WEBVTT

00:00:00.530 --> 00:00:03.220
I den her video skal vi introduceres

00:00:03.220 --> 00:00:14.190
for Pythagoras' læresætning. Pythagoras' læresætning.

00:00:14.190 --> 00:00:16.930
Når vi når længere ind i matematikken,

00:00:16.930 --> 00:00:21.570
vil vi opdage, at det er en af hjørnestenene i al matematik.

00:00:21.570 --> 00:00:24.920
Det er brugbart i geometri,

00:00:24.920 --> 00:00:26.750
og det er næsten rygsøjlen i trigonometri.

00:00:26.750 --> 00:00:29.200
VI vil også skulle bruge den

00:00:29.200 --> 00:00:30.510
til at beregne afstanden mellem punkter.

00:00:30.510 --> 00:00:33.810
Det er altså meget vigtigt, at man lærer Pythagoras' læresætning.

00:00:33.810 --> 00:00:35.570
Det var vist nok snak om det her.

00:00:35.570 --> 00:00:38.320
Lad os nu komme i gang.

00:00:38.320 --> 00:00:43.290
Lad os sige, at vi har en trekant.

00:00:43.290 --> 00:00:49.110
Trekanten er retvinklet.

00:00:49.110 --> 00:00:51.520
Det vil sige, at en af trekantens vinkler er 90 grader.

00:00:51.520 --> 00:00:54.580
Vi viser, at den her er 90 grader

00:00:54.580 --> 00:00:55.930
ved at tegne den her lille boks.

00:00:55.930 --> 00:00:58.830
Det her er altså

00:00:58.830 --> 00:01:05.550
en vinkel på 90 grader.

00:01:05.550 --> 00:01:09.930
Det er en ret vinkel.

00:01:09.930 --> 00:01:13.390
En trekant, der indeholder en ret vinkel,

00:01:13.390 --> 00:01:15.850
kalder vi for en retvinklet trekant.

00:01:15.850 --> 00:01:21.700
Det her er altså en retvinklet trekant.

00:01:21.700 --> 00:01:25.440
Hvis vi kender 2 sider i en retvinklet trekant

00:01:25.440 --> 00:01:28.980
kan vi med Pythagoras' læresætning

00:01:28.980 --> 00:01:30.920
finde den tredje side.

00:01:30.920 --> 00:01:34.310
Før vi ser på, hvordan vi gør det,

00:01:34.310 --> 00:01:36.560
skal vi lige lære en term mere.

00:01:36.560 --> 00:01:43.230
Den længste side i en retvinklet trekant er den side,

00:01:43.230 --> 00:01:46.690
der er modsat den rette vinklen.

00:01:46.690 --> 00:01:49.650
Det er i det her tilfælde siden her.

00:01:49.650 --> 00:01:51.285
Det er den længste side.

00:01:51.285 --> 00:01:55.020
Man kan sige, at den rette vinkel

00:01:55.020 --> 00:01:58.060
åbner op mod den længste side.

00:01:58.060 --> 00:02:00.150
Vi kalder den længste side for hypotenusen.

00:02:00.150 --> 00:02:03.130
Det er godt at vide, for det ord vil vi bruge meget.

00:02:12.560 --> 00:02:17.090
Lad os sige, at vi har en trekant, der ser sådan her ud.

00:02:17.090 --> 00:02:19.390
Vi tegner den lige lidt bedre.

00:02:19.390 --> 00:02:22.130
Vi har altså en trekant, der ser sådan her ud.

00:02:22.130 --> 00:02:24.010
Vi siger,

00:02:24.010 --> 00:02:25.390
at den her vinkel er 90 grader.

00:02:25.390 --> 00:02:29.860
I det tilfælde er det her så hypotenusen,

00:02:29.860 --> 00:02:33.410
fordi det er siden modsat vinklen på 90 grader.

00:02:33.410 --> 00:02:34.880
Det er den længste side.

00:02:34.880 --> 00:02:36.670
Lad os lave en til,

00:02:36.670 --> 00:02:39.420
så vi lærer at finde hypotenusen.

00:02:39.420 --> 00:02:44.050
Lad os sige, at det her er vores trekant,

00:02:44.050 --> 00:02:45.790
og det her er vinklen på 90 grader.

00:02:45.790 --> 00:02:47.710
Vi skal finde den side,

00:02:47.710 --> 00:02:49.620
vinklen åbner op imod.

00:02:49.620 --> 00:02:51.530
Det her er hypotenusen.

00:02:51.530 --> 00:02:53.200
Det er den længste side.

00:02:53.200 --> 00:02:57.940
Vi siger,

00:03:00.400 --> 00:03:02.050
at hypotenusen har længden c.

00:03:02.050 --> 00:03:03.980
Lad os nu se på,

00:03:03.980 --> 00:03:05.210
hvad Pythagoras' læresætning fortæller os.

00:03:05.210 --> 00:03:08.680
Vi ved altså, at c er lig med længden af hypotenusen.

00:03:08.680 --> 00:03:11.630
Vi kalder den her side c.

00:03:11.630 --> 00:03:17.910
Lad os kalde den her side a,

00:03:17.910 --> 00:03:21.890
og lad os kalde den her side b.

00:03:21.890 --> 00:03:28.620
Pythagoras' læresætning fortæller os, at a i anden,

00:03:28.620 --> 00:03:32.880
altså længden af den her side i anden,

00:03:32.880 --> 00:03:36.890
plus længden af den anden korte side i anden

00:03:36.890 --> 00:03:41.370
er lig med længden af hypotenusen i anden.

00:03:41.370 --> 00:03:43.740
Lad os prøve at bruge det i en opgave,

00:03:43.740 --> 00:03:45.820
og så viser det sig, at det ikke er så svært.

00:03:45.820 --> 00:03:49.820
Vi skal bruge en trekant.

00:03:49.820 --> 00:03:51.050
Lad os tegne en trekant.

00:03:51.050 --> 00:03:54.210
Vi har en trekant her.

00:03:54.210 --> 00:03:57.160
Den ser nogenlunde sådan her ud.

00:03:57.160 --> 00:04:00.560
Lad os sige, at det her er den rette vinkel.

00:04:00.560 --> 00:04:02.940
Lad os lige skifte farve.

00:04:02.940 --> 00:04:06.830
Den her længde er 3,

00:04:06.830 --> 00:04:09.170
og den her længde er 4.

00:04:09.170 --> 00:04:14.490
Vi skal finde den her længde.

00:04:14.490 --> 00:04:17.130
Før vi bruger Pythagoras' læresætning,

00:04:17.130 --> 00:04:19.660
skal vi være sikre på,

00:04:19.660 --> 00:04:20.710
at vi ved, hvilken side der er hypotenusen.

00:04:20.710 --> 00:04:23.350
Vi skal vide, hvad vi skal finde.

00:04:23.350 --> 00:04:26.120
I det her tilfælde skal vi finde længden af hypotenusen.

00:04:26.120 --> 00:04:30.440
Det ved vi, fordi den her side

00:04:30.440 --> 00:04:33.310
er modsat den rette vinkel.

00:04:33.310 --> 00:04:36.540
Det er altså c i Pythagoras' læresætning.

00:04:36.540 --> 00:04:38.160
Det er den længste side.

00:04:38.160 --> 00:04:41.920
Nu kan vi bruge Pythagoras' læresætning.

00:04:41.920 --> 00:04:48.070
Den fortæller os, at 4 i anden, som er en af de kortere sider,

00:04:48.070 --> 00:04:53.260
plus 3 i anden, som er den anden korte side,

00:04:53.260 --> 00:04:56.080
er lig med den her lange side i anden.

00:04:56.080 --> 00:05:00.590
Det er altså hypotenusen i anden eller c i anden.

00:05:00.590 --> 00:05:02.310
Nu skal vi finde c.

00:05:02.310 --> 00:05:06.380
4 i anden er det sammes om 4 gange 4.

00:05:06.380 --> 00:05:08.460
Det er 16.

00:05:08.460 --> 00:05:11.910
3 i anden er det samme som 3 gange 3.

00:05:11.910 --> 00:05:13.810
Det er derfor 9.

00:05:13.810 --> 00:05:18.580
Det er lig med c i anden.

00:05:18.580 --> 00:05:20.610
Hvad er 16 plus 9?

00:05:20.610 --> 00:05:22.480
Det giver 25.

00:05:22.480 --> 00:05:25.195
25 er altså lig med c i anden.

00:05:25.195 --> 00:05:29.020
Vi kan tage den positive kvadratrod på begge sider nu.

00:05:29.020 --> 00:05:30.960
Hvis vi kigger rent matematisk,

00:05:30.960 --> 00:05:33.160
kan c også være minus 5.

00:05:33.160 --> 00:05:34.870
Vi har dog med en afstand at gøre,

00:05:34.870 --> 00:05:37.050
og afstande kan ikke være negative.

00:05:37.050 --> 00:05:41.170
Vi tager derfor den positive kvadratrod på begge sider,

00:05:41.170 --> 00:05:44.280
og vi får 5 er lig med c.

00:05:44.280 --> 00:05:50.260
Længden af den længste side er lig med 5.

00:05:50.260 --> 00:05:52.640
Man kan dog også bruge Pythagoras' læresætning

00:05:52.640 --> 00:05:54.620
til at finde en af de andre sider i en retvinklet trekant,

00:05:54.620 --> 00:05:55.690
hvis man kender de 2 andre.

00:05:55.690 --> 00:05:59.300
Lad os gøre det.

00:05:59.300 --> 00:06:10.670
Lad os sige, vores trekant ser sådan her ud.

00:06:10.670 --> 00:06:12.610
Det her er den rette vinkel.

00:06:12.610 --> 00:06:17.820
Lad os sige, at den her side har længden 12,

00:06:17.820 --> 00:06:21.080
og den her side har længden 6.

00:06:21.080 --> 00:06:27.210
Vi skal finde længden af den her side.

00:06:27.210 --> 00:06:29.870
Det første, vi skal gøre, er

00:06:29.870 --> 00:06:31.350
at finde hypotenusen.

00:06:31.350 --> 00:06:34.130
Det er siden modsat den rette vinkel.

00:06:34.130 --> 00:06:35.550
Vi har vores rette vinkel her.

00:06:35.550 --> 00:06:37.650
Vi skal have siden modsat den.

00:06:37.650 --> 00:06:41.460
Den længste side eller hypotenusen er altså her.

00:06:41.460 --> 00:06:46.100
Pythagoras' læresætning siger altså,

00:06:46.100 --> 00:06:50.820
at a i anden plus b i anden er lig med c i anden.

00:06:50.820 --> 00:06:52.220
Vi ved, at c er 12.

00:06:52.220 --> 00:06:54.740
Hypotenusen er 12.

00:06:54.740 --> 00:06:56.670
c i anden er det samme som længden af hypotenusen i anden.

00:06:56.670 --> 00:06:59.030
Vi kan altså sige, at 12 er lig med c.

00:06:59.030 --> 00:07:00.880
Det viser sig også,

00:07:00.880 --> 00:07:02.580
at det ikke betyder noget, hvilken af de andre sider vi kalder a eller b.

00:07:02.580 --> 00:07:04.970
.

00:07:04.970 --> 00:07:06.990
Lad os sige, at a er lig med 6.

00:07:06.990 --> 00:07:11.780
Vi kender ikke b,

00:07:11.780 --> 00:07:12.640
så vi siger, at b er lig med spørgsmålstegn.

00:07:12.640 --> 00:07:15.070
Nu kan vi bruge Pythagoras' læresætning.

00:07:15.070 --> 00:07:25.940
a i anden, som er 6 i anden, plus b i anden

00:07:25.940 --> 00:07:28.330
er lig med c i anden.

00:07:28.330 --> 00:07:29.760
c er 12 her,

00:07:29.760 --> 00:07:33.250
så det er lig med 12 i anden.

00:07:33.250 --> 00:07:35.260
Nu kan vi isolere b.

00:07:35.260 --> 00:07:36.370
Læg mærke til forskellen her.

00:07:36.370 --> 00:07:38.110
Vi skal ikke længere finde hypotenusen.

00:07:38.110 --> 00:07:40.210
Nu skal vi finde en af de kortere sider.

00:07:40.210 --> 00:07:42.790
I det første eksempel fandt vi c

00:07:42.790 --> 00:07:43.790
eller hypotenusen.

00:07:43.790 --> 00:07:46.570
Det er derfor, det er vigtigt at huske, at c er længden af hypotenusen,

00:07:46.570 --> 00:07:49.190
og a og er længden af de 2 kortere sider.

00:07:49.190 --> 00:07:49.670
.

00:07:49.670 --> 00:07:51.850
Lad os isolere b her.

00:07:51.850 --> 00:07:59.280
Vi har altså 6 i anden, som er 36, plus b i anden

00:07:59.280 --> 00:08:04.700
er lig med 12 i anden. 12 gange 12 er 144.

00:08:04.700 --> 00:08:08.550
Nu kan vi trække 36 fra på begge sider af ligningen.

00:08:08.550 --> 00:08:11.420
De her går ud med hinanden.

00:08:13.270 --> 00:08:17.510
På venstre side står vi tilbage med b i anden.

00:08:17.510 --> 00:08:23.410
Det er lig med 144 minus 36,

00:08:30.080 --> 00:08:33.910
som er 108.

00:08:33.910 --> 00:08:36.630
Det er det, b i anden er lig med.

00:08:36.630 --> 00:08:40.600
Nu skal vi tage den positive kvadratrod af begge sider af ligningen.

00:08:40.600 --> 00:08:44.430
Vi får, at b er lig med

00:08:44.430 --> 00:08:48.650
den positive kvadratod af 108.

00:08:48.650 --> 00:08:50.550
Lad os se, om vi kan reducere det.

00:08:50.550 --> 00:08:53.550
Kvadratoden af 108.

00:08:53.550 --> 00:08:54.930
Vi kan prøve at finde primfaktoriseringen

00:08:54.930 --> 00:08:56.670
af 108

00:08:56.670 --> 00:08:58.410
og på den måde reducere det.

00:08:58.410 --> 00:09:07.590
108 er det samme som 2 gange 54,

00:09:07.590 --> 00:09:15.570
som er det samme som 2 gange 27, som er det samme som 3 gange 9.

00:09:15.570 --> 00:09:19.780
Kvadratroden af 108 er altså det samme som

00:09:19.780 --> 00:09:24.550
kvadratroden af 2 gange 2.

00:09:24.550 --> 00:09:25.520
Hov, vi ikke er færdige.

00:09:25.520 --> 00:09:28.760
9 kan faktoriseres til 3 gange 3.

00:09:28.760 --> 00:09:34.170
Det er altså 2 gange 2 gange 3 gange 3 gange 3.

00:09:34.170 --> 00:09:36.820
Vi har et par kvadrattal her.

00:09:36.820 --> 00:09:38.680
Lad os skrive det her lidt pænere.

00:09:38.680 --> 00:09:41.160
Det her er en øvelse i at reducere rodudtryk.

00:09:41.160 --> 00:09:44.200
Det vil vi ofte skulle, når vi bruger Pythagoras' læresætning.

00:09:44.200 --> 00:09:46.460
Det gør ingen skade at øve sig lidt.

00:09:46.460 --> 00:09:55.820
Det her er altså samme som kvadratroden af 2 gange 2

00:09:55.820 --> 00:10:00.790
gange 3 gange 3 gange

00:10:00.790 --> 00:10:02.510
kvadratoden af det sidste 3-tal her.

00:10:02.510 --> 00:10:04.090
.

00:10:04.090 --> 00:10:05.785
Man behøver ikke skrive alt det her ned,

00:10:05.785 --> 00:10:07.960
hvis man kan regne det i hovedet.

00:10:07.960 --> 00:10:08.970
Hvad er det her?

00:10:08.970 --> 00:10:09.530
2 gange 2 er 4.

00:10:09.530 --> 00:10:11.780
4 gange 9 er 36.

00:10:11.780 --> 00:10:14.200
Vi har altså

00:10:14.200 --> 00:10:18.030
kvadratroden af 36 gange kvadratroden af 3.

00:10:18.030 --> 00:10:20.610
Den positive kvadratod af 36 er 6.

00:10:20.610 --> 00:10:25.380
Det her kan altså skrives som 6 kvadratrødder af 3.

00:10:25.380 --> 00:10:28.730
Længden af b kan altså skrive som kvadratroden af 108

00:10:28.730 --> 00:10:34.040
eller 6 gange

00:10:34.040 --> 00:10:35.040
kvadratrødder af 3.

00:10:35.040 --> 00:10:37.150
Den her er 12, og den her er 6,

00:10:37.150 --> 00:10:40.580
og kvadratoden af 3

00:10:40.580 --> 00:10:41.600
er lig med 1 komma noget,

00:10:41.600 --> 00:10:45.360
så den er altså lidt mere end 6.

00:10:45.360 --> 00:10:45.512
.