בוידאו זה נכיר את
משפט פיתגורס, שהוא חביב בפני עצמו.
אבל תראו שככל שתלמדו יותר ויותר מתמטיקה
שהוא אחד מהמשפטים המהווים אבן דרך במתמטיקה בכלל.
והוא שימושי בגיאומטריה, הוא בערך עמוד השדרה
של טריגונומטריה.
אתם גם תשתמשו בו כדי לחשב מרחקים
בין נקודות.
אז זה דבר טוב באמת לוודא שאני יודעים אותו היטב.
אז כאן אני מפסיק לדבר.
בואו ואספר לכם מהו משפט פיתגורס.
אז אם יש לנו משולש, והמשולש הוא ישר
זווית, כלומר אחת משלושת זוויותיו
היא 90 מעלות.
אני מציינים שהיא 90 מעלות על-ידי כך שאנחנו מציירים
את הקופסא הקטנה בדיוק שם.
אז זה ישר זווית... תנו לי לעשות זאת בצבע
אחר... זווית של 90 מעלות.
או, שנוכל פשוט לקרוא לה זווית ישרה.
ומשולש שיש לו זווית ישרה
נקרא משולש ישר זווית.
אז זה נקרא משולש ישר זווית.
עכשיו, עם משפט פיתגורס, אם אנו יודעים שתי
צלעות של המשולש, אנו יכולים לגלות גם
את הצלע השלישית.
ולפני שאראה לכם איך לעשות זאת, תנו לי לתת לכם
עוד מינוח אחד.
הצלע הארוכה במשולש היא הצלע ממול
הזווית של ה 90 מעלות... או ממול הזווית הישרה.
אז במקרה שלנו זה הצלע הזו.
זו הצלע הארוכה ביותר.
והדרך לדעת איפה המשולש ישר הזווית נמצא,
ופחות או יותר נפתח לצלע הארוכה.
הצלע הארוכה הזאת נקראת היתר.
וזה טוב לדעת, כי נמשיך לקרוא לה כך.
אז בואו נניח שיש לי משולש שנראה כך.
תנו לי לצייר זאת מעט יותר טוב.
אז בואו נניח שיש לי משולש שנראה כך.
והייתי אומר לכם שהזווית שנמצאת
פה היא 90 מעלות.
במצב זה, זהו היתר, בגלל
שהוא ממול הזווית של ה 90 מעלות.
הוא הצלע הארוכה ביותר.
תנו לי לעשות אחד נוסף, כדי לוודא שאנחנו
מזהים את היתר.
אז בואו נגיד שזה המשולש שלי, וזה הזווית
של ה 90 מעלות פה.
ואני וחושב שאתם כבר מבינים את זה.
הולכים לאן שרואים פתיחה.
וזהו היתר.
הצלע הארוכה ביותר.
אז ברגע שזיהיתם את היתר... ובואו נגיד
שאורכו הוא C.
ועכשיו נלמד מה משפט
פיתגורס אומר לנו.
אז בואו נגיד ש C שווה לאורך היתר.
אז בואו נקרא לו C... לצלע זו C.
ובואו נקרא לצלע הזאת A.
ובואו נקרא לצלע פה B.
אז משפט פיתגורס אומר לנו ש A בריבוע... אז
האורך של אחת הצלעות הקצרות יותר בריבוע... ועוד
האורך של הצלע הקצרה השנייה בריבוע, הולך להיות
שווה לאורך היתר בריבוע.
עכשיו בואו נעשה זאת עם בעיה אמיתית, ותראו
שבאמת זה לא כל כך נורא.
אז בואו נגיד שיש לי משולש שנראה כך.
תנו לי לצייר אותו.
בואו נגיד שזה המשולש שלי.
הוא נראה כך.
ובואו נגיד שאומרים לנו שזוהי הזווית הישרה.
שהאורך פה... תנו לי לעשות זאת בצבעים
אחרים... שהאורך כאן הוא 3, ושהאורך
כאן הוא 4.
ורוצים שנבין מה האורך כאן.
עכשיו הדבר הראשון שאנחנו צריכים לעשות, לפני שבכלל מיישמים את
משפט פיתגורס, הוא לוודא שאנו יודעים
מהו היתר.
מוודאים שיודעים את מה פותרים.
ובמקרה זה אנו פותרים עבור היתר.
ואנחנו יודעים זאת משום שהצלע פה, זה הצלע
שהיא ממול הזווית הישרה.
אם נסתכל על משפט פיתגורס, זהו C.
זוהי הצלע הארוכה ביותר.
אז עכשיו אנו מוכנים ליישם את משפט פיתגורס.
הוא אומר לנו ש 4 בריבוע... אחת הצלעות הקצרות יותר... ועוד
3 בריבוע... הריבוע חלק קצר אחר...
הולך להיות שווה לצלע הארוכה יותר בריבוע...
היתר בריבוע... הולך להיות שווה ל C בריבוע.
ואז פשוט פותרים עבור C.
אז 4 בריבוע זה 4 כפול 4.
זה 16.
ו 3 בריבוע זה 3 כפול 3.
זה 9.
וזה הולך להיות שווה ל C בריבוע.
אז זה 16 ועוד 9?
זה 25.
אז C בריבוע שווה ל 25.
ונוכל לקחת את השורש החיובי משני הצדדים.
אני מניח, תסתכלו על זה מתמטית בלבד, זה יכול
להיות מינוס 5 גם.
אבל אנחנו מתעסקים פה עם מרחקים, אז איכפת לנו רק
משורשים חיוביים.
אז לוקחים את השורש הבסיסי משני הצדדים
ומקבלים ש C שווה ל 5.
או, האורך של הצלע הארוכה ביותר שווה 5.
עכשיו, אפשר להשתמש במשפט פיתגורס, אם ניתן
את שתי הצלעות, כדי לחשב את השלישית לא משנה
מהי הצלע השלישית.
אז בואו נעשה אחד נוסף פה.
בואו נאמר שהמשולש שלנו נראה כך.
וזו הזווית הישרה שלנו.
בואו נגיד שהאורך של הצלע פה הוא 12, וגם נגיד
שהאורך של הצלע פה הוא 6.
ואנו רוצים לדעת את האורך של הצלע שם.
עכשיו, כמו שאמרתי, הדבר הראשון שנרצה לעשות הוא
לזהות את היתר.
והוא הולך להיות הצלע שממול לזווית הישרה.
יש לנו את הזווית הישרה פה.
נלך ממול לזווית הישרה.
הצלע הארוכה ביותר, היתר, נמצאת פה.
אז כשאנחנו חושבים על משפט פיתגורס... ש A
בריבוע ועוד B בריבוע שווה ל C בריבוע... את 12
נוכל לראות כ C.
זהו היתר.
C בריבוע זה היתר בריבוע.
אז נוכל לומר ש C שווה 12.
ואז נוכל לומר שצלעות אלה, זה לא משנה
אם נקרא לאחד מהם A ולאחר B.
אז בואו נקרא לצלע פה.
בואו נגיד ש A שווה ל 6.
ואז נגיד ש B... B הצבועה... שווה
לסימן שאלה.
וכעת נוכל ליישם את משפט פיתגורס.
A בריבוע, שזה 6 בריבוע ועוד B שאינו ידוע בריבוע
שווה ליתר בריבוע... ששווה
ל C בריבוע.
ששווה ל 12 בריבוע.
וכעת נוכל לפתור עבור B.
ונשים לב להבדל כאן.
עכשיו אנחנו לא פותרים עבור היתר.
אנחנו פותרים עבור אחד מהצלעות הקצרים יותר.
בדוגמא האחרונה פתרנו עבור היתר.
פתרנו עבור C.
בגלל זה תמיד חשוב להבין ש A
בריבוע ועוד B בריבוע ועוד C בריבוע, C הוא האורך
של היתר.
אז בואו פשוט נפתור עבור B פה.
אז נקבל 6 בריבוע שזה 36, B בריבוע, ששווה
ל 12 בריבוע... זה 12 כפול 12... זה 144.
כעת נוכל להפחית 36 משני הצדדים של המשוואה הזו.
אלה מתבטלים.
באגף השמאלי יהיה לנו רק B בריבוע
ששווה ל... עכשיו 144 פחות 36 זה מה?
זה יהיה 108.
וזה הערך של B בריבוע, ועכשיו אנחנו רוצים לקחת את
השורש הבסיסי, או השורש החיובי, של שני הצדדים.
ונקבל ש B שווה לשורש הריבועי, של
השורש הבסיסי, של 108.
עכשיו בואו נראה אם נוכל לפשט את זה מעט יותר.
השורש הריבועי של 108.
אז מה שנוכל לעשות זה שנוכל לקחת את הגורם
הראשוני של 108 ולראות איך נוכל
לפשט את הביטוי.
אז 108 זה בערך 2 כפול 54 שזה אותו הדבר
כמו 2 כפול 27, שזה אותו הדבר כמו 3 כפול 9.
אז יש לנו את השורש הריבועי של 108 שזה אותו הדבר כמו
השורש הריבועי של 2 כפול 2 כפול... טוב למעשה,
לא סיימתי.
9 ניתן לפרק לגורמים של 3 כפול 3.
אז נקבל 2 כפול 2 כפול 3 כפוך 3.
ולמעשה, יש לנו זוג של ריבועים מושלמים פה.
תנו לי לכתוב זאת בצורה יותר מסודרת.
וזה בסך הכל תרגיל בפישוט ביטויים שניתקל
בו הרבה בעתיד כאשר נשתמש במשפט פיתגורס,
אז לא יזיק לעשות אותו פה.
אז זה אותו הדבר כמו להגיד השורש הריבועי של 2 כפול 2
כפול 3 כפול 3 כפול השורש הריבועי של
ה 3 האחרון שם.
וזה אותו הדבר.
ואתם יודעים, בכלל לא צריך לעשות
את הכל על נייר.
אפשר לעשות את זה בראש.
מה זה?
2 כפול 2 זה 4.
4 כפול 9, זה 36.
אז זהו השורש הריבועי של 36 כפול השורש הריבועי של 3.
השורש הבסיסי של 36 זה 6.
אז ניתן לפשט ל 6 שורשים ריבועיים של 3.
אז האורך של B, אפשר לכתוב כשורש ריבועי של
108, או שנוכל לומר שזה שווה ל 6 כפול
שורש ריבועי של 3.
זה 12, זה 6.
והשורש הריבועי של 3, טוב זה הולך להיות 1
נקודה משהו משהו.
אז זה יהיה מעט יותר גדול מ 6.
תרגום - אביב אשד