0:00:00.530,0:00:03.220
I denne videoen vil du få en innføring i

0:00:03.220,0:00:14.190
Pythagoras' læresetning,[br]som er morsom nok i seg selv.

0:00:14.190,0:00:16.930
Men etterhvert som du lærer mer[br]matematikk vil du se at den er

0:00:16.930,0:00:21.570
en av hjørnestenene blant[br]læresetninger i matte.

0:00:21.570,0:00:24.920
Den er nyttig i geometri og[br]den er på en måte ryggraden

0:00:24.920,0:00:26.750
til trigonometri.

0:00:26.750,0:00:29.200
Du vil også bruke den til å regne ut avstander

0:00:29.200,0:00:30.510
mellom punkter.

0:00:30.510,0:00:33.810
Så det er viktig å være sikker på at vi kan dette.

0:00:33.810,0:00:35.570
Nok prat fra min side.

0:00:35.570,0:00:38.320
La meg fortelle deg hva[br]Pythagoras' læresetning er.

0:00:38.320,0:00:43.290
Hvis vi har en trekant,[br]og det er en rettvinklet

0:00:43.290,0:00:49.110
trekant, som betyr at en av de tre vinklene i

0:00:49.110,0:00:51.520
trekanten må være 90 grader.

0:00:51.520,0:00:54.580
Du viser at den er 90 grader ved å tegne denne

0:00:54.580,0:00:55.930
lille boksen akkurat her.

0:00:55.930,0:00:58.830
Så, denne her er--[br]la meg gjøre dette i en annen

0:00:58.830,0:01:05.550
farge-- en 90 graders vinkel.

0:01:05.550,0:01:09.930
Eller, vi kan kalle det en rett vinkel.

0:01:09.930,0:01:13.390
Og en trekant som har en rett vinkel i seg

0:01:13.390,0:01:15.850
kalles en rettvinklet trekant.

0:01:15.850,0:01:21.700
Så dette kalles en rettvinklet trekant.

0:01:21.700,0:01:25.440
Nå, med Pythagoras' læresetning,[br]hvis vi kjenner til to sider

0:01:25.440,0:01:28.980
av en rettvinklet trekant,[br]kan vi alltid finne ut

0:01:28.980,0:01:30.920
den tredje siden.

0:01:30.920,0:01:34.310
Og før jeg viser deg hvordan[br]du gjør det, la meg gi deg enda

0:01:34.310,0:01:36.560
et begrep.

0:01:36.560,0:01:43.230
Den lengste siden i en rettvinklet trekant,[br]er siden som er motsatt

0:01:43.230,0:01:46.690
av vinkelen som er 90 grader--[br]eller motsatt av den rette vinkelen.

0:01:46.690,0:01:49.650
I dette tilfellet er det siden som er her.

0:01:49.650,0:01:51.285
Dette er den lengste siden.

0:01:51.285,0:01:55.020
Og måten å finne ut hvor den rette vinkelen er,

0:01:55.020,0:01:58.060
er at den på en måte åpner[br]seg mot den lengste siden

0:01:58.060,0:02:00.150
Denne lengste siden kalles hypotenusen.

0:02:00.150,0:02:03.130
Dette er bra å vite,[br]fordi vi vil referere til den flere ganger.

0:02:12.560,0:02:17.090
La oss si jeg har en trekant som ser slik ut.

0:02:17.090,0:02:19.390
La meg tegne den litt bedre.

0:02:19.390,0:02:22.130
La oss si jeg har en trekant som ser slik ut.

0:02:22.130,0:02:24.010
Og at denne vinkelen her

0:02:24.010,0:02:25.390
er 90 grader

0:02:25.390,0:02:29.860
I dette tilfellet er dette hypotenusen,[br]fordi den

0:02:29.860,0:02:33.410
er motsatt av 90 graders vinkelen.

0:02:33.410,0:02:34.880
Det er den lengste siden.

0:02:34.880,0:02:36.670
La meg gjøre det en gang til,[br]slik at vi blir gode på

0:02:36.670,0:02:39.420
å kjenne igjen hypotenusen.

0:02:39.420,0:02:44.050
La oss si at dette er min trekant, og at 90

0:02:44.050,0:02:45.790
graders vinkelen er her.

0:02:45.790,0:02:47.710
Og jeg tror du kan dette allerede.

0:02:47.710,0:02:49.620
Du går mot den den åpner seg mot.

0:02:49.620,0:02:51.530
Dette er hypotenusen.

0:02:51.530,0:02:53.200
Dette er den lengste siden.

0:02:53.200,0:02:57.940
Når du har funnet hypotenusen--[br]og la oss si

0:03:00.400,0:03:02.050
at den har lengden C.

0:03:02.050,0:03:03.980
Nå skal vi lære hva Pythagoras'

0:03:03.980,0:03:05.210
læresetning forteller oss.

0:03:05.210,0:03:08.680
La oss si at C er lik lengden på hypotenusen.

0:03:08.680,0:03:11.630
La oss kalle denne C--[br]denne siden er C.

0:03:11.630,0:03:17.910
La oss kalle siden her borte A.

0:03:17.910,0:03:21.890
Og la oss kalle siden her borte B.

0:03:21.890,0:03:28.620
Pythagoras' læresetgning[br]forteller oss at A i andre--

0:03:28.620,0:03:32.880
lengden av en av de korte sidene i andre-- pluss

0:03:32.880,0:03:36.890
lengden av den andre korte siden i andre vil være

0:03:36.890,0:03:41.370
lik lengden på hypotenusen i andre.

0:03:41.370,0:03:43.740
La oss gjøre dette med en ekte[br]problemstilling, og du vil se

0:03:43.740,0:03:45.820
at dette egentlig ikke er så ille.

0:03:45.820,0:03:49.820
La oss si at jeg har en trekant som ser slik ut.

0:03:49.820,0:03:51.050
La meg tegne den.

0:03:51.050,0:03:54.210
La oss si at dette er min trekant.

0:03:54.210,0:03:57.160
Den ser omtrent slik ut.

0:03:57.160,0:04:00.560
Og la oss si at de forteller oss[br]at dette er den rette vinkelen.

0:04:00.560,0:04:02.940
At denne lengden her--[br]la meg gjøre dette i andre

0:04:02.940,0:04:06.830
farger-- denne lengden her er 3, og denne

0:04:06.830,0:04:09.170
lengden her er 4.

0:04:09.170,0:04:14.490
Og at de vil vi skal finne ut hva lengden her er.

0:04:14.490,0:04:17.130
Det første du må gjøre, før du bruker

0:04:17.130,0:04:19.660
Pythagoras' læresetning,[br]er å være sikker på at du har fått

0:04:19.660,0:04:20.710
hypotenusen riktig.

0:04:20.710,0:04:23.350
Du må vite hva du skal løse det for.

0:04:23.350,0:04:26.120
Og i dette tilfellet skal vi løse det for hypotenusen.

0:04:26.120,0:04:30.440
Og vi vet det fordi denne siden, er den som er

0:04:30.440,0:04:33.310
motsatt av den rette vinkelen.

0:04:33.310,0:04:36.540
Hvis vi ser på Pythagoras' læresetning,[br]så er dette C.

0:04:36.540,0:04:38.160
Dette er den lengste siden.

0:04:38.160,0:04:41.920
Nå er vi klare til å bruke Pythagoras' læresetning.

0:04:41.920,0:04:48.070
Den forteller oss at 4 i andre--[br]en av de korteste sidene-- pluss

0:04:48.070,0:04:53.260
3 i andre--[br]en annen av de korteste sidene opphøyd i andre--

0:04:53.260,0:04:56.080
skal være lik den lengste siden opphøyd i andre--

0:04:56.080,0:05:00.590
hypotenusen i andre-- skal være lik C i andre.

0:05:00.590,0:05:02.310
Også løser vi den for C.

0:05:02.310,0:05:06.380
4 i andre er det samme som 4 ganger 4.

0:05:06.380,0:05:08.460
Det er 16.

0:05:08.460,0:05:11.910
Og 3 i andre er det samme som 3 ganger 3.

0:05:11.910,0:05:13.810
Som er 9.

0:05:13.810,0:05:18.580
Og det skal være lik C i andre.

0:05:18.580,0:05:20.610
Så hva er 16 pluss 9?

0:05:20.610,0:05:22.480
Det er 25.

0:05:22.480,0:05:25.195
Så 25 er lik C i andre.

0:05:25.195,0:05:29.020
Da kan vi ta den positive roten av begge sider.

0:05:29.020,0:05:30.960
Egentlig, hvis du ser på det rent matematisk,[br]så kunne det

0:05:30.960,0:05:33.160
være minus 5 også.

0:05:33.160,0:05:34.870
Men vi har med avstander å gjøre,[br]så vi bryr oss bare

0:05:34.870,0:05:37.050
den positive roten.

0:05:37.050,0:05:41.170
Du tar roten av begge sider og

0:05:41.170,0:05:44.280
du får at 5 er lik C.

0:05:44.280,0:05:50.260
Eller, lengden på den lengste siden er lik 5.

0:05:50.260,0:05:52.640
Du kan bruke Pythagoras' læresetning,[br]så lenge vi har

0:05:52.640,0:05:54.620
to av sidene. Du kan da uansett

0:05:54.620,0:05:55.690
finne ut hva den tredje er.

0:05:55.690,0:05:59.300
Så la oss gjøre enda en her borte.

0:05:59.300,0:06:10.670
La oss si at vår trekant ser slik ut.

0:06:10.670,0:06:12.610
Og at dette er den rette vinkelen.

0:06:12.610,0:06:17.820
La oss si at denne siden har en lengde på 12,[br]og la oss si

0:06:17.820,0:06:21.080
at denne siden har en lengde på 6.

0:06:21.080,0:06:27.210
Og vi ønsker å finne ut hva[br]lengden på denne her borte er.

0:06:27.210,0:06:29.870
Som jeg sa, det første du må gjøre er å

0:06:29.870,0:06:31.350
finne hypotenusen.

0:06:31.350,0:06:34.130
Og det er siden som er motsatt av den rette vinkelen.

0:06:34.130,0:06:35.550
Den rette vinkelen er her.

0:06:35.550,0:06:37.650
Du går motsatt fra den rette vinkelen.

0:06:37.650,0:06:41.460
Den lengste siden, hypotenusen, er her.

0:06:41.460,0:06:46.100
Så hvis vi tenker på Pythagoras' læresetning-- at A

0:06:46.100,0:06:50.820
i andre pluss B i andre er lik C i andre--

0:06:50.820,0:06:52.220
12 kan du se på som C.

0:06:52.220,0:06:54.740
Dette er hypotenusen.

0:06:54.740,0:06:56.670
C i andre er hypotenusen i andre.

0:06:56.670,0:06:59.030
Så du kan si at 12 er lik C.

0:06:59.030,0:07:00.880
Og da kan vi si at disse sidene,[br]det betyr ikke noe

0:07:00.880,0:07:02.580
om du kaller en av de A eller B.

0:07:02.580,0:07:04.970
Så la oss kalle denne siden.

0:07:04.970,0:07:06.990
La oss si at A er lik 6.

0:07:06.990,0:07:11.780
Og så sier vi at B-- denne fargede B--

0:07:11.780,0:07:12.640
er lik et spørsmålstegn.

0:07:12.640,0:07:15.070
Nå kan vi bruke Pythagoras' læresetning.

0:07:15.070,0:07:25.940
A i andre, som er 6 i andre,[br]pluss den ukjente B i andre er

0:07:25.940,0:07:28.330
lik hypotenusen i andre-- er lik

0:07:28.330,0:07:29.760
C i andre.

0:07:29.760,0:07:33.250
Er lik 12 i andre.

0:07:33.250,0:07:35.260
Og nå kan vi løse det for B.

0:07:35.260,0:07:36.370
Og se på forskjellen her.

0:07:36.370,0:07:38.110
Nå løser vi det ikke for hypotenusen.

0:07:38.110,0:07:40.210
Vi løser det for en av de kortere sidene.

0:07:40.210,0:07:42.790
I det forrige eksempelet løste[br]vi det for hypotenusen.

0:07:42.790,0:07:43.790
Vi løste det for C.

0:07:43.790,0:07:46.570
Derfor er det alltid viktig å vite at

0:07:46.570,0:07:49.190
A i andre pluss B i andre pluss C i andre,[br]C er lengden

0:07:49.190,0:07:49.670
på hypotenusen.

0:07:49.670,0:07:51.850
Så la oss løse det for B her.

0:07:51.850,0:07:59.280
Vi får 6 i andre som er 36,[br]pluss B i andre, som

0:07:59.280,0:08:04.700
er lik 12 i andre-- 12 ganger 12-- er 144.

0:08:04.700,0:08:08.550
Nå kan vi trekke fra 36 fra[br]begge sider av denne ligningen.

0:08:08.550,0:08:11.420
Disse nulles ut.

0:08:13.270,0:08:17.510
På venstresiden står vi igjen med B i andre

0:08:17.510,0:08:23.410
som er lik-- 144 minus 36 er hva?

0:08:30.080,0:08:33.910
Dette blir 108.

0:08:33.910,0:08:36.630
Så det er det B i andre er,[br]og nå vil vi ta

0:08:36.630,0:08:40.600
den positive roten av begge sider.

0:08:40.600,0:08:44.430
Og du får at B er lik roten av

0:08:44.430,0:08:48.650
den positive roten, av 108.

0:08:48.650,0:08:50.550
La oss se om vi kan forenkle dette litt.

0:08:50.550,0:08:53.550
Roten av 108.

0:08:53.550,0:08:54.930
Og det vi kan gjøre er å ta

0:08:54.930,0:08:56.670
primfaktoren av 108 og se hvordan vi kan

0:08:56.670,0:08:58.410
forenkle dette rotuttrykket.

0:08:58.410,0:09:07.590
Så 108 er det samme som[br]2 ganger 54, som er det samme

0:09:07.590,0:09:15.570
som 2 ganger 27,[br]som er det samme som 3 ganger 9.

0:09:15.570,0:09:19.780
Så vi har kvadratroten av 108,[br]som er det samme som

0:09:19.780,0:09:24.550
kvadratroten av 2 ganger 2-- faktisk så er

0:09:24.550,0:09:25.520
jeg ikke ferdig.

0:09:25.520,0:09:28.760
9 kan bli faktorisert til 3 ganger 3.

0:09:28.760,0:09:34.170
Så det blir 2 ganger 2 ganger[br]3 ganger 3 ganger 3

0:09:34.170,0:09:36.820
Og slik har vi nå fått noen perfekte kvadrater her.

0:09:36.820,0:09:38.680
La meg skrive dette litt finere.

0:09:38.680,0:09:41.160
Og dette er en øvelse i å forenkle rotuttrykk som du

0:09:41.160,0:09:44.200
ofte vil støte på sammen med[br]Pythagoras' læresetning,

0:09:44.200,0:09:46.460
så det skader ikke å gjøre det her.

0:09:46.460,0:09:55.820
Så dette er det samme som[br]kvadratroten av 2 ganger 2

0:09:55.820,0:10:00.790
ganger 3 ganger 3 ganger 3 ganger[br]kvadratroten av det siste

0:10:00.790,0:10:02.510
3-tallet der borte.

0:10:02.510,0:10:04.090
Og dette er det samme.

0:10:04.090,0:10:05.785
Og, du vet, du trenger ikke gjøre alt

0:10:05.785,0:10:07.960
dette på papir.

0:10:07.960,0:10:08.970
Du kan gjøre det i hodet.

0:10:08.970,0:10:09.530
Hva er dette?

0:10:09.530,0:10:11.780
2 ganger 2 er 4.

0:10:11.780,0:10:14.200
4 ganger 9, er 36.

0:10:14.200,0:10:18.030
Så dette er kvadratroten av 36[br]ganger kvadratroten av 3.

0:10:18.030,0:10:20.610
Den positive roten av 36 er 6.

0:10:20.610,0:10:25.380
Så dette forenkles til[br]6 kvadratroten av 3.

0:10:25.380,0:10:28.730
Så lengden av B,[br]du kan skrive den som kvadratroten av

0:10:28.730,0:10:34.040
108, eller du kan si at den er lik 6 ganger

0:10:34.040,0:10:35.040
kvadratroten av 3.

0:10:35.040,0:10:37.150
Dette er 12, dette er 6.

0:10:37.150,0:10:40.580
Og kvadratroten av 3, dette vil bli 1

0:10:40.580,0:10:41.600
komma noe noe.

0:10:41.600,0:10:45.360
Så den vil bli litt større enn 6.