ამ ვიდეოში ჩვენ გავეცნობით
პითაგორას თეორემას.
როცა მათემატიკას ღრმად გაეცნობით,
ნახავთ, რომ ის მათემატიკის ერთ-ერთი ქვაკუთხედი თეორემაა.
მას იყენებენ გეომეტრიაში
და ტრიგონომეტრიის საფუძვლად თვლიან.
მას მანძილის გამოსათველადაც გამოიყენებთ.
მნიშვნელოვანია, რომ იგი კარგად ვიცოდეთ.
შესავალი საკმარისია, მოდით,
განვიხილავ, რა არის პითაგორას თეორემა.
თუ გვაქვს სამკუთხედი, და აუცილებელია, რომ ეს სამკუთხედი მართკუთხა იყოს.
ანუ სამიდან მისი ერთ-ერთი კუთხე
უნდა იყოს 90-გრადუსიანი.
იმის აღსანიშნავად, რომ იგი 90-გრადუსიანია, ვხაზავთ ამ
პატარა კვადრატს აი აქ.
ესე იგი, აი ეს კუთხე, მოდით, სხვაფრად დავხატავ.
ეს არის 90-გრადუსიანი კუთხე.
ან შეგვიძლია ვუწოდოთ მართი კუთხე.
და სამკუთხედს, რომელსაც მართი კუთხე გააჩნია,
ვუწოდებთ მართკუთხა სამკუთხედს.
ანუ ამას ჰქვია მართკუთხა სამკუთხედი.
პითაგორას თეორემის წყალობით, თუ მართკუთხა სამკუთხედის
ორი გვერდის სიგრძე ვიცით, შეგვიძლია
გამოვთვალოთ მესამე გვერდის სიგრძე.
სანამ განახებთ, თუ როგორ გავაკეთოთ ეს,
მოდით, ახალ ტერმინს გაგაცნობთ.
მართკუთხა სამკუთხედში უდიდესი გვერდი ყოველთვის განთავსებულია
90-გრადუსიანი კუთხის მოპირდაპირე მხარეს.
ანუ მართი კუთხის მოპირდაპირედ.
ამ შემთხვევაში, აი ეს გვერდი
წარმოადგენს უდიდეს გვერდს.
თუ გვაინტერესებს, რომელია მართი კუთხე,
იგი ყოველთვის უდიდესი გვერდის მოპირდაპირედაა.
ამ უდიდეს გვერდს ეწოდება ჰიპოტენუზა.
ეს უნდა ვიცოდეთ, რადგან ხშირად ვახსენებთ.
კარგად რომ ვისწავლოთ ჰიპოტენუზის მონახვა,
მოდით, რამდენიმე მართკუთხა სამკუთხედს დავხაზავ
ვთქვათ, მოცემულია აი ასეთი სამკუთხედი.
მოდით, უფრო აკურატულად დავხაზავ.
ვთქვათ, მოცემულია, აი, ასეთი სამკუთხედი
გეტყვით, რომ ეს კუთხე არის
90-გრადუსიანი.
ამ სიტუაციაში ეს გვერდია ჰიპოტენუზა,
რადგან 90-გრადუსიანი კუთხის პირდაპირაა.
იგი უდიდესი გვერდია.
მოდით, კიდევ ერთხელ დავხაზავ,
რათა უკეთ ამოვიცნოთ ხოლმე ჰიპოტენუზა.
ვთქვათ, ამ სამკუთხედში
ეს არის 90-გრადუსიანი კუთხე.
მგონი, უკვე იცით, როგორ ვქნათ ეს.
სწორედ მის მოპირდაპირე გვერდს მოვძებნით.
და იგი არის ჰიპოტენუზა,
უდიდესი გვერდი.
ანუ ეს არის ჰიპოტენუზა.
ჰიპოტენუზის აღნიშვნის შემდეგ, ვთქვათ,
მას გააჩნია C სიგრძე.
ახლა ვისწავლით, თუ რას გვეუბნება
პითაგორას თეორემა.
ვთქვათ, ჰიპოტენუზას სიგრძე უდრის C-ს.
ვთქვათ, ეს გვერდი არის C.
ეს გვერდი, აქ, არის A.
და ეს გვერდი კი - B.
პითაგორას თეორემა გვეუბნება, რომ A-ს კვადრატს, -- ანუ
ერთ-ერთი მცირე გვერდის სიგრძის კვადრატს,
პლუს მეორე მცირე გვერდის კვადრატი
უდრის ჰიპოტენუზის სიგრძის კვადრატს.
მოდით, ახლა ეს ამოცანაში გამოვიყენოთ.
ნახავთ, რომ არც ისე ძნელია.
ვთქვათ, მოცემულია, აი, ასეთი სამკუთხედი.
მოდით, დავხაზავ.
ვთქვათ, ესაა ჩემი სამკუთხედი.
აი ასეთი.
ვთქვათ, აი, ეს კუთხე მართია.
ამ გვერდის, მოდით, სხვაფრად დავხატავ.
სიგრძე არის სამი,
ამ გვერდის კი - ოთხი.
ახლა გავარკვიოთ, აი ამ გვერდის სიგრძე.
პირველი, რასაც ვაკეთებთ, სანამ
პითაგორას თეორემას გამოვიყენებთ, ვარკვევთ
რომელია ჰიპოტენუზა.
უნდა ვიცოდეთ, რას ვეძებთ.
ამ შემთხვევაში ვეძებთ ჰიპოტენუზის სიგრძეს.
და ჩვენ ეს ვიცით, რადგან ,აი, ეს გვერდი
არის მართი კუთხის მოპირდაპირე.
თუ შევხედავთ პითაგორას თეორემას, ეს გვერდი არის C.
იგი არის უდიდესი გვერდი.
ახლა პითაგორას თეორემას გამოვიყენებთ.
იგი გვეუბნება, რომ ოთხის კვადრატს, ერთ-ერთი მცირე გვერდის სიგრძის კვადრატს
პლუს სამის კვადრატი - მეორე მცირე გვერდის კვადრატი.
ტოლი იქნება უდიდესი გვერდის კვადრატის,
ჰიპოტენუზის კვადრატის, C-ს კვადრატის.
ახლა მხოლოდ C-ს ამოხსნით.
ანუ, ოთხის კვადრატი იგივეა, რაც ოთხჯერ ოთხი,
უდრის 16-ს.
და სამის კვადრატი, იგივეა, რაც სამჯერ სამი,
უდრის ცხრას.
და ეს კი უდრის C-ს კვადრატს.
რას უდრის 16 პლუს ცხრა?
25-ს.
ანუ 25 უდრის C-ს კვადრატს.
ახლა შეგვიძლია ორივე მხრიდან არითმეტიკული ფესვი ამოვიღოთ.
თუ მათემატიკურად შევხედავთ, იგი
შესაძლოა მინუს ხუთიც იყოს.
მაგრამ, რადგან სიგრძეზე ვსაუბრობთ,
მხოლოდ არითმეტიკულ ფესვს ვიღებთ.
ანუ ორივე მხრიდან ვიღებთ არითმეტიკულ ფესვს.
ვიღებთ, რომ C უდრის ხუთს.
ანუ, უდიდესი გვერდის სიგრძეა ხუთი.
თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ პითაგორას თეორემა, როცა
იცით ორი გვერდის სიგრძე და იგებთ მესამეს.
რაც არ უნდა იყოს იგი.
მოდით, მეორე გავაკეთოთ,
ვთქვათ, მოცემულია ასეთი სამკუთხედი,
ეს არის მართი კუთხე.
ვთქვათ, ამ გვერდის სიგრძეა 12,
და ამ მეორესი - ექვსი.
გვსურს გავიგოთ ამ გვერდის სიგრძე.
გაიხსენეთ, მე ვთქვი, პირველად უნდა აღვნიშნოთ
რომელია ჰიპოტენუზა.
იგი მართი კუთხის მოპირდაპირე გვერდია.
აქ არის მართი კუთხე.
მის პირდაპირ კი -
უდიდესი გვერდი - ჰიპოტენუზაა. აი აქ.
თუ პითაგორას თეორემას გავიხსენებთ,
A-ს კვადრატს პლუს B-ს კვადრატი უდრის C-ს კვადრატს.
C-ს მაგივრად 12-ს ვსვამთ.
იგი არის ჰიპოტენუზა.
ანუ C-ს კვადრატი, ჰიპოტენუზას კვადრატი.
ანუ 12 უდრის C.
შეგვიძლია, ვთქვათ, რომ ეს ორი გვერდი,
თუ გინდათ, A-ს დავარქმევთ ან B-ს,
ვთქვათ, აი ეს გვერდი,
A გვერდი უდრის ექვსს.
ვთქვათ, B უდრის
კითხვის ნიშანს.
გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა.
A-ს კვადრატს, ანუ ექვსის კვადრატს პლუს უცნობი B-ს კვადრატი უდრის
ჰიპოტენუზის კვადრატს, ანუ
C-ს კვადრატს.
ანუ 12-ის კვადრატს.
ახლა შეგვიძლია B გამოვთვალოთ.
ამჩნევთ განსხვავებას.
ჩვენ ახლა არ გამოვთვლით ჰიპოტენუზას,
ვეძებთ ერთ-ერთი მცირე გვერდის სიგრძეს.
წინა ამოცანაში ჰიპოტენუზა გამოვთვალეთ,
C გამოვთვალეთ.
ამიტომაა მნიშვნელოვანი აღვნიშნოთ, რომ
A-ს კვადრატს პლუს B-ს კვადრატი უდრის C-ს კვადრატს.
C არის ჰიპოტენუზის სიგრძე.
მოდით, ამოვხსნათ B.
ესე იგი, ექვსის კვადრატი უდრის 36-ს, პლუს B-ს კვადრატი, ტოლია
12-ის კვადრატი, ანუ 12-ჯერ 12 - 144-ის.
ახლა განტოლების ორივე მხარეს 36-ს გამოვაკლებთ.
ესენი შეიკვეცება.
მარცხენა მხარეს გვრჩება მხოლოდ B-ს კვადრატი,
რომელიც უდრის 144-ს მინუს 36,
რაც რისი ტოლია?
ეს არის 144-ს მინუს 30, უდრის 114-ს.
და ამას გამოვაკლებთ ექვს
რაც ტოლია 108-ის.
მისი ტოლია B-ს კვადრატი, ამოვიღებთ არითმეტიკულ ფესვს,
ანუ დადებით ფესვს, ორივე მხრიდან
ვიღებთ, B უდრის კვადრატული ფესვი,
არითმეტიკული ფესვი 108-იდან.
მოდით, ვცადოთ ცოტა გამოვარტივოთ.
კვადრატული ფესვი 108-იდან.
ამისთვის 108-ს
მარტივ მამრავლებად დავშლი.
ვცადოთ რადიკალის გამარტივება.
ანუ 108 უდრის ორჯერ 54, რაც უდრის
ორჯერ 27-ს, რაც უდრის სამჯერ ცხრას.
ანუ ფესვი 108-იდან იგივეა, რაც
ფესვი ორჯერ ორიდან გამრავლებული --
--არ დამიმთავრებია,
ცხრას ვშლით ასე - სამჯერ სამი.
ანუ ორჯერ ორი გამრავლებული სამჯერ, სამი გამრავლებული სამზე.
ზოგიერთიდან სრულად ამოდის ფესვი.
მოდით, უფრო აკურატულად დავწერ.
ეს სავარჯიშოა რადიკალების გამარტივებაზე
ეს ხშირად შეგხვდებათ პითაგორას თეორემის გამოყენებისას.
ანუ ამის გაკეთება გამოგვადგება.
ანუ ეს იგივეა, რაც ფესვი ორჯერ ორი გამრავლებული
სამჯერ სამი გამრავლებული
ამ ბოლო სამიანის ფესვზე..
ეს იგივეა.
ეს შეგიძლიათ ფურცელზე არ დაწეროთ,
ამას წარმოვიდგენთ.
რა გამოდის?
ორჯერ ორი არის ოთხი.
ოთხჯერ ცხრა არის 36.
ანუ ეს არის ფესვი 36-იდან გამრავლებული ფესვზე სამიდან.
არითმეტიკული ფესვი 36-იდან არის ექვსი.
ეს ასე მარტივდება - ექვსი გამრავლებული ფესვზე სამიდან.
ანუ ეს არის B-ს სიგრძე, შეგიძლიათ
დაწეროთ ფესვი 108-იდან, რაც უდრის ექვსი გამრავლებული
ფესვზე სამიდან.
ეს 12-ია, ეს ექვსია,
და სამიდან ფესვი იქნება
ერთი მთელი, რაღაც..
ანუ ეს იქნება ექვსზე ოდნავ მეტი.