1
00:00:00,530 --> 00:00:03,220
I denne videoen vil du få en innføring i

2
00:00:03,220 --> 00:00:14,190
Pythagoras' læresetning,
som er morsom nok i seg selv.

3
00:00:14,190 --> 00:00:16,930
Men etterhvert som du lærer mer
matematikk vil du se at den er

4
00:00:16,930 --> 00:00:21,570
en av hjørnestenene blant
læresetninger i matte.

5
00:00:21,570 --> 00:00:24,920
Den er nyttig i geometri og
den er på en måte ryggraden

6
00:00:24,920 --> 00:00:26,750
til trigonometri.

7
00:00:26,750 --> 00:00:29,200
Du vil også bruke den til å regne ut avstander

8
00:00:29,200 --> 00:00:30,510
mellom punkter.

9
00:00:30,510 --> 00:00:33,810
Så det er viktig å være sikker på at vi kan dette.

10
00:00:33,810 --> 00:00:35,570
Nok prat fra min side.

11
00:00:35,570 --> 00:00:38,320
La meg fortelle deg hva
Pythagoras' læresetning er.

12
00:00:38,320 --> 00:00:43,290
Hvis vi har en trekant,
og det er en rettvinklet

13
00:00:43,290 --> 00:00:49,110
trekant, som betyr at en av de tre vinklene i

14
00:00:49,110 --> 00:00:51,520
trekanten må være 90 grader.

15
00:00:51,520 --> 00:00:54,580
Du viser at den er 90 grader ved å tegne denne

16
00:00:54,580 --> 00:00:55,930
lille boksen akkurat her.

17
00:00:55,930 --> 00:00:58,830
Så, denne her er--
la meg gjøre dette i en annen

18
00:00:58,830 --> 00:01:05,550
farge-- en 90 graders vinkel.

19
00:01:05,550 --> 00:01:09,930
Eller, vi kan kalle det en rett vinkel.

20
00:01:09,930 --> 00:01:13,390
Og en trekant som har en rett vinkel i seg

21
00:01:13,390 --> 00:01:15,850
kalles en rettvinklet trekant.

22
00:01:15,850 --> 00:01:21,700
Så dette kalles en rettvinklet trekant.

23
00:01:21,700 --> 00:01:25,440
Nå, med Pythagoras' læresetning,
hvis vi kjenner til to sider

24
00:01:25,440 --> 00:01:28,980
av en rettvinklet trekant,
kan vi alltid finne ut

25
00:01:28,980 --> 00:01:30,920
den tredje siden.

26
00:01:30,920 --> 00:01:34,310
Og før jeg viser deg hvordan
du gjør det, la meg gi deg enda

27
00:01:34,310 --> 00:01:36,560
et begrep.

28
00:01:36,560 --> 00:01:43,230
Den lengste siden i en rettvinklet trekant,
er siden som er motsatt

29
00:01:43,230 --> 00:01:46,690
av vinkelen som er 90 grader--
eller motsatt av den rette vinkelen.

30
00:01:46,690 --> 00:01:49,650
I dette tilfellet er det siden som er her.

31
00:01:49,650 --> 00:01:51,285
Dette er den lengste siden.

32
00:01:51,285 --> 00:01:55,020
Og måten å finne ut hvor den rette vinkelen er,

33
00:01:55,020 --> 00:01:58,060
er at den på en måte åpner
seg mot den lengste siden

34
00:01:58,060 --> 00:02:00,150
Denne lengste siden kalles hypotenusen.

35
00:02:00,150 --> 00:02:03,130
Dette er bra å vite,
fordi vi vil referere til den flere ganger.

36
00:02:12,560 --> 00:02:17,090
La oss si jeg har en trekant som ser slik ut.

37
00:02:17,090 --> 00:02:19,390
La meg tegne den litt bedre.

38
00:02:19,390 --> 00:02:22,130
La oss si jeg har en trekant som ser slik ut.

39
00:02:22,130 --> 00:02:24,010
Og at denne vinkelen her

40
00:02:24,010 --> 00:02:25,390
er 90 grader

41
00:02:25,390 --> 00:02:29,860
I dette tilfellet er dette hypotenusen,
fordi den

42
00:02:29,860 --> 00:02:33,410
er motsatt av 90 graders vinkelen.

43
00:02:33,410 --> 00:02:34,880
Det er den lengste siden.

44
00:02:34,880 --> 00:02:36,670
La meg gjøre det en gang til,
slik at vi blir gode på

45
00:02:36,670 --> 00:02:39,420
å kjenne igjen hypotenusen.

46
00:02:39,420 --> 00:02:44,050
La oss si at dette er min trekant, og at 90

47
00:02:44,050 --> 00:02:45,790
graders vinkelen er her.

48
00:02:45,790 --> 00:02:47,710
Og jeg tror du kan dette allerede.

49
00:02:47,710 --> 00:02:49,620
Du går mot den den åpner seg mot.

50
00:02:49,620 --> 00:02:51,530
Dette er hypotenusen.

51
00:02:51,530 --> 00:02:53,200
Dette er den lengste siden.

52
00:02:53,200 --> 00:02:57,940
Når du har funnet hypotenusen--
og la oss si

53
00:03:00,400 --> 00:03:02,050
at den har lengden C.

54
00:03:02,050 --> 00:03:03,980
Nå skal vi lære hva Pythagoras'

55
00:03:03,980 --> 00:03:05,210
læresetning forteller oss.

56
00:03:05,210 --> 00:03:08,680
La oss si at C er lik lengden på hypotenusen.

57
00:03:08,680 --> 00:03:11,630
La oss kalle denne C--
denne siden er C.

58
00:03:11,630 --> 00:03:17,910
La oss kalle siden her borte A.

59
00:03:17,910 --> 00:03:21,890
Og la oss kalle siden her borte B.

60
00:03:21,890 --> 00:03:28,620
Pythagoras' læresetgning
forteller oss at A i andre--

61
00:03:28,620 --> 00:03:32,880
lengden av en av de korte sidene i andre-- pluss

62
00:03:32,880 --> 00:03:36,890
lengden av den andre korte siden i andre vil være

63
00:03:36,890 --> 00:03:41,370
lik lengden på hypotenusen i andre.

64
00:03:41,370 --> 00:03:43,740
La oss gjøre dette med en ekte
problemstilling, og du vil se

65
00:03:43,740 --> 00:03:45,820
at dette egentlig ikke er så ille.

66
00:03:45,820 --> 00:03:49,820
La oss si at jeg har en trekant som ser slik ut.

67
00:03:49,820 --> 00:03:51,050
La meg tegne den.

68
00:03:51,050 --> 00:03:54,210
La oss si at dette er min trekant.

69
00:03:54,210 --> 00:03:57,160
Den ser omtrent slik ut.

70
00:03:57,160 --> 00:04:00,560
Og la oss si at de forteller oss
at dette er den rette vinkelen.

71
00:04:00,560 --> 00:04:02,940
At denne lengden her--
la meg gjøre dette i andre

72
00:04:02,940 --> 00:04:06,830
farger-- denne lengden her er 3, og denne

73
00:04:06,830 --> 00:04:09,170
lengden her er 4.

74
00:04:09,170 --> 00:04:14,490
Og at de vil vi skal finne ut hva lengden her er.

75
00:04:14,490 --> 00:04:17,130
Det første du må gjøre, før du bruker

76
00:04:17,130 --> 00:04:19,660
Pythagoras' læresetning,
er å være sikker på at du har fått

77
00:04:19,660 --> 00:04:20,710
hypotenusen riktig.

78
00:04:20,710 --> 00:04:23,350
Du må vite hva du skal løse det for.

79
00:04:23,350 --> 00:04:26,120
Og i dette tilfellet skal vi løse det for hypotenusen.

80
00:04:26,120 --> 00:04:30,440
Og vi vet det fordi denne siden, er den som er

81
00:04:30,440 --> 00:04:33,310
motsatt av den rette vinkelen.

82
00:04:33,310 --> 00:04:36,540
Hvis vi ser på Pythagoras' læresetning,
så er dette C.

83
00:04:36,540 --> 00:04:38,160
Dette er den lengste siden.

84
00:04:38,160 --> 00:04:41,920
Nå er vi klare til å bruke Pythagoras' læresetning.

85
00:04:41,920 --> 00:04:48,070
Den forteller oss at 4 i andre--
en av de korteste sidene-- pluss

86
00:04:48,070 --> 00:04:53,260
3 i andre--
en annen av de korteste sidene opphøyd i andre--

87
00:04:53,260 --> 00:04:56,080
skal være lik den lengste siden opphøyd i andre--

88
00:04:56,080 --> 00:05:00,590
hypotenusen i andre-- skal være lik C i andre.

89
00:05:00,590 --> 00:05:02,310
Også løser vi den for C.

90
00:05:02,310 --> 00:05:06,380
4 i andre er det samme som 4 ganger 4.

91
00:05:06,380 --> 00:05:08,460
Det er 16.

92
00:05:08,460 --> 00:05:11,910
Og 3 i andre er det samme som 3 ganger 3.

93
00:05:11,910 --> 00:05:13,810
Som er 9.

94
00:05:13,810 --> 00:05:18,580
Og det skal være lik C i andre.

95
00:05:18,580 --> 00:05:20,610
Så hva er 16 pluss 9?

96
00:05:20,610 --> 00:05:22,480
Det er 25.

97
00:05:22,480 --> 00:05:25,195
Så 25 er lik C i andre.

98
00:05:25,195 --> 00:05:29,020
Da kan vi ta den positive roten av begge sider.

99
00:05:29,020 --> 00:05:30,960
Egentlig, hvis du ser på det rent matematisk,
så kunne det

100
00:05:30,960 --> 00:05:33,160
være minus 5 også.

101
00:05:33,160 --> 00:05:34,870
Men vi har med avstander å gjøre,
så vi bryr oss bare

102
00:05:34,870 --> 00:05:37,050
den positive roten.

103
00:05:37,050 --> 00:05:41,170
Du tar roten av begge sider og

104
00:05:41,170 --> 00:05:44,280
du får at 5 er lik C.

105
00:05:44,280 --> 00:05:50,260
Eller, lengden på den lengste siden er lik 5.

106
00:05:50,260 --> 00:05:52,640
Du kan bruke Pythagoras' læresetning,
så lenge vi har

107
00:05:52,640 --> 00:05:54,620
to av sidene. Du kan da uansett

108
00:05:54,620 --> 00:05:55,690
finne ut hva den tredje er.

109
00:05:55,690 --> 00:05:59,300
Så la oss gjøre enda en her borte.

110
00:05:59,300 --> 00:06:10,670
La oss si at vår trekant ser slik ut.

111
00:06:10,670 --> 00:06:12,610
Og at dette er den rette vinkelen.

112
00:06:12,610 --> 00:06:17,820
La oss si at denne siden har en lengde på 12,
og la oss si

113
00:06:17,820 --> 00:06:21,080
at denne siden har en lengde på 6.

114
00:06:21,080 --> 00:06:27,210
Og vi ønsker å finne ut hva
lengden på denne her borte er.

115
00:06:27,210 --> 00:06:29,870
Som jeg sa, det første du må gjøre er å

116
00:06:29,870 --> 00:06:31,350
finne hypotenusen.

117
00:06:31,350 --> 00:06:34,130
Og det er siden som er motsatt av den rette vinkelen.

118
00:06:34,130 --> 00:06:35,550
Den rette vinkelen er her.

119
00:06:35,550 --> 00:06:37,650
Du går motsatt fra den rette vinkelen.

120
00:06:37,650 --> 00:06:41,460
Den lengste siden, hypotenusen, er her.

121
00:06:41,460 --> 00:06:46,100
Så hvis vi tenker på Pythagoras' læresetning-- at A

122
00:06:46,100 --> 00:06:50,820
i andre pluss B i andre er lik C i andre--

123
00:06:50,820 --> 00:06:52,220
12 kan du se på som C.

124
00:06:52,220 --> 00:06:54,740
Dette er hypotenusen.

125
00:06:54,740 --> 00:06:56,670
C i andre er hypotenusen i andre.

126
00:06:56,670 --> 00:06:59,030
Så du kan si at 12 er lik C.

127
00:06:59,030 --> 00:07:00,880
Og da kan vi si at disse sidene,
det betyr ikke noe

128
00:07:00,880 --> 00:07:02,580
om du kaller en av de A eller B.

129
00:07:02,580 --> 00:07:04,970
Så la oss kalle denne siden.

130
00:07:04,970 --> 00:07:06,990
La oss si at A er lik 6.

131
00:07:06,990 --> 00:07:11,780
Og så sier vi at B-- denne fargede B--

132
00:07:11,780 --> 00:07:12,640
er lik et spørsmålstegn.

133
00:07:12,640 --> 00:07:15,070
Nå kan vi bruke Pythagoras' læresetning.

134
00:07:15,070 --> 00:07:25,940
A i andre, som er 6 i andre,
pluss den ukjente B i andre er

135
00:07:25,940 --> 00:07:28,330
lik hypotenusen i andre-- er lik

136
00:07:28,330 --> 00:07:29,760
C i andre.

137
00:07:29,760 --> 00:07:33,250
Er lik 12 i andre.

138
00:07:33,250 --> 00:07:35,260
Og nå kan vi løse det for B.

139
00:07:35,260 --> 00:07:36,370
Og se på forskjellen her.

140
00:07:36,370 --> 00:07:38,110
Nå løser vi det ikke for hypotenusen.

141
00:07:38,110 --> 00:07:40,210
Vi løser det for en av de kortere sidene.

142
00:07:40,210 --> 00:07:42,790
I det forrige eksempelet løste
vi det for hypotenusen.

143
00:07:42,790 --> 00:07:43,790
Vi løste det for C.

144
00:07:43,790 --> 00:07:46,570
Derfor er det alltid viktig å vite at

145
00:07:46,570 --> 00:07:49,190
A i andre pluss B i andre pluss C i andre,
C er lengden

146
00:07:49,190 --> 00:07:49,670
på hypotenusen.

147
00:07:49,670 --> 00:07:51,850
Så la oss løse det for B her.

148
00:07:51,850 --> 00:07:59,280
Vi får 6 i andre som er 36,
pluss B i andre, som

149
00:07:59,280 --> 00:08:04,700
er lik 12 i andre-- 12 ganger 12-- er 144.

150
00:08:04,700 --> 00:08:08,550
Nå kan vi trekke fra 36 fra
begge sider av denne ligningen.

151
00:08:08,550 --> 00:08:11,420
Disse nulles ut.

152
00:08:13,270 --> 00:08:17,510
På venstresiden står vi igjen med B i andre

153
00:08:17,510 --> 00:08:23,410
som er lik-- 144 minus 36 er hva?

154
00:08:30,080 --> 00:08:33,910
Dette blir 108.

155
00:08:33,910 --> 00:08:36,630
Så det er det B i andre er,
og nå vil vi ta

156
00:08:36,630 --> 00:08:40,600
den positive roten av begge sider.

157
00:08:40,600 --> 00:08:44,430
Og du får at B er lik roten av

158
00:08:44,430 --> 00:08:48,650
den positive roten, av 108.

159
00:08:48,650 --> 00:08:50,550
La oss se om vi kan forenkle dette litt.

160
00:08:50,550 --> 00:08:53,550
Roten av 108.

161
00:08:53,550 --> 00:08:54,930
Og det vi kan gjøre er å ta

162
00:08:54,930 --> 00:08:56,670
primfaktoren av 108 og se hvordan vi kan

163
00:08:56,670 --> 00:08:58,410
forenkle dette rotuttrykket.

164
00:08:58,410 --> 00:09:07,590
Så 108 er det samme som
2 ganger 54, som er det samme

165
00:09:07,590 --> 00:09:15,570
som 2 ganger 27,
som er det samme som 3 ganger 9.

166
00:09:15,570 --> 00:09:19,780
Så vi har kvadratroten av 108,
som er det samme som

167
00:09:19,780 --> 00:09:24,550
kvadratroten av 2 ganger 2-- faktisk så er

168
00:09:24,550 --> 00:09:25,520
jeg ikke ferdig.

169
00:09:25,520 --> 00:09:28,760
9 kan bli faktorisert til 3 ganger 3.

170
00:09:28,760 --> 00:09:34,170
Så det blir 2 ganger 2 ganger
3 ganger 3 ganger 3

171
00:09:34,170 --> 00:09:36,820
Og slik har vi nå fått noen perfekte kvadrater her.

172
00:09:36,820 --> 00:09:38,680
La meg skrive dette litt finere.

173
00:09:38,680 --> 00:09:41,160
Og dette er en øvelse i å forenkle rotuttrykk som du

174
00:09:41,160 --> 00:09:44,200
ofte vil støte på sammen med
Pythagoras' læresetning,

175
00:09:44,200 --> 00:09:46,460
så det skader ikke å gjøre det her.

176
00:09:46,460 --> 00:09:55,820
Så dette er det samme som
kvadratroten av 2 ganger 2

177
00:09:55,820 --> 00:10:00,790
ganger 3 ganger 3 ganger 3 ganger
kvadratroten av det siste

178
00:10:00,790 --> 00:10:02,510
3-tallet der borte.

179
00:10:02,510 --> 00:10:04,090
Og dette er det samme.

180
00:10:04,090 --> 00:10:05,785
Og, du vet, du trenger ikke gjøre alt

181
00:10:05,785 --> 00:10:07,960
dette på papir.

182
00:10:07,960 --> 00:10:08,970
Du kan gjøre det i hodet.

183
00:10:08,970 --> 00:10:09,530
Hva er dette?

184
00:10:09,530 --> 00:10:11,780
2 ganger 2 er 4.

185
00:10:11,780 --> 00:10:14,200
4 ganger 9, er 36.

186
00:10:14,200 --> 00:10:18,030
Så dette er kvadratroten av 36
ganger kvadratroten av 3.

187
00:10:18,030 --> 00:10:20,610
Den positive roten av 36 er 6.

188
00:10:20,610 --> 00:10:25,380
Så dette forenkles til
6 kvadratroten av 3.

189
00:10:25,380 --> 00:10:28,730
Så lengden av B,
du kan skrive den som kvadratroten av

190
00:10:28,730 --> 00:10:34,040
108, eller du kan si at den er lik 6 ganger

191
00:10:34,040 --> 00:10:35,040
kvadratroten av 3.

192
00:10:35,040 --> 00:10:37,150
Dette er 12, dette er 6.

193
00:10:37,150 --> 00:10:40,580
Og kvadratroten av 3, dette vil bli 1

194
00:10:40,580 --> 00:10:41,600
komma noe noe.

195
00:10:41,600 --> 00:10:45,360
Så den vil bli litt større enn 6.