41.460 Den lengste siden, hypotenusen, er her. 00:06:41.460 --> 00:06:46.100 Så hvis vi tenker på Pythagoras' læresetning-- at A 00:06:46.100 --> 00:06:50.820 i andre pluss B i andre er lik C i andre-- 00:06:50.820 --> 00:06:52.220 12 kan du se på som C. 00:06:52.220 --> 00:06:54.740 Dette er hypotenusen. 00:06:54.740 --> 00:06:56.670 C i andre er hypotenusen i andre. 00:06:56.670 --> 00:06:59.030 Så du kan si at 12 er lik C. 00:06:59.030 --> 00:07:00.880 Og da kan vi si at disse sidene, det betyr ikke noe 00:07:00.880 --> 00:07:02.580 om du kaller en av de A eller B. 00:07:02.580 --> 00:07:04.970 Så la oss kalle denne siden. 00:07:04.970 --> 00:07:06.990 La oss si at A er lik 6. 00:07:06.990 --> 00:07:11.780 Og så sier vi at B-- denne fargede B-- 00:07:11.780 --> 00:07:12.640 er lik et spørsmålstegn. 00:07:12.640 --> 00:07:15.070 Nå kan vi bruke Pythagoras' læresetning. 00:07:15.070 --> 00:07:25.940 A i andre, som er 6 i andre, pluss den ukjente B i andre er 00:07:25.940 --> 00:07:28.330 lik hypotenusen i andre-- er lik 00:07:28.330 --> 00:07:29.760 C i andre. 00:07:29.760 --> 00:07:33.250 Er lik 12 i andre. 00:07:33.250 --> 00:07:35.260 Og nå kan vi løse det for B. 00:07:35.260 --> 00:07:36.370 Og se på forskjellen her. 00:07:36.370 --> 00:07:38.110 Nå løser vi det ikke for hypotenusen. 00:07:38.110 --> 00:07:40.210 Vi løser det for en av de kortere sidene. 00:07:40.210 --> 00:07:42.790 I det forrige eksempelet løste vi det for hypotenusen. 00:07:42.790 --> 00:07:43.790 Vi løste det for C. 00:07:43.790 --> 00:07:46.570 Derfor er det alltid viktig å vite at 00:07:46.570 --> 00:07:49.190 A i andre pluss B i andre pluss C i andre, C er lengden 00:07:49.190 --> 00:07:49.670 på hypotenusen. 00:07:49.670 --> 00:07:51.850 Så la oss løse det for B her. 00:07:51.850 --> 00:07:59.280 Vi får 6 i andre som er 36, pluss B i andre, som 00:07:59.280 --> 00:08:04.700 er lik 12 i andre-- 12 ganger 12-- er 144. 00:08:04.700 --> 00:08:08.550 Nå kan vi trekke fra 36 fra begge sider av denne ligningen. 00:08:08.550 --> 00:08:11.420 Disse nulles ut. 00:08:13.270 --> 00:08:17.510 På venstresiden står vi igjen med B i andre 00:08:17.510 --> 00:08:23.410 som er lik-- 144 minus 36 er hva? 00:08:30.080 --> 00:08:33.910 Dette blir 108. 00:08:33.910 --> 00:08:36.630 Så det er det B i andre er, og nå vil vi ta 00:08:36.630 --> 00:08:40.600 den positive roten av begge sider. 00:08:40.600 --> 00:08:44.430 Og du får at B er lik roten av 00:08:44.430 --> 00:08:48.650 den positive roten, av 108. 00:08:48.650 --> 00:08:50.550 La oss se om vi kan forenkle dette litt. 00:08:50.550 --> 00:08:53.550 Roten av 108. 00:08:53.550 --> 00:08:54.930 Og det vi kan gjøre er å ta 00:08:54.930 --> 00:08:56.670 primfaktoren av 108 og se hvordan vi kan 00:08:56.670 --> 00:08:58.410 forenkle dette rotuttrykket. 00:08:58.410 --> 00:09:07.590 Så 108 er det samme som 2 ganger 54, som er det samme 00:09:07.590 --> 00:09:15.570 som 2 ganger 27, som er det samme som 3 ganger 9. 00:09:15.570 --> 00:09:19.780 Så vi har kvadratroten av 108, som er det samme som 00:09:19.780 --> 00:09:24.550 kvadratroten av 2 ganger 2-- faktisk så er 00:09:24.550 --> 00:09:25.520 jeg ikke ferdig. 00:09:25.520 --> 00:09:28.760 9 kan bli faktorisert til 3 ganger 3. 00:09:28.760 --> 00:09:34.170 Så det blir 2 ganger 2 ganger 3 ganger 3 ganger 3 00:09:34.170 --> 00:09:36.820 Og slik har vi nå fått noen perfekte kvadrater her. 00:09:36.820 --> 00:09:38.680 La meg skrive dette litt finere. 00:09:38.680 --> 00:09:41.160 Og dette er en øvelse i å forenkle rotuttrykk som du 00:09:41.160 --> 00:09:44.200 ofte vil støte på sammen med Pythagoras' læresetning, 00:09:44.200 --> 00:09:46.460 så det skader ikke å gjøre det her. 00:09:46.460 --> 00:09:55.820 Så dette er det samme som kvadratroten av 2 ganger 2 00:09:55.820 --> 00:10:00.790 ganger 3 ganger 3 ganger 3 ganger kvadratroten av det siste 00:10:00.790 --> 00:10:02.510 3-tallet der borte. 00:10:02.510 --> 00:10:04.090 Og dette er det samme. 00:10:04.090 --> 00:10:05.785 Og, du vet, du trenger ikke gjøre alt 00:10:05.785 --> 00:10:07.960 dette på papir. 00:10:07.960 --> 00:10:08.970 Du kan gjøre det i hodet. 00:10:08.970 --> 00:10:09.530 Hva er dette? 00:10:09.530 --> 00:10:11.780 2 ganger 2 er 4. 00:10:11.780 --> 00:10:14.200 4 ganger 9, er 36. 00:10:14.200 --> 00:10:18.030 Så dette er kvadratroten av 36 ganger kvadratroten av 3. 00:10:18.030 --> 00:10:20.610 Den positive roten av 36 er 6. 00:10:20.610 --> 00:10:25.380 Så dette forenkles til 6 kvadratroten av 3. 00:10:25.380 --> 00:10:28.730 Så lengden av B, du kan skrive den som kvadratroten av 00:10:28.730 --> 00:10:34.040 108, eller du kan si at den er lik 6 ganger 00:10:34.040 --> 00:10:35.040 kvadratroten av 3. 00:10:35.040 --> 00:10:37.150 Dette er 12, dette er 6. 00:10:37.150 --> 00:10:40.580 Og kvadratroten av 3, dette vil bli 1 00:10:40.580 --> 00:10:41.600 komma noe noe. 00:10:41.600 --> 00:10:45.360 Så den vil bli litt større enn 6.