Dans cette vidéo, nous allons étudier
le théorème de Pythagore, qui est amusant en lui-même.
Mais vous verrez en avançant de plus en plus en mathématiques
que ce théorème est l'une des pierres angulaires de vraiment tous les maths.
Il est utile en géométrie, c'est un peu la colonne vertébrale
de la trigonométrie.
Vous l'utiliserez également pour calculer les distances
entre des points.
Donc c'est une bonne chose de s'assurer que nous le connaissons bien.
Mais entrons dans le vif du sujet.
Laissez-moi vous dire ce qu'est le théorème de Pythagore.
prenons un triangle, et ce triangle doit être
un triangle rectangle, ce qui signifie que l'un des trois angles de ce
triangle doit être de 90 degrés.
Et vous indiquez qu'il est de 90 degrés en dessinant cette
petite boite juste ici.
Donc ici nous avons -- traçons le dans une couleur
différente-- un angle à 90 degrés.
Nous pouvons aussi l'appeler un angle droit.
Et un triangle qui a un angle droit cela
s'appelle un triangle rectangle.
Donc ce triangle s'appelle un triangle rectangle.
Maintenant, avec le théorème de Pythagore, si nous connaissons deux côtés
d'un triangle rectangle nous pouvons toujours connaître
le troisième côté.
Et avant que je vous montre comment faire, laissez-moi vous donner un
autre mot de vocabulaire.
Le côté le plus long d'un triangle rectangle est le côté opposé
à l'angle a 90 degrés -- ou opposé à l'angle droit.
Donc dans ce cas c'est ce côté ici.
C'est le côté le plus long.
Et c'est aussi le moyen de découvrir où est l'angle droit, qui
"s'ouvre" en quelque sorte sur ce côté plus long.
Ce côté le plus long est appelé l'hypoténuse.
Et c'est à retenir, parce que nous allons beaucoup en parler.
Alors disons que j'ai un triangle qui ressemble à ça.
Permettez-moi de le dessiner un peu mieux.
Alors disons que j'ai un triangle qui ressemble à ça.
Et j'allais vous indiquer que cet angle juste
ici est de 90 degrés.
Dans cette situation, voilà l'hypoténuse, parce qu'il est
opposé à l'angle de 90 degrés.
C'est le côté le plus long.
Permettez-moi d'en faire un de plus, juste pour bien savoir
reconnaître l'hypoténuse.
Alors disons que c'est mon triangle, et là c'est
l'angle à 90 degrés.
Et je pense que vous savez déjà le faire.
Vous vous dirigez vers là où il s'ouvre.
C'est l'hypoténuse.
C'est le côté le plus long.
donc vous avez identifié l'hypoténuse--et disons
qu'il a la longueur C.
Et maintenant, nous allons apprendre ce que le théorème
de Pythagore nous apprend.
Alors disons que que C est égale à la longueur de l'hypoténuse.
Nous allons l'appeler C -- ce côté est C.
Appelons ce côté juste ici A.
Et appelons ce côté là B.
Donc le théorème de Pythagore nous dit que A au carré --soit
la longueur de l'un des petits côtés au carré, plus
la longueur de l'autre petit côté au carré va
être égale à la longueur de l'hypoténuse au carré.
Maintenant faisons cela avec un réel problème, et vous verrez
que ce n'est en fait pas si dur.
Alors disons que j'ai un triangle qui ressemble à ceci.
Permettez-moi de le dessiner.
Disons que c'est mon triangle.
On dirait quelque chose comme ça.
Et disons que l'on nous dit que c'est l'angle droit.
Que cette longueur juste ici--permettez-moi de la faire dans une couleur
différente-- cette longueur ici est égale à 3 et que
cette longueur est égale à 4.
Et ils veulent que nous trouvions cette longueur là.
Maintenant la première chose que vous voulez faire, avant d'appliquer vous même le
théorème de Pythagore, est de s'assurer que vous avez votre
hypoténuse.
Vous vous assurez que vous savez ce que vous avez à trouver.
Et dans ce cas, nous avons à trouver l'hypoténuse.
Et nous le savons, parce que ce côté là, c'est le côté
opposé à l'angle droit.
Si nous regardons le théorème de Pythagore, c'est C.
C'est le côté le plus long.
Nous sommes maintenant prêts à appliquer le théorème de Pythagore.
Il nous raconte que 4 au carré--un des petits côtés --plus
3 au carré, le carré de l'autre petit côté --
va être égal à ce côté plus long au carré--
l'hypoténuse au carré -- va être égale à C au carré.
Et vous avez trouvé C.
4 au carré est la même chose que 4 fois 4.
C'est 16.
Et 3 au carré est la même chose que 3 fois 3.
C'est donc 9.
Et ça va être égal à C au carré.
Combien font 16 plus 9 ?
C' est 25.
Donc 25 est égal à C au carré.
Et nous pourrions prendre la racine carrée positive des deux côtés.
Je suppose que, si vous l'examinez mathématiquement, cela pourrait
être égal à moins 5.
Mais nous avons affaire à des distances, donc nous nous occupons seulement
des racines positives.
Donc vous prenez la racine positive et
vous obtenez 5 est égale à C.
Ou encore, la longueur du côté le plus long est égale à 5.
Maintenant, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore, si nous donnons
deux des côtés, pour trouver le troisième côté quel
que soit ce troisième côté.
Dessinons un autre triangle ici.
Disons que notre triangle ressemble à ceci.
Et c'est notre angle droit.
Disons que ce côté ci a une longueur de 12 et disons que
que ce côté ici a une longueur de 6.
Et nous voulons découvrir cette longueur juste là.
Maintenant, comme je le disais, la première chose que vous voulez faire est
identifier l'hypoténuse.
Et cela va être le côté opposé à l'angle droit.
Nous avons ici l'angle droit.
Vous allez en face de l'angle droit.
La côté le plus long, l'hypoténuse est là.
Donc, si nous pensons au théorème de Pythagore--
que A au carré plus B au carré est égal à C au carré-- 12 --
que vous pouvez voir en C.
C'est l'hypoténuse.
Le C au carré est l'hypoténuse au carré.
Donc vous pourriez dire 12 est égal à C.
Et puis, nous pourrions dire que ces côtés, peu importe
que vous appeliez l'un d'eux A ou l'un d'eux B.
Alors nommons juste ce côté ici.
Disons que A est égal à 6.
Et puis nous dire que B--ce B coloré --est égal
à un point d'interrogation.
Et maintenant nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore.
Un carré, qui est 6 au carré, plus l'inconnu B au carré est
égal à l'hypoténuse au carré -- est égal
à C au carré.
Est égal à 12 au carré.
Et maintenant nous pouvons trouver B.
Et remarquez la différence ici.
Maintenant nous n'allons pas trouver l'hypoténuse.
Nous allons trouver l'un des petits côtés.
Dans le dernier exemple, que nous avons cherché l'hypoténuse.
Nous avons cherché C.
C'est pourquoi il est toujours important de reconnaître que
dans A au carré plus B au carré égalent C au carré, C est la longueur
de l'hypoténuse.
Alors trouvons B ici.
Donc nous obtenons 6 au carré égale 36, plus B au carré, est égale
égal au carré de 12 --soit 12 fois 12--donc 144.
Maintenant nous pouvons soustraire 36 des deux côtés de cette équation.
Ceux-ci s'annulent.
Sur le côté gauche nous n'avons plus que B au carré
est égal à --combien font 144 moins 36 ?
C'est donc égal à 108.
Donc voilà B au carré, et maintenant nous voulons prendre
la racine principale, ou la racine positive.
Et vous obtenez B est égale à la racine carrée, la
racine principale, de 108.
Voyons si nous pouvons simplifier ceci un petit peu.
La racine carrée de 108.
Et ce que nous pouvons faire c'est prendre le premier
facteur de 108 et voir comment nous pouvons
simplifier ce radical.
108 c'est donc la même chose que 2 fois 54, qui est la même
chose comme 2 fois 27, qui est la même chose que 3 fois 9.
Alors, nous avons la racine carrée de 108 qui est la même chose que la
racine carrée de 2 fois 2 fois--bien en fait,
ce n'est pas fini.
9 peuvent être divisés en 3 fois 3.
C'est donc 2 fois 2 fois 3 fois 3 fois 3.
Et nous avons donc un couple de carrés parfaits ici.
Permettez-moi de le refaire un peu plus clairement.
Et c'est tout un exercice de simplification de radicaux que vous
allez souvent croiser en faisant le théorème de Pythagore,
Si cela ne fait pas de mal de le faire ici.
Donc c'est la même chose que la racine carrée de 2 fois 2
fois 3 fois 3 fois la racine carrée de ce dernier
3 là-bas.
Et c'est la même chose.
Et, vous savez, vous n'avez pas besoin de faire tout
ça sur le papier.
Vous pourriez le faire dans votre tête.
Qu'est-ce que c est?
2 fois 2 c'est 4.
4 fois 9, c'est 36.
Donc c'est la racine carrée de 36 fois la racine carrée de 3.
La racine principale de 36 est 6.
Cela simplifie à 6 racines carrées de 3.
Donc la longueur de B, vous pourriez l'écrire comme la racine carrée de
108, ou vous pourriez dire que c'est égal à 6 fois la
racine carrée de 3.
Il s'agit de 12, c'est 6.
Et la racine carrée de 3, bien cela va être un 1
virgule quelque chose.
Cela va donc être un peu plus de 6.