ઠીક છે, આપનું પાછું સ્વાગત છે ! હવે હું તમને છેલ્લા બે લઘુગુણક ગુણધર્મો બતાવું છું
તો આ એક -
છે. તો આ એક - અને આ એક હંમેશા અમુક રીતે સૌથી વધુ સ્પષ્ટ જોવા મળે છે.
પરંતુ કંઇ ખરાબ ના અનુભવશો, જો એ સ્વાભાવિક ના હોય તો પણ.
કદાચ થોડુક આત્મનિરીક્ષણ કરવુ પડશે.
અને આ બધા ગુણધર્મો ના પ્રયોગ કરવા માટે હુ તમને પ્રોત્સહિત કરીશ,
કારણ કે એ જ એક રીત છે તમને ખરેખર શીખવા માટે નો.
અને ગણિત નો મતલબ ફક્ત પરીક્ષા પાસ કરવી એ જ નથી,
કે પરીક્ષામા A ગ્રેડ લાવવો એ જ નથી.
ગણિત નો મતલબ છે ગણિત ને સમજવુ
તેથી તમે ખરેખર તમારી જિંદગીમા ઉપયોગમા લઇ શકો
અને દરેક વખતે બધુ શીખવુ નહિ પડે.
તો હવે પછી નો લઘુગણક ગુણધર્મ છે,
જો મારી પાસે A ગુણ્યા લોગ C આધાર B હોય, જો મારી પાસે A ગુણ્યા આ બધુ હોય,
તો તે આધાર B લોગ C ની A ઘાત થાય.
આકર્ષક.
તો ચલો જોઇએ એ કામ કરે છે કે નહિ.
તો ધારો કે જો મારી પાસે 3 ગુણ્યા લોગ 8 આધાર 2 છે.
તો આ ગુણધર્મ આપણને કેહવા માગે છે કે આ
લોગ 8 ની 3 ઘાત આધાર 2 ની સમાન થશે.
અને તે સમાન જ છે.
સારુ, તે સમાન છે-- આપણે કરી શકીએ.
તો ચલો જોઇએ આ શુ છે.
3 ગુણ્યા લોગ આધાર-- લોગ 8 આધાર 2 શુ થાય?
હુ એક સેકંડ પહેલા કેમ જરા અચકાયો હતો એનુ કારણ છે કે
દરેક વખતે હુ એમાથી કઇંક કરવા માંગુ છુ,
હુ એની માટે લોગ અને ઘાતાંકિય નિયમો નો ઉપયોગ કરવા માંગુ છુ.
તેથી હુ તેને ધ્યાન મા ના લેવાનો પ્રયત્ન કરુ છુ.
ખેર, પાછા જઇએ.
આ શુ છે?
2 ની કેટલી ઘાત 8 થાય?
2 ની 3 ઘાત 8 થાય, સાચુ ને?
તો એ 3 છે.
આપણી પાસે અહિ 3 છે, તો 3 ગુણ્યા 3.
તેથી આ અહિ 9 થવા જોઇએ.
જો આ 9 થાય,
તો આપણે જાણી શકીએ કે આ ગુણધર્મ આ ઉદ્દાહરણ માટે તો કામ કરે છે.
તમે નથી જાણતા કે તે બધા ઉદ્દાહરણ(દાખલા) માટે કરશે કે નહિ.
અને એની માટે કદાચ તમે આપણા બીજા વિડીઓમા ની સાબિતી જોવા માંગતા હશો.
પરંતુ તે વધારે પ્રગતિ થયેલો મુદ્દો છે.
પરંતુ પહેલુ મહત્વનુ એ છે કે તેનો ઉપયોગ કઇ રીતે કરવો એ સમજવુ.
ચલો જોઇએ, 2 ની 9 ઘાત શુ થાય?
આ થોડી મોટી સંખ્યા હશે.
હકિકતે હુ જાણુ છુ તે કઇ સંખ્યા છે-- તે 256 છે.
કારણ કે છેલ્લા વિડીઓ મા આપણે જોયુ કે 2 ની
8 ઘાત બરાબર 256 હતા.
તો 2 ની 9 ઘાત 512 થવી જોઇએ.
તો 2 ની 9 ઘાત 512 થવી જોઇએ.
તો 8 ની 3 ઘાત પણ 512 થાય તો આપણે સાચા છીએ, બરાબર ને?
કારણ કે લોગ 512 આધાર 2 એ 9 થાય.
8 નો ઘન (8 ની 3 ઘાત) શુ થાય?
તે 64 થાય-- સાચુ?
8 નો વર્ગ 64 થાય, તેથી 8 નો ઘન-- ચલો જોઇએ.
4 ગુણ્યા 8. તો, અહીં 2 અને અહીં 3.
6 ગુણ્યા 8-- આ 512 થાય એમ લાગે છે.
સાચુ.
અને બીજી રીતથી પણ તમે કરી શકો.
કારણ કે તમે કહ્યુ 8 ની 3 ઘાત
એ 2 ની 9 ઘાત ની બરાબર(સમાન) છે,
આપણે તે કેવી રીતે જાણીએ?
8 ની 3 ઘાત
એ 2 ની 3 ઘાત ની 3 ઘાત બરાબર છે, સાચુ ને?
મે ફક્ત 8 ને ફરીથી લખ્યા છે.
અને આપણે આપણા ઘાતાંકના નિયમો પરથી જાણીએ છીએ કે 2 ની 3 ની 3 ઘાત
એ 2 ની 9 ઘાત કરવા બરાબર છે.
અને હકિકતે આ એ ઘાતાંકિય ગુણધર્મ છે, જ્યાં તમે ગુણાકાર કરી શકો --
જ્યારે તમે ઘાતાંક મા કઇક લો અને પછી એને ઘાતાંકમા લો,
અને ખરી રીતે તમે ઘાતંક નો ફક્ત ગુણાકાર કરી શકો--
તે ઘાતંકિય ગુણધર્મ છે જે હકિકતે લઘુગણક ના ગુણધર્મ ને દોરે છે(સંચાલન કરે છે).
પરંતુ હુ આ પ્રસ્તુતી(પ્રેઝંટેશન) પર વધારે પડતુ જ ધ્યાન કેન્દ્રીત નહિ કરુ.
તેને જરા વધારે સાબિત કરવા માટે આખો વિડીઓ છે.
હુ તમને પછી નો લઘુગણક ગુનધર્મ બતાવવા જઇ રહ્યો છુ--
અને પછી બધાનુ પરિક્ષણ કરીશ અને કદાચ કેટલાક દાખલા કરીશ.
જો તમે કેલ્ક્યુલેટરના બંધાણી હોવ તો લઘુગણકનો આ ગુણધર્મ કદાચ વધારે ઉપયોગી છે.
અને હુ તમને બતાવીશ કે કેમ.
તો ધારો કે મારી પાસે લોગ A આધાર B
એ લોગ A આધાર C ભાગ્યા લોગ B આધાર C ની સમાન થાય છે.
હવે આ કેમ ઉપયોગી ગુણધર્મ છે જો તમે કેલ્ક્યુલેટરના બંધાણી હોવ તો?
સારુ, ધારો કે તમે વર્ગ મા જાઓ છો, અને ત્યા પ્રશ્નોની પરીક્ષા (ક્વિઝ) છે.
શિક્ષક કહે કે, તમે તમારા કેલ્ક્યુલેટર નો ઉપયોગ કરી શકો છો,
અને કેલ્ક્યુકેટરના ઉપયોગથી હુ લોગ 357 આધાર 17 મેળવવા માંગુ છુ.
અને તમે ઉતાવળા થશો અને તમાર કેલ્ક્યુલેટરમા લોગ આધાર 17 નુ બટન શોધશો,
અને નહિ મળે.
કારણ કે તમારા કેલ્ક્યુલેટર મા કોઇ લોગ આધાર 17 નુ બટન નથી.
તેમાં કદાચ લોગ બટન હશે
અથવા ln બટન હશે.
અને તો તમે જાણો છો, કેલ્ક્યુલેટરમા લોગ બટન નો આધાર
કદાચ 10 છે.
અને કેલ્ક્યુલેટરમા ln બટન નો
આધાર e હશે.
જેઓ e ને નથી જાણતા તેઓ, તેની ચિંતા કરશો નહિ
પરંતુ તે 2.71 આસ પાસ છે.
તે સંખ્યા છે.
તે આશ્ચર્યકારક સંખ્યા છે, પરંતુ આપણે તેની વીશે વધારે ચર્ચા ભવિષ્યની પ્રસ્તુતી(પ્રેઝંટેશન) મા કરીશુ.
પરંતુ તમારી પાસે કેલ્ક્યુલેટર મા ફક્ત 2 જ આધાર છે.
તો જો તમે બીજા કોઇ આધારનો લઘુગણક કરવા માંગતા હોવ તો,
તમે આ ગુણધર્મ નો ઉપયોગ કરો.
તો તમને પરિક્ષામા આ આપવામાં આવે તો,
તમે વિશ્વાસથી કહી શકો છો કે, અરે, તે સરખુ જ છે કે--
તમારે પીળા રંગમા જવુ પડે વિશ્વાસથી વર્તવા માટે--
લોગ આધાર-- આપણે e અથવા 10 લઇ શકીએ.
આપણે કહી શકીએ કે તે લોગ 357 આધાર 10
ભાગ્યા લોગ 17 આધાર 10 ની બરાબર છે.
તેથી તમે તે રીતે કેલ્ક્યુલેટરમા ફક્ત 357 ટાઇપ કરી શકો
અને પછી લોગ બટન દબાવો
અને તમને વગેરે વગેરે મળશે.
પછી, તમે જાણો છો, તમે તે મુક્ત(ક્લીઅર) કરી શકો છો.
અથવા જો તમે જાણતા હોવ કે તમારા કેલ્ક્યુલેટરમા કૌંસનો ઉપયોગ કઇ રીતે થાય છે તો તમે તે કરી શકો છો.
પરંતુ પછી તમે તમારા કેલ્ક્યુલેટરમા 17 ટાઇપ કરો,
લોગ બટન દબાવો, તમને વગેરે વગેરે મળશે.
અને પછી તેમને ફક્ત ભાગાકાર કરો, અને તમને તમારો જવાબ મળશે.
તો કેલ્ક્યુલેટરના બંધાણી માટે આ એક બહુ જ ઉપયોગી ગુણધર્મ છે.
અને ફરીથી, હુ બહુ જ ઉંડાણમા નથી જતો.
આ એક, મને સૌથી વધારે ઉપયોગી છે,
પરંતુ તે સંપૂર્ણ રીતે નથી--
તે ખરેખર ઘાતાંકના ગુણધર્મો ની બહારનુ છે.
પરંતુ તે અંતર્જ્ઞાન ને સમજાવવુ મારી માટે ભારે (અઘરુ) છે,
તો કદાચ તમે તેની સબિતી જોવા માંગતા હશો,
જો તમને આ કેમ થયુ એની પર વિશ્વાસ ના હોય તો.
પરંતુ, એ બધુ બાજુ પર રાખીને,
અને આ કદાચ એ છે કે જેનો તમે તમારી જિંદગી મા સૌથી વધારે ઉપયોગ કરવાના છો.
હુ હજુ તેનો ઉપયોગ નોકરી પર કરુ છુ.
તેથી જ તમે જાણો છો કે લઘુગણક ઉપયોગી છે.
ચલો કેટલાક ઉદ્દાહરણ (દાખલા) કરીએ.
ચલો ઘણી બધી વસ્તુઓને સાદી રીતે લખીએ.
તેથી જો હુ લખવા માંગતો હોઉ કે આધાર 2 લોગ વર્ગમૂળ--
મને વિચારવા દો.
32 ભાગ્યા ઘનમૂળ -- ના, હુ ફક્ત વર્ગમૂળ લઇશ.
ભાગ્યા 8 નુ વર્ગમૂળ.
હુ તેને કેવી રીતે ફરીથી લખી શકુ કે જેથી તે વ્યાજબી રીતે ગોટાળો ના કરે?
સારુ, ચલો એની વિશે વિચારીએ.
આ સરખુ જ છે, આ એને સમાન છે--
મને નથી ખબર કે મારે ઉભામા જવુ કે આડામા.
હુ ઉભામા જઇશ.
આ લોગ 32
છેદમી 8 નુ વર્ગમૂળની 1/2 ઘાત આધાર 2 ને સમાન છે, સાચુ ને?
અને આપણે આપણા લઘુગણકના ગુણધર્મો ગુણધર્મ ત્રીજ પરથી જાણીએ છીએ,
કે તે 1/2 ગુણ્યા
લોગ 32 ભાગ્યા 8 નુ વર્ગમૂળ થાય, સાચુ ને?
મે માત્ર ઘાતાંક ને લીધા
અને તેને બધાનો ગુણક બનાવ્યો.
અને તે આપણે આ વિડીઓની શરુઆતમા શીખ્યા.
અને હવે અહિ આપણી પાસે કઇંક થોડુ ભાગફળ હશે, સાચુ ને?
લોગ 32 ભાગ્યા લોગ 8 નુ વર્ગમૂળ.
સારુ, આપણે આપણા બીજા લઘુગણક નો ઉપયોગ કરી શકીએ--
ચલો 1/2 ને બહાર જ રાખીએ.
તે સમાન થશે, કૌસ, લોગ--
અરે, હુ આધાર ભુલી ગયો.
આધાર 2 લોગ 32 ઓછા(બાદબાકી), બરાબર ને?
કારણ કે તે ભાગફળમા છે.
ઓછા(બાદબાકી) લોગ 8 નુ વર્ગમૂળ આધાર 2.
સાચુ ને?
ચલો જોઇએ.
સારુ, અહિ એકવાર ફરીથી આપણી જોડે વર્ગમૂળ છે,
તો આપણે કહી શકીએ કે આ બરાબર 1/2 ગુણ્યા લોગ 32 આધાર 2
ઓછા(બાદબાકી) આ 8 ની 1/2 ઘાત,
કે જે 1/2 ગુણ્યા લોગ 8 આધાર 2 ની સમાન છે.
આપણે આ ગુણધર્મ આ વિડીઓની શરુઆતમા શીખ્યા હતા.
અને પછી જો આપણે ઇસ્છીએ તો આપણે આ મુખ્ય 1/2 ને વહેંચી શકીએ.
એ બરાબર 1/2 લોગ 32 આધાર 2 ઓછા(બાદબાકી) 1/4
કારણ કે આપણે તે મુખ્ય 1/2 ને વહેચવાના છે--
ઓછા(બાદબાકી) 1/4 લોગ 8 આધાર 2.
આ 5/2 ઓછા, આ 3.
3 ગુણ્યા 1/4, ઓછા 3/4.
અથવા (10-3)/4 બરાબર 7/4 થાય.
મે કદાચ કેટલીક ગાણિતીક ભુલો કરી હશે, પરંતુ તમને સમજ પડી હશે.
બહુ જલ્દી જ મળીશુ!