1
00:00:00,530 --> 00:00:03,220
I den her video skal vi introduceres

2
00:00:03,220 --> 00:00:14,190
for Pythagoras' læresætning. Pythagoras' læresætning.

3
00:00:14,190 --> 00:00:16,930
Når vi når længere ind i matematikken,

4
00:00:16,930 --> 00:00:21,570
vil vi opdage, at det er en af hjørnestenene i al matematik.

5
00:00:21,570 --> 00:00:24,920
Det er brugbart i geometri,

6
00:00:24,920 --> 00:00:26,750
og det er næsten rygsøjlen i trigonometri.

7
00:00:26,750 --> 00:00:29,200
VI vil også skulle bruge den

8
00:00:29,200 --> 00:00:30,510
til at beregne afstanden mellem punkter.

9
00:00:30,510 --> 00:00:33,810
Det er altså meget vigtigt, at man lærer Pythagoras' læresætning.

10
00:00:33,810 --> 00:00:35,570
Det var vist nok snak om det her.

11
00:00:35,570 --> 00:00:38,320
Lad os nu komme i gang.

12
00:00:38,320 --> 00:00:43,290
Lad os sige, at vi har en trekant.

13
00:00:43,290 --> 00:00:49,110
Trekanten er retvinklet.

14
00:00:49,110 --> 00:00:51,520
Det vil sige, at en af trekantens vinkler er 90 grader.

15
00:00:51,520 --> 00:00:54,580
Vi viser, at den her er 90 grader

16
00:00:54,580 --> 00:00:55,930
ved at tegne den her lille boks.

17
00:00:55,930 --> 00:00:58,830
Det her er altså

18
00:00:58,830 --> 00:01:05,550
en vinkel på 90 grader.

19
00:01:05,550 --> 00:01:09,930
Det er en ret vinkel.

20
00:01:09,930 --> 00:01:13,390
En trekant, der indeholder en ret vinkel,

21
00:01:13,390 --> 00:01:15,850
kalder vi for en retvinklet trekant.

22
00:01:15,850 --> 00:01:21,700
Det her er altså en retvinklet trekant.

23
00:01:21,700 --> 00:01:25,440
Hvis vi kender 2 sider i en retvinklet trekant

24
00:01:25,440 --> 00:01:28,980
kan vi med Pythagoras' læresætning

25
00:01:28,980 --> 00:01:30,920
finde den tredje side.

26
00:01:30,920 --> 00:01:34,310
Før vi ser på, hvordan vi gør det,

27
00:01:34,310 --> 00:01:36,560
skal vi lige lære en term mere.

28
00:01:36,560 --> 00:01:43,230
Den længste side i en retvinklet trekant er den side,

29
00:01:43,230 --> 00:01:46,690
der er modsat den rette vinklen.

30
00:01:46,690 --> 00:01:49,650
Det er i det her tilfælde siden her.

31
00:01:49,650 --> 00:01:51,285
Det er den længste side.

32
00:01:51,285 --> 00:01:55,020
Man kan sige, at den rette vinkel

33
00:01:55,020 --> 00:01:58,060
åbner op mod den længste side.

34
00:01:58,060 --> 00:02:00,150
Vi kalder den længste side for hypotenusen.

35
00:02:00,150 --> 00:02:03,130
Det er godt at vide, for det ord vil vi bruge meget.

36
00:02:12,560 --> 00:02:17,090
Lad os sige, at vi har en trekant, der ser sådan her ud.

37
00:02:17,090 --> 00:02:19,390
Vi tegner den lige lidt bedre.

38
00:02:19,390 --> 00:02:22,130
Vi har altså en trekant, der ser sådan her ud.

39
00:02:22,130 --> 00:02:24,010
Vi siger,

40
00:02:24,010 --> 00:02:25,390
at den her vinkel er 90 grader.

41
00:02:25,390 --> 00:02:29,860
I det tilfælde er det her så hypotenusen,

42
00:02:29,860 --> 00:02:33,410
fordi det er siden modsat vinklen på 90 grader.

43
00:02:33,410 --> 00:02:34,880
Det er den længste side.

44
00:02:34,880 --> 00:02:36,670
Lad os lave en til,

45
00:02:36,670 --> 00:02:39,420
så vi lærer at finde hypotenusen.

46
00:02:39,420 --> 00:02:44,050
Lad os sige, at det her er vores trekant,

47
00:02:44,050 --> 00:02:45,790
og det her er vinklen på 90 grader.

48
00:02:45,790 --> 00:02:47,710
Vi skal finde den side,

49
00:02:47,710 --> 00:02:49,620
vinklen åbner op imod.

50
00:02:49,620 --> 00:02:51,530
Det her er hypotenusen.

51
00:02:51,530 --> 00:02:53,200
Det er den længste side.

52
00:02:53,200 --> 00:02:57,940
Vi siger,

53
00:03:00,400 --> 00:03:02,050
at hypotenusen har længden c.

54
00:03:02,050 --> 00:03:03,980
Lad os nu se på,

55
00:03:03,980 --> 00:03:05,210
hvad Pythagoras' læresætning fortæller os.

56
00:03:05,210 --> 00:03:08,680
Vi ved altså, at c er lig med længden af hypotenusen.

57
00:03:08,680 --> 00:03:11,630
Vi kalder den her side c.

58
00:03:11,630 --> 00:03:17,910
Lad os kalde den her side a,

59
00:03:17,910 --> 00:03:21,890
og lad os kalde den her side b.

60
00:03:21,890 --> 00:03:28,620
Pythagoras' læresætning fortæller os, at a i anden,

61
00:03:28,620 --> 00:03:32,880
altså længden af den her side i anden,

62
00:03:32,880 --> 00:03:36,890
plus længden af den anden korte side i anden

63
00:03:36,890 --> 00:03:41,370
er lig med længden af hypotenusen i anden.

64
00:03:41,370 --> 00:03:43,740
Lad os prøve at bruge det i en opgave,

65
00:03:43,740 --> 00:03:45,820
og så viser det sig, at det ikke er så svært.

66
00:03:45,820 --> 00:03:49,820
Vi skal bruge en trekant.

67
00:03:49,820 --> 00:03:51,050
Lad os tegne en trekant.

68
00:03:51,050 --> 00:03:54,210
Vi har en trekant her.

69
00:03:54,210 --> 00:03:57,160
Den ser nogenlunde sådan her ud.

70
00:03:57,160 --> 00:04:00,560
Lad os sige, at det her er den rette vinkel.

71
00:04:00,560 --> 00:04:02,940
Lad os lige skifte farve.

72
00:04:02,940 --> 00:04:06,830
Den her længde er 3,

73
00:04:06,830 --> 00:04:09,170
og den her længde er 4.

74
00:04:09,170 --> 00:04:14,490
Vi skal finde den her længde.

75
00:04:14,490 --> 00:04:17,130
Før vi bruger Pythagoras' læresætning,

76
00:04:17,130 --> 00:04:19,660
skal vi være sikre på,

77
00:04:19,660 --> 00:04:20,710
at vi ved, hvilken side der er hypotenusen.

78
00:04:20,710 --> 00:04:23,350
Vi skal vide, hvad vi skal finde.

79
00:04:23,350 --> 00:04:26,120
I det her tilfælde skal vi finde længden af hypotenusen.

80
00:04:26,120 --> 00:04:30,440
Det ved vi, fordi den her side

81
00:04:30,440 --> 00:04:33,310
er modsat den rette vinkel.

82
00:04:33,310 --> 00:04:36,540
Det er altså c i Pythagoras' læresætning.

83
00:04:36,540 --> 00:04:38,160
Det er den længste side.

84
00:04:38,160 --> 00:04:41,920
Nu kan vi bruge Pythagoras' læresætning.

85
00:04:41,920 --> 00:04:48,070
Den fortæller os, at 4 i anden, som er en af de kortere sider,

86
00:04:48,070 --> 00:04:53,260
plus 3 i anden, som er den anden korte side,

87
00:04:53,260 --> 00:04:56,080
er lig med den her lange side i anden.

88
00:04:56,080 --> 00:05:00,590
Det er altså hypotenusen i anden eller c i anden.

89
00:05:00,590 --> 00:05:02,310
Nu skal vi finde c.

90
00:05:02,310 --> 00:05:06,380
4 i anden er det sammes om 4 gange 4.

91
00:05:06,380 --> 00:05:08,460
Det er 16.

92
00:05:08,460 --> 00:05:11,910
3 i anden er det samme som 3 gange 3.

93
00:05:11,910 --> 00:05:13,810
Det er derfor 9.

94
00:05:13,810 --> 00:05:18,580
Det er lig med c i anden.

95
00:05:18,580 --> 00:05:20,610
Hvad er 16 plus 9?

96
00:05:20,610 --> 00:05:22,480
Det giver 25.

97
00:05:22,480 --> 00:05:25,195
25 er altså lig med c i anden.

98
00:05:25,195 --> 00:05:29,020
Vi kan tage den positive kvadratrod på begge sider nu.

99
00:05:29,020 --> 00:05:30,960
Hvis vi kigger rent matematisk,

100
00:05:30,960 --> 00:05:33,160
kan c også være minus 5.

101
00:05:33,160 --> 00:05:34,870
Vi har dog med en afstand at gøre,

102
00:05:34,870 --> 00:05:37,050
og afstande kan ikke være negative.

103
00:05:37,050 --> 00:05:41,170
Vi tager derfor den positive kvadratrod på begge sider,

104
00:05:41,170 --> 00:05:44,280
og vi får 5 er lig med c.

105
00:05:44,280 --> 00:05:50,260
Længden af den længste side er lig med 5.

106
00:05:50,260 --> 00:05:52,640
Man kan dog også bruge Pythagoras' læresætning

107
00:05:52,640 --> 00:05:54,620
til at finde en af de andre sider i en retvinklet trekant,

108
00:05:54,620 --> 00:05:55,690
hvis man kender de 2 andre.

109
00:05:55,690 --> 00:05:59,300
Lad os gøre det.

110
00:05:59,300 --> 00:06:10,670
Lad os sige, vores trekant ser sådan her ud.

111
00:06:10,670 --> 00:06:12,610
Det her er den rette vinkel.

112
00:06:12,610 --> 00:06:17,820
Lad os sige, at den her side har længden 12,

113
00:06:17,820 --> 00:06:21,080
og den her side har længden 6.

114
00:06:21,080 --> 00:06:27,210
Vi skal finde længden af den her side.

115
00:06:27,210 --> 00:06:29,870
Det første, vi skal gøre, er

116
00:06:29,870 --> 00:06:31,350
at finde hypotenusen.

117
00:06:31,350 --> 00:06:34,130
Det er siden modsat den rette vinkel.

118
00:06:34,130 --> 00:06:35,550
Vi har vores rette vinkel her.

119
00:06:35,550 --> 00:06:37,650
Vi skal have siden modsat den.

120
00:06:37,650 --> 00:06:41,460
Den længste side eller hypotenusen er altså her.

121
00:06:41,460 --> 00:06:46,100
Pythagoras' læresætning siger altså,

122
00:06:46,100 --> 00:06:50,820
at a i anden plus b i anden er lig med c i anden.

123
00:06:50,820 --> 00:06:52,220
Vi ved, at c er 12.

124
00:06:52,220 --> 00:06:54,740
Hypotenusen er 12.

125
00:06:54,740 --> 00:06:56,670
c i anden er det samme som længden af hypotenusen i anden.

126
00:06:56,670 --> 00:06:59,030
Vi kan altså sige, at 12 er lig med c.

127
00:06:59,030 --> 00:07:00,880
Det viser sig også,

128
00:07:00,880 --> 00:07:02,580
at det ikke betyder noget, hvilken af de andre sider vi kalder a eller b.

129
00:07:02,580 --> 00:07:04,970
.

130
00:07:04,970 --> 00:07:06,990
Lad os sige, at a er lig med 6.

131
00:07:06,990 --> 00:07:11,780
Vi kender ikke b,

132
00:07:11,780 --> 00:07:12,640
så vi siger, at b er lig med spørgsmålstegn.

133
00:07:12,640 --> 00:07:15,070
Nu kan vi bruge Pythagoras' læresætning.

134
00:07:15,070 --> 00:07:25,940
a i anden, som er 6 i anden, plus b i anden

135
00:07:25,940 --> 00:07:28,330
er lig med c i anden.

136
00:07:28,330 --> 00:07:29,760
c er 12 her,

137
00:07:29,760 --> 00:07:33,250
så det er lig med 12 i anden.

138
00:07:33,250 --> 00:07:35,260
Nu kan vi isolere b.

139
00:07:35,260 --> 00:07:36,370
Læg mærke til forskellen her.

140
00:07:36,370 --> 00:07:38,110
Vi skal ikke længere finde hypotenusen.

141
00:07:38,110 --> 00:07:40,210
Nu skal vi finde en af de kortere sider.

142
00:07:40,210 --> 00:07:42,790
I det første eksempel fandt vi c

143
00:07:42,790 --> 00:07:43,790
eller hypotenusen.

144
00:07:43,790 --> 00:07:46,570
Det er derfor, det er vigtigt at huske, at c er længden af hypotenusen,

145
00:07:46,570 --> 00:07:49,190
og a og er længden af de 2 kortere sider.

146
00:07:49,190 --> 00:07:49,670
.

147
00:07:49,670 --> 00:07:51,850
Lad os isolere b her.

148
00:07:51,850 --> 00:07:59,280
Vi har altså 6 i anden, som er 36, plus b i anden

149
00:07:59,280 --> 00:08:04,700
er lig med 12 i anden. 12 gange 12 er 144.

150
00:08:04,700 --> 00:08:08,550
Nu kan vi trække 36 fra på begge sider af ligningen.

151
00:08:08,550 --> 00:08:11,420
De her går ud med hinanden.

152
00:08:13,270 --> 00:08:17,510
På venstre side står vi tilbage med b i anden.

153
00:08:17,510 --> 00:08:23,410
Det er lig med 144 minus 36,

154
00:08:30,080 --> 00:08:33,910
som er 108.

155
00:08:33,910 --> 00:08:36,630
Det er det, b i anden er lig med.

156
00:08:36,630 --> 00:08:40,600
Nu skal vi tage den positive kvadratrod af begge sider af ligningen.

157
00:08:40,600 --> 00:08:44,430
Vi får, at b er lig med

158
00:08:44,430 --> 00:08:48,650
den positive kvadratod af 108.

159
00:08:48,650 --> 00:08:50,550
Lad os se, om vi kan reducere det.

160
00:08:50,550 --> 00:08:53,550
Kvadratoden af 108.

161
00:08:53,550 --> 00:08:54,930
Vi kan prøve at finde primfaktoriseringen

162
00:08:54,930 --> 00:08:56,670
af 108

163
00:08:56,670 --> 00:08:58,410
og på den måde reducere det.

164
00:08:58,410 --> 00:09:07,590
108 er det samme som 2 gange 54,

165
00:09:07,590 --> 00:09:15,570
som er det samme som 2 gange 27, som er det samme som 3 gange 9.

166
00:09:15,570 --> 00:09:19,780
Kvadratroden af 108 er altså det samme som

167
00:09:19,780 --> 00:09:24,550
kvadratroden af 2 gange 2.

168
00:09:24,550 --> 00:09:25,520
Hov, vi ikke er færdige.

169
00:09:25,520 --> 00:09:28,760
9 kan faktoriseres til 3 gange 3.

170
00:09:28,760 --> 00:09:34,170
Det er altså 2 gange 2 gange 3 gange 3 gange 3.

171
00:09:34,170 --> 00:09:36,820
Vi har et par kvadrattal her.

172
00:09:36,820 --> 00:09:38,680
Lad os skrive det her lidt pænere.

173
00:09:38,680 --> 00:09:41,160
Det her er en øvelse i at reducere rodudtryk.

174
00:09:41,160 --> 00:09:44,200
Det vil vi ofte skulle, når vi bruger Pythagoras' læresætning.

175
00:09:44,200 --> 00:09:46,460
Det gør ingen skade at øve sig lidt.

176
00:09:46,460 --> 00:09:55,820
Det her er altså samme som kvadratroden af 2 gange 2

177
00:09:55,820 --> 00:10:00,790
gange 3 gange 3 gange

178
00:10:00,790 --> 00:10:02,510
kvadratoden af det sidste 3-tal her.

179
00:10:02,510 --> 00:10:04,090
.

180
00:10:04,090 --> 00:10:05,785
Man behøver ikke skrive alt det her ned,

181
00:10:05,785 --> 00:10:07,960
hvis man kan regne det i hovedet.

182
00:10:07,960 --> 00:10:08,970
Hvad er det her?

183
00:10:08,970 --> 00:10:09,530
2 gange 2 er 4.

184
00:10:09,530 --> 00:10:11,780
4 gange 9 er 36.

185
00:10:11,780 --> 00:10:14,200
Vi har altså

186
00:10:14,200 --> 00:10:18,030
kvadratroden af 36 gange kvadratroden af 3.

187
00:10:18,030 --> 00:10:20,610
Den positive kvadratod af 36 er 6.

188
00:10:20,610 --> 00:10:25,380
Det her kan altså skrives som 6 kvadratrødder af 3.

189
00:10:25,380 --> 00:10:28,730
Længden af b kan altså skrive som kvadratroden af 108

190
00:10:28,730 --> 00:10:34,040
eller 6 gange

191
00:10:34,040 --> 00:10:35,040
kvadratrødder af 3.

192
00:10:35,040 --> 00:10:37,150
Den her er 12, og den her er 6,

193
00:10:37,150 --> 00:10:40,580
og kvadratoden af 3

194
00:10:40,580 --> 00:10:41,600
er lig med 1 komma noget,

195
00:10:41,600 --> 00:10:45,360
så den er altså lidt mere end 6.

196
00:10:45,360 --> 00:10:45,512
.