WEBVTT

00:00:00.500 --> 00:00:03.200
В това видео ще се запознаем с

00:00:03.200 --> 00:00:14.100
прословутата Питагорова теорема, 
която е доста приложима и забавна.

00:00:14.100 --> 00:00:16.900
Като изучаваме по-подробно 
математика, ще видим, че тя е

00:00:16.900 --> 00:00:21.500
една от основните теореми.

00:00:21.500 --> 00:00:24.900
Аритметичните знания се прилагат
в геометрията и тя е нещо като гръбнак

00:00:24.900 --> 00:00:26.700
на раздела от математиката, наречен ТРИГОНОМЕТРИЯ.

00:00:26.700 --> 00:00:29.200
Често ще я използваме, за да изчисляваме разстоянието

00:00:29.200 --> 00:00:30.500
между две точки, зададени в координатен вид.

00:00:30.500 --> 00:00:33.800
Затова би било хубаво наистина
да сме сигурни, че я познаваме добре.

00:00:33.800 --> 00:00:35.500
Стига общи приказки.

00:00:35.500 --> 00:00:38.300
Нека ти кажа какво всъщност 
представлява Питагоровата теорема.

00:00:38.300 --> 00:00:43.200
Имаме триъгълник и той трябва да е правоъгълен,

00:00:43.200 --> 00:00:49.100
което значи, че мярката на един от трите му ъгъла

00:00:49.100 --> 00:00:51.500
трябва да е 90 градуса.

00:00:51.500 --> 00:00:54.500
За удобство, вместо да отбелязваме,
че ъгълът е 90 градуса,

00:00:54.500 --> 00:00:55.900
чертаем малка кутийка ето тук, при върха на този ъгъл.

00:00:55.900 --> 00:00:58.800
И така това тук, нека го оцветя с различен

00:00:58.800 --> 00:01:05.500
цвят, е ъгъл, чиято мярка е 90 градуса.

00:01:05.500 --> 00:01:09.900
За удобство такъв ъгъл наричаме ПРАВ ъгъл.

00:01:09.900 --> 00:01:13.300
Естествено е триъгълник, който има прав ъгъл,

00:01:13.300 --> 00:01:15.800
да се нарича ПРАВОЪГЪЛЕН.

00:01:15.800 --> 00:01:21.700
Значи ето този триъгълник е правоъгълен триъгълник.

00:01:21.700 --> 00:01:25.400
Смисълът на Питагоровата теорема е, че 
ако знаем дължините на две от страните

00:01:25.400 --> 00:01:28.900
на правоъгълен триъгълник, винаги можем да намерим

00:01:28.900 --> 00:01:30.900
и дължината на третата му страна.

00:01:30.900 --> 00:01:34.300
Но преди да ви покажа как става това, 
нека ви обясня

00:01:34.300 --> 00:01:36.500
още един важен термин.

00:01:36.500 --> 00:01:43.200
Най-дългата страна във всеки 
правоъгълен триъгълник е страната срещу

00:01:43.200 --> 00:01:46.600
ъгъла, равен на 90 градуса (или срещу правия ъгъл).

00:01:46.600 --> 00:01:49.600
В този случай това е ето тази страна.

00:01:49.600 --> 00:01:51.200
Ето тази е най-дългата страна.

00:01:51.200 --> 00:01:55.000
Тя като че ли загражда правоъгълния триъгълник -

00:01:55.000 --> 00:01:58.000
най-големият ъгъл сякаш се разтваря, 
докато стигне краищата на най-дълга страна.

00:01:58.000 --> 00:02:03.070
Именно най-дългата страна се нарича ХИПОТЕНУЗА.

00:02:03.070 --> 00:02:06.395
Много е важно да овладеем термина,
защото често се използва.

00:02:06.395 --> 00:02:09.500
За да се научиш да разпознаваш хипотенузата,

00:02:09.500 --> 00:02:12.500
ще начертая още няколко правоъгълни триъгълници.

00:02:12.500 --> 00:02:17.000
Нека продължим като кажем, 
че имам триъгълник, който изглежда така.

00:02:17.000 --> 00:02:19.300
Ще го начертая още по-добре.

00:02:19.300 --> 00:02:22.100
Да кажем, че имам ето такъв триъгълник

00:02:22.100 --> 00:02:24.000
и че мярката на този ъгъл ето тук

00:02:24.000 --> 00:02:25.300
е 90 градуса.

00:02:25.300 --> 00:02:29.800
В случая тази страна е хипотенузата, защото тя се

00:02:29.800 --> 00:02:33.400
намира срещу ъгъла, равен на 90 градуса.

00:02:33.400 --> 00:02:34.800
Тя е най-дългата страна.

00:02:34.800 --> 00:02:36.600
Нека начертая още един правоъгълен 
триъгълник, за да сме сигурни, че

00:02:36.600 --> 00:02:39.400
сме се научили да разпознаваме хипотенузата.

00:02:39.400 --> 00:02:44.000
Да кажем, че това е правоъгълният триъгълник, а ето това е

00:02:44.000 --> 00:02:45.700
ъгълът, чиято мярка е 90 градуса.

00:02:45.700 --> 00:02:47.700
Мисля, че вече знаеш как се прави.

00:02:47.700 --> 00:02:49.600
Стигаш до мястото, до което се "разтваря" триъгълникът.

00:02:49.600 --> 00:02:51.500
Тази страна е хипотенузата -

00:02:51.500 --> 00:02:53.200
тя е и най-дългата страна.

00:02:53.200 --> 00:02:57.900
След като разпознахме 
хипотенузата (нека означим,

00:03:00.400 --> 00:03:02.000
дължината ѝ с числото С ),

00:03:02.000 --> 00:03:03.900
ще научим какво гласи

00:03:03.900 --> 00:03:05.200
Питагоровата теорема.

00:03:05.200 --> 00:03:08.600
Да кажем, че хипотенузата е с дължина С.

00:03:08.600 --> 00:03:11.600
Като кажем, че това е С, ще разбираме, 
че това е страната С.

00:03:11.600 --> 00:03:17.900
Тази по-късата тук пък ще отбележим с А,

00:03:17.900 --> 00:03:21.800
а това тук е другата по-къса страна, означена с В.

00:03:21.800 --> 00:03:28.600
Питагоровата теорема гласи: във всеки правоъгълен триъгълник А на квадрат,

00:03:28.600 --> 00:03:32.800
дължината на една от по-късите страни на квадрат плюс

00:03:32.800 --> 00:03:36.800
дължината на другата по-къса страна на квадрат

00:03:36.800 --> 00:03:41.300
винаги е равна на дължината на хипотенузата на квадрат.

00:03:41.300 --> 00:03:43.700
Да решим една задача и ще видиш,

00:03:43.700 --> 00:03:45.800
че всъщност не е толкова трудно
колкото изглежда.

00:03:45.800 --> 00:03:49.800
Да кажем, че имам триъгълник, който изглежда така.

00:03:49.800 --> 00:03:51.000
Нека го начертая.

00:03:51.000 --> 00:03:54.200
Ето това е моят правоъгълен триъгълник.

00:03:54.200 --> 00:03:57.100
Изглежда подобно на това.

00:03:57.100 --> 00:04:00.500
Нека ни е дадено, че този ъгъл тук е правия ъгъл,

00:04:00.500 --> 00:04:02.900
че дължината на това, нека го оцветя с друг цвят...

00:04:02.900 --> 00:04:06.800
Че дължината на този катет тук е числото 3 и

00:04:06.800 --> 00:04:09.100
че дължината на другия катет е числото 4.

00:04:09.100 --> 00:04:14.400
Задачата ни е да изчислим дължината
на третата страна, тази тук.

00:04:14.400 --> 00:04:17.100
Първото нещо, което трябва да направим, преди да използваме

00:04:17.100 --> 00:04:19.600
Питагоровата теорема, е да се уверим, че знаем коя страна е

00:04:19.600 --> 00:04:20.700
хипотенузата.

00:04:20.700 --> 00:04:23.300
Уверяваме се, че знаем какво се търси.

00:04:23.300 --> 00:04:26.100
В случая търсим дължината на хипотенузата.

00:04:26.100 --> 00:04:30.400
Знаем това, защото тази страна тук е страната

00:04:30.400 --> 00:04:33.300
срещу правия ъгъл.

00:04:33.300 --> 00:04:36.500
Според Питагоровата теорема 
това е страната означена с С,

00:04:36.500 --> 00:04:38.100
най-дългата страна.

00:04:38.100 --> 00:04:41.900
Вече сме готови да използваме теоремата.

00:04:41.900 --> 00:04:48.000
Тя гласи, че 4 (дължината на една от по-късите страни) на квадрат плюс

00:04:48.000 --> 00:04:53.200
3 (дължината на другата по-къса страна) на квадрат

00:04:53.200 --> 00:04:56.000
е равно на дължината на най-дългата страна на квадрат

00:04:56.000 --> 00:05:00.500
(дължината на хипотенузата на квадрат), което пък е означено с С на квадрат.

00:05:00.500 --> 00:05:02.300
Сега просто търсим стойността на С.

00:05:02.300 --> 00:05:06.300
И така, 4 на квадрат е равно на 4 по 4,

00:05:06.300 --> 00:05:08.400
което прави 16.

00:05:08.400 --> 00:05:11.900
3 на квадрат е равно на 3 по 3,

00:05:11.900 --> 00:05:13.800
което е 9.

00:05:13.800 --> 00:05:18.500
Сборът на тези две числа ще е равен на С на квадрат.

00:05:18.500 --> 00:05:20.600
Колко е 16+9?

00:05:20.600 --> 00:05:22.400
25.

00:05:22.400 --> 00:05:25.100
И така 25 е равно на С на квадрат.

00:05:25.100 --> 00:05:29.000
Вземаме положителните стойности 
на квадратните корени на двете страни...

00:05:29.000 --> 00:05:30.900
Предполагам, че от математическа гледна точка можем

00:05:30.900 --> 00:05:33.100
да получим и -5,

00:05:33.100 --> 00:05:34.800
но сега изчисляваме за разстояния, затова ни интересуват

00:05:34.800 --> 00:05:37.000
само неотрицателните им стойности.

00:05:37.000 --> 00:05:41.100
И така като изчислим двете страни,

00:05:41.100 --> 00:05:44.200
получаваме, че стойността на числото, 
означено с С е равна на 5,

00:05:44.200 --> 00:05:50.200
или иначе казано - дължината на 
най-дългата страна е числото 5.

00:05:50.200 --> 00:05:52.600
Сега вече винаги можеш да използваш
Питагоровата теорема, ако са дадени дължините

00:05:52.600 --> 00:05:54.600
на две от страните и търсиш
дължината на третата без значение

00:05:54.600 --> 00:05:55.600
коя е тя, катет или хипотенуза.

00:05:55.600 --> 00:05:59.300
Да решим още една задача.

00:05:59.300 --> 00:06:10.600
Правоъгълният триъгълник изглежда така

00:06:10.600 --> 00:06:12.600
и този е правия ъгъл.

00:06:12.600 --> 00:06:17.800
Да кажем, че дължината на тази страна е 12,

00:06:17.800 --> 00:06:21.000
а пък тази страна тук е с дължина 6.

00:06:21.000 --> 00:06:27.200
Търсим дължината на третата страна, тази тук.

00:06:27.200 --> 00:06:29.800
Както казах, първата стъпка е

00:06:29.800 --> 00:06:31.300
да се определи коя от трите страни е хипотенузата.

00:06:31.300 --> 00:06:34.100
Знаем, че тя е страната срещу правия ъгъл.

00:06:34.100 --> 00:06:35.500
Ето го правия ъгъл тук,

00:06:35.500 --> 00:06:37.600
търсим страната срещу него.

00:06:37.600 --> 00:06:41.400
Най-дългата страна, хипотенузата, ето я тук.

00:06:41.400 --> 00:06:46.100
Ако се върнем на Питагоровата теорема,

00:06:46.100 --> 00:06:50.800
А на квадрат, плюс В на квадрат е равно на С на квадрат,

00:06:50.800 --> 00:06:52.200
12 се въвежда вместо С.

00:06:52.200 --> 00:06:54.700
Това е хипотенузата.

00:06:54.700 --> 00:06:56.600
С на квадрат означава хипотенузата на квадрат.

00:06:56.600 --> 00:06:59.000
Значи можем да кажем, че 12 е равно на С

00:06:59.000 --> 00:07:00.800
и тогава имаме още две страни, като няма значение

00:07:00.800 --> 00:07:02.500
точно коя от другите страни 
ще означим с А или с В.

00:07:02.500 --> 00:07:04.900
Да означим първо дължината на тази страна,

00:07:04.900 --> 00:07:06.900
да кажем, че А е равно на 6,

00:07:06.900 --> 00:07:11.700
и после В, това оцветеното В,

00:07:11.700 --> 00:07:12.600
ще е неизвестно.

00:07:12.600 --> 00:07:15.000
Сега прилагаме Питагоровата теорема.

00:07:15.000 --> 00:07:25.900
А на квадрат, което е 6 на квадрат, плюс неизвестното В

00:07:25.900 --> 00:07:28.300
е равно на квадрата на хипотенузата,

00:07:28.300 --> 00:07:29.700
равно е на С на квадрат,

00:07:29.700 --> 00:07:33.200
което е 12 на квадрат.

00:07:33.200 --> 00:07:35.200
Сега решаваме уравнението
спрямо неизвестното, означено с В.

00:07:35.200 --> 00:07:36.300
Обърни внимание на разликата -

00:07:36.300 --> 00:07:38.100
сега не търсим дължината на хипотенузата,

00:07:38.100 --> 00:07:40.200
а дължината на един от катетите.

00:07:40.200 --> 00:07:42.700
В предишната задача търсехме
дължината на хипотенузата,

00:07:42.700 --> 00:07:43.700
търсехме стойността на С.

00:07:43.700 --> 00:07:46.500
Затова е важно да е ясно, че

00:07:46.500 --> 00:07:49.100
А на квадрат плюс В на квадрат
е равно на С на квадрат,

00:07:49.100 --> 00:07:49.600
като с С е означена дължината на хипотенузата.

00:07:49.600 --> 00:07:51.800
Да намерим стойността на неизвестното В.

00:07:51.800 --> 00:07:59.200
6 на квадрат е 36, плюс В на квадрат е равно

00:07:59.200 --> 00:08:04.700
на 12 на квадрат, което е 12 по 12, 144.

00:08:04.700 --> 00:08:08.500
Вадим числото 36 от двете страни на уравнението.

00:08:08.500 --> 00:08:11.400
Тези се съкращават.

00:08:13.200 --> 00:08:17.500
От лявата страна остана само В на квадрат

00:08:17.500 --> 00:08:23.400
равно на… Колко е 144 минус 36?

00:08:23.400 --> 00:08:30.020
144 - 30 е 114. Вадим още 6 и получаваме 108.

00:08:30.020 --> 00:08:33.900
Излиза 108.

00:08:33.900 --> 00:08:36.600
В на квадрат се получава толкова и сега трябва

00:08:36.600 --> 00:08:40.600
да намерим положителните 
стойности на двете страни.

00:08:40.600 --> 00:08:44.400
Излиза, че В е равно на корен квадратен

00:08:44.400 --> 00:08:48.600
от 108.

00:08:48.600 --> 00:08:50.500
Да видим дали не можем да опростим този израз.

00:08:50.500 --> 00:08:53.500
Квадратен корен от 108.

00:08:53.500 --> 00:08:54.900
Бихме могли да разложим

00:08:54.900 --> 00:08:56.600
числото 108 на произведение от множители и да видим

00:08:56.600 --> 00:08:58.400
как да опростим записа.

00:08:58.400 --> 00:09:07.500
108 е равно на 2 по 54,

00:09:07.500 --> 00:09:15.500
което пък е 2 по 27, което е 3 по 9.

00:09:15.500 --> 00:09:19.700
Квадратният корен на 108 е същото

00:09:19.700 --> 00:09:24.500
като корен квадратен от 2 по 2 по нещо си.
Всъщност

00:09:24.500 --> 00:09:25.500
не съм приключил.

00:09:25.500 --> 00:09:28.700
9 се разлага на 3 по 3.

00:09:28.700 --> 00:09:34.100
Значи се получава 2 по 2, по 3 по 3, по 3.

00:09:34.100 --> 00:09:36.800
И така имаме няколко квадрата тук.

00:09:36.800 --> 00:09:38.600
Нека го направя по-добре.

00:09:38.600 --> 00:09:41.100
Това е упражнение за опростяване на изрази под радикали,

00:09:41.100 --> 00:09:44.200
което ще срещаш често, докато
прилагаш Питагоровата теорема,

00:09:44.200 --> 00:09:46.400
така че е добре да го направим още сега.

00:09:46.400 --> 00:09:55.800
Това е същото като квадратен корен от 2 по 2,

00:09:55.800 --> 00:10:00.700
умножено с 3 по 3 по корен квадратен

00:10:00.700 --> 00:10:02.500
от последната тройка, която остава, 
защото не е равна на точен квадрат.

00:10:02.500 --> 00:10:04.000
Едно и също е.

00:10:04.000 --> 00:10:05.700
А и нали знаете, че няма да се налага да пишете

00:10:05.700 --> 00:10:07.900
всичко това на листа.

00:10:07.900 --> 00:10:08.900
Можете да го направите и на ум.

00:10:08.900 --> 00:10:09.500
Какво е това?

00:10:09.500 --> 00:10:11.700
2 по 2 е 4.

00:10:11.700 --> 00:10:14.200
4 по 9 е 36.

00:10:14.200 --> 00:10:18.000
Значи се получава корен квадратен
от 36 по корен квадратен от 3.

00:10:18.000 --> 00:10:20.600
Корен квадратен от 36 е 6.

00:10:20.600 --> 00:10:25.300
Получава се 6 по корен квадратен от 3.

00:10:25.300 --> 00:10:28.700
Дължината на В може да бъде 
записана като корен от 108,

00:10:28.700 --> 00:10:34.000
или може да се каже, че е

00:10:34.000 --> 00:10:35.000
6 по квадратен корен от 3.

00:10:35.000 --> 00:10:37.100
Това е 12, това е 6,

00:10:37.100 --> 00:10:40.500
а корен квадратен от 3 е около

00:10:40.500 --> 00:10:41.600
1 цяло и нещо си,

00:10:41.600 --> 00:10:45.300
така че цялото произведение 
ще е равно на малко повече от 6.